La llamada aplicación del pensamiento funcional consiste en construir una función correspondiente para un problema práctico o matemático, a fin de resolver el problema más rápido y mejor. El constructor es una encarnación importante del pensamiento funcional. La aplicación del pensamiento funcional requiere ser bueno para comprender las leyes y propiedades constantes de las cosas en el proceso de movimiento.
La siguiente es una breve introducción al uso de ideas funcionales para resolver problemas como ecuaciones, desigualdades, series y rangos de valores de parámetros.
Primero, utiliza la idea de funciones para resolver problemas de ecuaciones.
Función y ecuación no solo son dos conceptos diferentes, sino que también están estrechamente relacionados. Si una función puede expresarse mediante una expresión analítica, entonces esta expresión puede considerarse como una ecuación; existe una correspondencia entre las dos incógnitas de la ecuación binaria. Si esta correspondencia tiene un solo valor, entonces esta ecuación también puede verse como una función. Los dos extremos de una ecuación pueden considerarse funciones respectivamente, y la solución de la ecuación es la abscisa de la intersección de las dos imágenes de funciones. Por tanto, muchos problemas relacionados con ecuaciones se pueden resolver utilizando el pensamiento funcional.
El ejemplo 1 demuestra: No importa qué número real tome A, la ecuación x2-(a2 a) x a-2=0 debe tener dos raíces reales desiguales.
Análisis: Si utilizas métodos convencionales para resolver este problema, el discriminante △ es un polinomio de cuarto orden de una variable con respecto a A, y el signo es difícil de determinar. Si utilizamos el pensamiento funcional para analizar el significado del problema, sea la función f(x)=x2-(a2 a)x a-2. Para probar la proposición, sólo necesitamos probar que la imagen de la función y=f(x) tiene dos puntos de intersección con el eje X. Debido a que su apertura es hacia arriba, solo necesitamos encontrar un número real X0 para hacer f (x0)
Ejemplo 2 Se sabe que la ecuación cuadrática con coeficientes reales aproximadamente Hay raíces reales α, β. Los hechos prueban:
(I) Si | α |
(II) Si 2 |p>
|β
Análisis: A primera vista, este problema es un problema de ecuaciones. Si se utiliza la teoría de ecuaciones pura para resolverlo, la relación entre la distribución de las raíces de la ecuación y los parámetros A y B es muy complicada; use la idea de funciones para analizarla, la ecuación La esencia se puede captar convirtiendo el problema de distribución de raíces en la intersección de la imagen de la función y el eje X.
Respuesta: Los resultados de (1) y (2) de este problema son
2 a |p>
{ lt= = gtα, β | ∈ (-2, 2)
| b | lt四
Supongamos que la función f(x)=x2 ax b(I) se puede conocer a partir de la imagen de la función cuadrática. .
f(2)>0
α, β∈(-2, 2)= = gt; { f(-2)>0
| b|=|α? 6?1β|lt;44 2a b gt;02a gt;- (4 b)
= = gt{ = = gt{
4-2a b gt;02a lt; 4 b==>2 | a | lt4 b y | b |
㈡ si { = = > { = = >; gt; 0 f(-2)>0α, β está dentro de (-2, 2) o fuera de (-2, 2), si α, β está fuera de (-2, 2), entonces | 6?1β| = b gt;4, lo mismo que | b |
2.
Ejemplo 3 Supongamos que a, b, c son todos números positivos, a b >;
BC
Verificación: - -->-
1 a 1 b 1 c
BC
Análisis: Las estructuras de los lados izquierdo y derecho de la desigualdad son similares: -, -, -, porque.
1 a 1 b 1 c Esto se puede relacionar con la función f (x) = x/(1 x) (x 0) Monotonicidad.
Demostrar la monotonicidad de la función a priori f(x)= x/(1 x)(x > 0).
x 1 gt; 0, x2 gt0, también podríamos establecer x1
Entonces f (x1)-f (x2) = -.
1 x 1 1 x2(1 x 1)(1 x2)∵x 1 gt 0, x2 gt0∴1 x 1 gt 0, 1 x2 gt; y\x 1
x1- x2
∴- lt; 0
(1 x1)(1 x2)
es decir f (x1)
∴La función f(x) aumenta monótonamente en (0, ∞).
