1. Encuentra o construye el ángulo plano del ángulo diédrico.
El ángulo diédrico se puede medir por su ángulo plano. El problema de encontrar el ángulo diédrico a menudo requiere transformación.
Encuentra el ángulo plano del ángulo diédrico.
1. Método de definición:
Según la definición, los puntos en el borde del ángulo diédrico o los puntos en los dos semiplanos se utilizan como líneas verticales del borde. , obteniendo así
El ángulo plano del ángulo diédrico.
Ejemplo 1 Como todos sabemos, entre los tres rayos PA, PB y PC partiendo de un punto,
∠ APB = ∠ BPC = ∠ CPA = 60, encuentra el ángulo diédrico B-PA -El tamaño de C.
Solución: Encuentra cualquier punto D (diferente del punto P) en PA, y pasa D en el plano APB.
Dejemos que DE⊥PA pase por PB en e, y d pase por DF⊥PA en el plano APC.
PC corta a F, y ∠EDF se define según el ángulo plano del ángulo diédrico.
El ángulo plano del ángulo diédrico B-PA-C, suponiendo que en Rt△PDF,
∠ DPF = 60, ∠ PDF = 90, se puede obtener el mismo resultado .
En △EPF, PF=PE=2a, ∠EPF = 60, luego EF=2a. Por tanto, en △EDF.
Entonces el tamaño del ángulo diédrico B-PA-C es.
2. Método de las rectas paralelas:
Si el ángulo diédrico de la arista no se da en el problema, a veces se pueden utilizar líneas paralelas para encontrar la arista y por tanto el ángulo diédrico.
El ángulo plano.
Ejemplo 2 En la figura tridimensional que se muestra en la figura, PA es perpendicular al cuadrado ABCD.
Si pa = ab = a, encuentra el ángulo diédrico formado por el plano PAB y el avión PCD.
Solución: PQ ‖ AB. ABCD,
∴ PQ‖CD, plano PQ PCD. ∴Plano PAB∩Plano PCD
= PQ. PA ⊥ AB, AB ‖PQ, ∴ PA ⊥ PQ. ∵Pa⊥Ping
Superficie ABCD, CD ⊥ Publicidad. ∴CD⊥Policía. * pq‖CD, ∴ PD ⊥ PQ. ∴ APD es el ángulo plano formado por el plano PAB y el plano PCD. PA =
En otras palabras, el ángulo diédrico formado por el plano PAB y el plano PCD es de 45°.
3. Método del plano extendido;
También puedes utilizar la extensión del plano para encontrar los lados del ángulo diédrico, obteniendo así el ángulo plano del ángulo diédrico.
En el ejemplo 3, en el cubo AC 1 con longitud de lado 1, E es AA1.
Encontrar el ángulo diédrico formado por la superficie DEB1 y la superficie ABCD.
Solución: Extender B1E y BA hasta el punto f y conectar DF.
Entonces DF es el lado del ángulo diédrico. ∫e es el valor medio de AA1.
Punto, ∴AE es la línea media de ∴fa=1, fa‖dc rt△b 1fb,
∴ Cuadrilátero FACD es un paralelogramo, ∴ FD ‖ AC.
Conectar BD, ∵BD⊥AC, ∴FD ⊥BD. Y porque B1D⊥AC, ∴B1D⊥FD, ∴∠ están en el cubo AC1.
.
Es decir, el ángulo diédrico formado por la superficie DEB1 y la superficie ABCD es.
4. Teorema de las tres rectas perpendiculares y su método del teorema inverso;
Según el teorema de las tres perpendiculares o su teorema inverso, un punto en la superficie de intersección se considera un segmento de recta vertical. en la otra superficie, y luego Calcula el ángulo plano del ángulo diédrico.
Ejemplo 4 Como se muestra en la figura, se conoce Rt△ABC, la hipotenusa BC está en el plano α y el punto A no está en el plano α. AB y AC forman ángulos de 30° y 45° con el plano α respectivamente, así que encuentra △ABC.
El tamaño del ángulo agudo formado por el plano y el plano α.
Solución: Sea a AO⊥α del punto o en el plano α.
