Tema Modelado matemático en la vida
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¿Cómo organizar el transporte de acero, carbón, agua y electricidad desde varios puntos de suministro a algunos puntos de demanda?
¿Este plan maximizará las ganancias? Debido a restricciones de volumen y peso, ¿cómo empaquetar varios productos juntos para obtener el mayor beneficio? A algunos candidatos se les asignan varias tareas para completar, porque la experiencia de cada persona es diferente y los beneficios de completar las tareas también son diferentes. ¿Cómo asignarlo para maximizar los ingresos totales? Este artículo discutirá formas de resolver estos problemas mediante modelos matemáticos a través de los siguientes ejemplos.
Palabras clave: la más rentable, variable 0-1
1 Problema de suministro de agua potable
Problema Una ciudad tiene cuatro residentes A, B, C y D. Distrito, el agua del grifo es suministrada por tres embalses A, B y C. El consumo básico diario de agua doméstica de los cuatro distritos debe ser de 8050102000 toneladas respectivamente. Sin embargo, debido a la escasez de fuentes de agua, los tres embalses solo pueden suministrar 60704000 toneladas de agua. agua del grifo respectivamente. Debido a las diferencias regionales, las tarifas de gestión de transferencia de agua que pagan las empresas de suministro de agua para transportar agua desde los embalses a distintos distritos son diferentes (consulte la tabla a continuación). Según las regulaciones de la empresa, a los usuarios de cada distrito se les cobra un estándar unificado de 950 yuanes por cada mil toneladas. Además, los cuatro distritos han solicitado a la empresa un consumo adicional de agua, que es de 10, 20, 30 y 50 mil toneladas respectivamente. ¿Cómo deberían las empresas asignar el suministro de agua para obtener más beneficios?
Tarifa de gestión de transferencia de agua (RMB por mil toneladas) A, B, C, d.
a 160 130 220 170
b 140 130 190 150
c 190 200 230-
Análisis de problemas
La distribución del suministro de agua es un plan para distribuir el suministro de agua de tres embalses a cuatro regiones, con el objetivo de obtener el máximo beneficio. Según los datos proporcionados en la pregunta, el suministro de agua en los tres distritos A, B y C es de 170.000 toneladas, lo que es menos que la suma del consumo doméstico básico de agua y el consumo adicional de agua en los cuatro distritos de 270.000 toneladas. para que siempre pueda venderse y ser rentable. Por lo tanto, los ingresos diarios totales de la compañía de agua son 950 * (6740). De manera similar, los otros honorarios de gestión diarios de la empresa de 400 * (6740) = 68.000 yuanes no tienen nada que ver con el plan de suministro de agua. Por lo tanto, si la ganancia es mayor, sólo la tarifa de gestión de transferencia de agua es la menor. Además, las opciones de suministro de agua están naturalmente limitadas por la capacidad de suministro de agua terciaria y los requisitos de suministro de agua cuaternaria.
Estructura del modelo
Las variables de decisión son A, B, C y tres embalses (i=1, 2, 3) versus cuatro comunidades (j=1, 2, 3,4 ) la cantidad de suministro de agua. Suponga que el volumen de suministro de agua del embalse desde el día I al J es Xiji. Debido a que no hay tubería de agua entre el destino de los peces y el destino del embalse C, es decir, X34=0, la variable de decisión es solo 11.
Del análisis anterior, se puede ver que el objetivo del problema se puede cambiar de maximizar las ganancias a minimizar las tarifas de gestión del agua, por lo que hay
min = 160 * x 11 +13+220 * x 170 * x 14+140 * x 21+130 * x22+190 * x23+65438
Hay dos tipos de restricciones: una es la restricción de oferta del yacimiento y la la otra es la restricción de demanda de cada distrito.
Debido a que el suministro de agua siempre se puede vender con ganancia, el límite de suministro de agua del embalse se puede expresar como
x 11+x 12+x 13+x 14 =
x 31+x32+x33 = 40;
Considerando el consumo básico de agua de la canción, se puede expresar el límite de demanda como
80 & lt= x 21+x 11+x 31;
50 & lt= x 12+x22+x32;
10 & lt; = x 13+x23+x33;
20<= x 14+x24;
x 21+x 11+x 31<=90;
x 12 +x22+x32 & lt;=70;
x 13+x23+x33 & lt;=40;
x 14+x24 & lt;=70;
Resolver modelo
Ingrese la fórmula anterior en LINGO para resolver y obtenga el siguiente resultado:
Encuentre la solución óptima en el paso 10
Valor objetivo : 25800.00
El valor variable reduce costos
x 11 0.000000 20.00000
X12 60.00000 0.000000
x 13 0.000000 40.00000
/p>
x21 50.00000 0.000000
x22 0.0000000 0.0000000
x23 0.0000000 10.00000
.00000 0.000000
x32 0.000000000 20,00000
Se suministran 3.010.000 toneladas de agua a A y C respectivamente. La tarifa de gestión de la transferencia de agua es de 25.800 yuanes y la ganancia es de 161.500-68.000-25.800 yuanes = 67.700 yuanes.
