El circuncentro, el centro de gravedad, el centro del círculo de nueve puntos y el centro vertical del triángulo están todos ubicados en la misma línea recta. Esta línea recta se llama línea de Euler del triángulo.
Leonhard Euler propuso por primera vez el teorema en su libro "La geometría de los triángulos" en 1765: el centro de gravedad de un triángulo está en la recta de Euler, es decir, el centro de gravedad, ortocentro y circuncentro de el triángulo* **Alambre. Demostró que en cualquier triángulo, los cuatro puntos anteriores son iguales a la línea. Entre los cuatro puntos de la recta de Euler, las distancias desde el centro del círculo de nueve puntos hasta el centro vertical y el circuncentro son iguales, y la distancia desde el centro de gravedad hasta el circuncentro es la mitad de la distancia desde el centro de gravedad al centro vertical.
Prueba de la recta de Euler:
Construye la circunferencia circunstante de △ABC, conecta y extiende BO, y corta la circunferencia circunstante en el punto D. Enlace AD, CD, AH, CH, OH. Dibuja la línea media AM, deja que AM interseque a OH en el punto G'
∵ BD es el diámetro
∴ ∠BAD y ∠BCD son ángulos rectos
∴ AD ⊥AB, DC⊥BC
∵ CH⊥AB, AH⊥BC
∴ DA‖CH, DC‖AH
∴ El cuadrilátero ADCH es un paralelogramo
∴ AH=DC
∵ M es el punto medio de BC, O es el punto medio de BD
∴ OM= 1/2DC
∴ OM = 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG' ∽△HAG'
∴AG/GM=2/1
∴ G' es el centro de gravedad de △ABC
∴ G coincide con G'
∴ Los tres puntos O, G y H están en el mismo línea recta
Si se utilizan vectores, el proceso de prueba se puede simplificar enormemente. Utilice el método de coordenadas en vectores para encontrar las coordenadas de los tres puntos O G H respectivamente.