Supongamos que OD⊥BC está en d y conecta AD, lo cual se obtiene mediante el teorema de las tres rectas perpendiculares.
BC⊥. ∴ ∠ ADO es el ángulo plano del ángulo diédrico,
incluso BO y co son ∠ABO y ∠ACO respectivamente.
El ángulo entre AC y el plano α. Supongamos AO=a, y en Rt△ABO,
∫∠ABO = 30, ∴AB=2a En Rt△ACO, ∫∠ACO = 45,.En Rt△ABC,.< /p. >
Es decir, el plano de △ABC forma un ángulo de 60° con α.
5. Método de la superficie vertical:
Según el criterio de líneas y planos verticales, los teoremas de propiedades y la definición de ángulos planos, la superficie vertical que pasa por un punto es un lado o
El ángulo plano de un ángulo diédrico se puede obtener cortando un punto del ángulo diédrico con la perpendicular a las dos superficies como un plano.
Ejemplo 5 Se sabe que la distancia desde un punto P en el ángulo diédrico α-β a las dos superficies es suma, y la distancia al lado es 2. Calcula el tamaño de este ángulo diédrico.
Solución: P para PC y PD respectivamente.
Directamente a los planos α y β, C y D son los pies verticales,
Luego configure PC y PD.
El plano PCD determinado intersecta a O, y apunta.
Entonces, no dejes que α y β crucen los rayos OA y OB
C∈OA, D∈OB. * PC⊥α, ∴PC⊥, el mismo plano PD ⊥.∴⊥ PCD. ⊥·∴⊥oa.
Se puede ver en la figura que ∠ AOB = ∠ POC ∠ POD = 105, o ∠AOB = 180-(∠POC-∠POD)= 165.
Por lo tanto, el ángulo diédrico α-β es 105 o 165.
2. Sin hacer un ángulo diédrico, utiliza fórmulas comunes para encontrar el ángulo plano de forma indirecta.
1. Utilice la fórmula del área proyectada:. Se sabe que el área proyectada de una gráfica con área s en el plano α sobre el plano β es, y el ángulo formado por los planos α y β es θ, entonces.
El ejemplo 6 es el prisma regular ABC-A1B1C1. La longitud del lado del fondo es A, la longitud del lado es 2a y D es el punto medio de AA1. Encuentra el ángulo diédrico formado por △BDC1 y base △ABC.
Solución: En el prisma triangular regular ABC-A1B1C1,
∫△ABC es la proyección de △BDC1 en el ABC inferior.
Supongamos que las áreas de △ABC y △BDC1 son respectivamente.
El ángulo diédrico es ∴ En el triángulo isósceles BDC 1,
Es decir, el ángulo diédrico formado por △BDC1 y el ABC inferior es.
2. La fórmula para la distancia entre dos puntos en una recta de diferentes planos: ef =.
Si se dibujan dos rectas perpendiculares a los lados en dos semiplanos, el ángulo (u otro ángulo) formado por estas dos rectas es el ángulo plano del ángulo diédrico, que se puede calcular mediante la fórmula anterior.
Ejemplo 7 Como se muestra en la figura, la longitud del lado del prisma triangular rectángulo ABC- A1B1C1 es 1, la longitud del lado de la base AC=BC=1, AC⊥BC, encuentre el ángulo diédrico b- Tamaño ab–c.
Solución: CD⊥AB1 está en c de ∵ac⊥bc d,
BB1⊥cara ABC, ∴AC⊥BB1, ∴AC⊥cara BB1C1C,
∴AC⊥CB1, en Rt△ACB1, B1C=, AC=1,
∴CD=. Después de b, BE⊥AB está en e y ∴DE está en otro plano.
La distancia entre las rectas BE y CD. En Rt△ABB1, ser
=, ∴AD=B1E=, ∴DE=. Establece una línea recta usando diferentes planos.
Si el ángulo entre BE y CD es θ, entonces θ (u otro ángulo) es el ángulo plano del ángulo diédrico b-ab 1–c. Según la fórmula, ∴cosθ=, ∴θ. = 60°.