Dos. Carga de carga
Pregunta El aceite para motores a reacción tiene tres compartimentos de carga: compartimento de carga delantero, compartimento de carga central y compartimento de carga trasero. El volumen máximo de carga que se puede cargar en los tres compartimentos de carga es limitado, como se muestra en la siguiente tabla, y para mantener el equilibrio del avión, el peso de la carga transportada en los tres compartimentos de carga en la Edad Media debe ser proporcional a su peso máximo permitido.
Cabina delantera, cabina central y cabina trasera.
Límite de peso (toneladas) 15 26 12
Límite de volumen (metros cúbicos) 8000 9000 6000
Hay cuatro tipos de carga enviadas en este vuelo. información Consulte la tabla a continuación, la última columna es el beneficio obtenido después del envío. ¿Cómo se puede organizar el envío para maximizar el beneficio del vuelo de carga?
Peso (toneladas) beneficio espacial (yuanes por mil toneladas)
Producto 1 20 480 3500
Producto 2 18 650 4000
Bienes 3 35 600 3500
Bienes 4 15 390 3000
No existen otros requisitos para el envío de bienes en los supuestos del modelo. Podemos hacer las siguientes suposiciones:
(1) Cada producto se puede dividir en cualquier tamaño pequeño;
(2)Cada producto se puede distribuir aleatoriamente en una o más bodegas de carga;
(3)Múltiples productos básicos Se pueden mezclar y combinar, asegurando que no haya espacios vacíos.
Estructura del modelo
Variables de decisión: cabina y cabina trasera.
El objetivo de la toma de decisiones es maximizar las ganancias, es decir,
max = 3500 *(x 11+x 12+x 13)+4000 *(x 21+x22+ x23) +3500 *(x 31+x32+x33)+3000 *(x 41+x42+x43);
Las restricciones incluyen los siguientes cuatro aspectos:
(1) Cargando cuatro La restricción de peso total de la mercancía es
x 11+x 12+x 13 & lt;=20;
x 21+x22+x23 & lt;=18;
p>x 31+x32+x33 & lt;=35;
x 41+x42+x43 & lt;=15;
(2) Tres bodegas de carga Límite de peso, es decir
x 11+x 21+x 31+x 41 & lt;=15;
x 12+x22+x32+x42 & lt;= 26;
x 13+x23+x33+x43 <=12;
(3) El límite de espacio de las tres bodegas de carga es
480 * x 11+ 650 * x 21+600 * x 31+390 * x 41 <=8000;
480 * x 12+650 * x22+600 * x32+390 * x42 <=9000;
480 * x 13+650 * x23+600 * x33+390 * x43 <=6000;
(4) Restricciones de equilibrio del peso de carga de las tres bodegas de carga, es decir
(x 11+x 21+x 31)/15 =(x 12+x22+x32+x42)/26;
(x 12+x22+x32+ x42)/26 =(x 13+x23+x33+x43)/12;
Solución modelo
Ingrese el modelo anterior en LINGO para obtener la solución, puede obtener:
En los pasos 10Encuentre la solución óptima
Valor objetivo: 155340.1
El valor variable reduce el costo
x 11 0,5055147 0,0000000
X12 6.562500 0.000000
X13 2.286953 0.000000
x 21 1.93439 0.0000000
.000000 0.4547474 e-12
X32 0.0000000 783.654
X33 1.599359 0.000000
x41 0.000000 1337.740
X42 15.00000 0.00000 0
< p> 12 toneladas, 6 toneladas en la cabina trasera Carga 3; con 2 toneladas en la cabina trasera; la carga No. 4 se carga en la cabina central, 15 toneladas. El beneficio máximo es de 155.340 yuanes.Tres. Selección del equipo de relevos combinados
Pregunta La clase A seleccionará a 4 de 5 nadadores para formar un equipo de relevos para participar en la competencia de relevos combinados de 4*100 metros de la escuela. Los puntajes promedio de 100 metros de los cinco concursantes con cuatro caracteres chinos se muestran en la siguiente tabla. ¿Cómo deben los atletas seleccionados formar un equipo de relevos?
Metiletilpropilbutilpentilo
Mariposa 1 ` 0657 ` 2 1 ` 18 1 ` 10 1 ` 07.
Espalda 1 ` 15 1 ` 06 1 ` 07 1 ` 14 1 ` 11.
Braza 1 ` 27 1 ` 06 1 ` 24 1 ` 09 1 ` 23
Estilo libre 58'' 6 53'' 59'' 4 57'' 2 1' 02
Análisis del problema: Cuatro de los cinco jugadores fueron seleccionados para formar un equipo de relevos. Ninguno tenía un estilo de natación y las cuatro personas usaron palabras diferentes, por lo que el equipo de relevos tuvo el mejor desempeño. Un método fácil de pensar es el método exhaustivo. ¡Hay 5 opciones para formar un par de relevos! = 120, calcula y compara uno por uno y podrás encontrar la solución óptima. Evidentemente, esta no es una buena forma de solucionar este tipo de problemas. A medida que el tamaño del problema aumenta, el coste computacional del método exhaustivo se vuelve inaceptable.
Se pueden utilizar variables 0-1 para indicar que los miembros del equipo de relevo no están seleccionados, estableciendo así un modelo de planificación 0-1 para este problema y resolviéndolo con la ayuda del software matemático del condado.
Establecimiento y solución del modelo
Dejemos que el jugador i=1, 2, 3, 4, 5; es decir, mariposa, espalda, pecho y libre son brazadas de natación j= 1 respectivamente. El mejor resultado del jugador I en 100 metros para la palabra utilizada en j es Cij(s), ambas
cij I = 1 I = 2 I = 3 I = 4 I = 5
cij p>
j = 1 66 57.2 78 70 67
j = 2 75 66 67 74 71
J = 3 87 66 84 69 83
J = 4 58 53 59 57,2 62
Introduce la variable Xij de 0-1. Si el jugador I es seleccionado para participar en la brazada de natación J, Xij-=1, en caso contrario Xij=0. De acuerdo con los requisitos para formar un equipo de relevos, Xij debe cumplir dos restricciones:
Primero, nadie puede ser seleccionado por como máximo uno de los cuatro caracteres chinos principales. Recuerda que i=1, 2, 3, 4, 5 debe tener ∑ , 3, 4, debe haber ∑xij = 1;
Cuando el jugador I es seleccionado para nadar el estilo J, CijXij representa su puntuación. , de lo contrario CijXij=0, por lo que la puntuación del equipo de relevos se puede expresar como ∑CijXij, que es la función objetivo del problema.
Coloca los datos dados en la pregunta en este modelo e ingresa LINGO:
min = 66 * x 11+75 * x 12+87 * x 13+58.6 * x 14+ 57.2 * x 21+66 * x22+66 * x23+53 * x24+78 * x 31+67 * x32+84 * x33+59.4 * x34+70 * x4
causar sufrimiento
x 11+x 12+x 13+x 14 <=1;
x 21+x22+x23+x24 <=1;
x 31+ x32+x33+x34 <=1;
x 41+x42+x43+x44 <=1;
x 11+x 21+x 31+x 41 +x 51 = 1;
x 12+x22+x32+x42+x52 = 1;
x 13+x23+x33+x43+X53 = 1;
x 14+x24+x34+x44+X54 = 1;
@ bin(x 11); @ bin(x 13); bin(x 21);@bin(X22);@bin(X23);@bin(X24);@bin(x 31);@bin(X32);@bin(X33);@bin(X34);@ bin(x 41);@bin(X42);@bin(X43);@bin(X44);@bin(x 51);@bin(X52);@bin(X53);@bin(X54);
Obtenga los siguientes resultados
Encuentre la solución óptima en el paso 12
Valor objetivo: 251.8000
Recuento de sucursales: 0
El valor variable reduce costos
x 11 0.000000 66.00000
X12 0.0000000 75.00000
58.60000
x 21 1.000000 57.20000
X22 0.0000000 66.00000
X23 0.0000000 66.00000
X24 0.0000000 53.00000
x 31 0.000000 78.00000
X32 00 67.00000
x33 0.0000000 84.00000
70.00000
x42 0.0000000 74.00000
x43 1.000000 69.00000
x44 0.0000000 57.20000
X52 0.00000 00 71.00000
X53 0.0000000 83.00000
X54 0.0000000 62.00000
Es decir, cuatro personas A, B, C y D ser seleccionado para participar en competencias de estilo libre, mariposa, espalda y braza, respectivamente.
Referencia
Modelo matemático (tercera edición) Jiang Qiyuan Higher Education Press.