Es decir, el ángulo diédrico B-AB1-C es de 60°.
3. La fórmula del seno y la fórmula del coseno en ángulos triédricos.
Dados tres rayos OA, OB, OC, ∠BOC=α, ∠COA=β, ∠AOB=γ, ángulos diédricos B-OA-C, C-OB-A, A-OC -B son α, β y γ respectivamente, entonces hay:
① ②.
La clave para aplicar la fórmula anterior es encontrar el ángulo triédrico y el ángulo diédrico con el lado opuesto como lado La correspondencia entre varios ángulos planos relevantes.
Como se muestra en la Figura 8, el plano M⊥plano n está en CD, el punto A∈plano m, el punto B∈plano n, el segmento AB forma un ángulo de 45° con el plano m, y AB forma un ángulo con n de 30°,
AB=2, AC⊥CD está en c, BD⊥CD está en d
Solución 1: ∫ plano M⊥ plano n está en CD, CA⊥CD, CA.
Plano m, ∴AC⊥Plano n está en c, ∴∠ABC es AB y n
Ángulo ∴∠ABC = 30°, ∫ y AB=2 en Rt△ABC ,
∴AC=1, antes de Cristo. De la misma forma, ∠ Bad = 45, BD=,
CD = 1. Tenga en cuenta que los ángulos diédricos con lados AB y AD son θ y α respectivamente.
∵ BD⊥ plano m, ∴ plano BDA ⊥ plano CDA, ∴ el ángulo diédrico B-AD-C es 90°, es decir, senα=1. En el ángulo triédrico A-CBD, la fórmula del seno del ángulo triédrico,
es decir, el ángulo diédrico A-PB-C es.
Solución 2: Como arriba, podemos obtener,,, en el triángulo A-CBD, la fórmula del coseno del triángulo es:
Es decir, el ángulo diédrico A-PB- C es.
3. Utiliza operaciones vectoriales para encontrar el ángulo plano del ángulo diédrico.
1. El ángulo entre los vectores directores del plano es el ángulo plano del ángulo diédrico. Un ángulo diédrico se convierte en el ángulo formado por los vectores directores de las dos caras del ángulo diédrico (vectores que son perpendiculares a los lados del ángulo diédrico y apuntan en esa dirección en el plano del ángulo diédrico).
Ejemplo 9 Encuentra el ángulo diédrico A-PB-C como se muestra en la Figura 9 PA⊥ plano ABC, AC⊥AB, PA=AC=1, BC=.
Solución: como se muestra en la figura, establezca un sistema de coordenadas espacial rectangular C-xyz.
Tome el punto medio d de PB y conéctelo a DC para demostrar DC⊥PB.
AE⊥PB en e es el tamaño del ángulo entre los vectores.
Es el tamaño del ángulo diédrico a-Pb-C porque a (1, 0, 0),
B (0,, 0), C (0, 0 , 0 ), P(1, 0, 1),
d es el punto medio de PB, entonces,
es decir, se puede encontrar la relación del punto e, entonces = , =, | |
Entonces el tamaño del ángulo diédrico A-PB-C es.
2. El ángulo (u otro ángulo) entre los vectores normales de las dos caras de un ángulo diédrico es el ángulo plano del ángulo diédrico. El ángulo diédrico se convierte en el ángulo formado por los vectores normales. de las dos caras o de las esquinas restantes.
El ejemplo 10 se muestra en la Figura 10. En una pirámide cuadrada S-ABCD con base trapezoidal en ángulo recto, ∠ABC = 90°, SA⊥ plano ABCD, SA=AB=BC=1,.
p>Encuentra el ángulo diédrico formado por el plano SCD y el plano SBA.
Solución: Establecer el sistema de coordenadas rectangular espacial A-xyz como se muestra en la figura,
Luego. El vector normal del plano SAB es n1 = =, y el vector normal del plano SCD es N2 = (x, y, z). ∵, ∴ N2 = 0, N2 = 0, es decir, x=2, y=-1, Z = 1. ∴ N2 =. Sea el ángulo diédrico θ.
Es decir, el ángulo diédrico formado por el plano SCD y el plano SBA es.