∵a b gt; c gt0 ∴f(a b)gt; f(c)a b c
Es decir, -->;-
1 a b 1 ca b a b
∵- - gt;- - = -
1 a 1 b 1 a b 65438 a b 1 a b a b c
∴ - ->-
1 a 1 b 1 c Ejemplo 4 Se sabe que A, B, X e Y son todos números reales, a2 b2=1, x2 y2=1. Verificación: hacha por≤1.
Análisis: en condiciones conocidas, si la suma de cuadrados es igual a 1, podemos pensar en la relación cuadrática entre seno y coseno y luego usar la acotación de la función para demostrarlo.
Demostración: ∫a2 B2 = 1, x2 y2 = 1.
∴Supongamos que a=sinα, b=cosα, x=sinβ, y=cosβ.
Entonces ax by=sinαsinβ cosαcosβ.
=cos(α-β)≤1
∴ax by≤1
En tercer lugar, utilice el pensamiento funcional para resolver problemas de secuencia.
Una secuencia puede considerarse como un dominio cuyo dominio es el conjunto de números enteros positivos N* (o su conjunto finito {1, 2...n}). Cuando la variable independiente toma valores de pequeños a grandes, la fórmula general de la secuencia es también la fórmula analítica de la función correspondiente. Por lo tanto, algunos problemas de secuencia se pueden resolver utilizando ideas funcionales.
En la secuencia aritmética del ejemplo 5, los primeros n términos son Sn, y se sabe que SP = Q y SQ = P.
(p, q∈ N* y p≠q), encuentre sp q.
Análisis: La solución convencional a este problema es usar la fórmula de suma para establecer un sistema de ecuaciones, luego encontrar a1 y D, y luego encontrar Sp q, pero el cálculo es muy complicado. Si consideramos que la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética es una función cuadrática respecto de n, y no existe un término constante. Por lo tanto, se puede considerar la función objetivo Sn = AN2 BN (A y B son coeficientes indeterminados) para optimizar el proceso de resolución de problemas.
Solución: Supongamos Sn = AN2 BN (A, B son coeficientes indeterminados).
Entonces Sp=ap2 bp ∴ap2 bp=q (1)
Sq=aq2 bq ∴aq2 bq=p (2)
(1)- (2) Ordenación (P-Q) pendiente, y (D)
f(-2) lt; 0 2 x2 2x-3 gt; { = gt{ = gt- lt; x lt-
f(2) lt; 0 2 x2-2x-1 lt; el rango de valores de p>∴x es (-).
2 2
(2) Construya una función cuadrática y encuentre el rango de las variables
Ejemplo 7 Los números reales a, b, c, d son conocido, Satisfacer a b c d=5.
A2 b2 c2 d2=7, encuentra el rango de a.
Solución: Construir una función cuadrática sobre x.
f(x)=(x - b)2 (x - c)2 (x - d)2
=3 x2 - 2(b c d) x (b2 c2 d2 )
∵f(x)≥0 ∴△≤0
Es decir, 4(b c d)2-12(b 2 c2 d2)≤0.
Es decir, 4( 5-a)2-12(7-a2)≤0.
∴2a2-5a 2≤0
∴1/2≤a≤2
El rango de valores de ∴a es [1/2, 2] , las palabras al principio y algunas en el medio son bastante buenas. Específicamente, los puntos cuyas coordenadas satisfacen la función de resolución deben estar en la imagen de la función, y los puntos en la imagen de la función deben tener coordenadas que satisfagan la función de resolución. Por lo tanto, para determinar si un punto en el sistema de coordenadas del plano rectangular está en la imagen de la función, solo necesita sustituir las coordenadas del punto en la función de resolución para su verificación. 2. Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las dos funciones, es decir, encuentre la solución del sistema de ecuaciones binarias compuesto por dos funciones de resolución. 3. Al resolver problemas relacionados con funciones, preste atención al uso de conocimientos de geometría plana, como el ángulo recto entre el eje X y el eje Y en el sistema de coordenadas rectangular plano, el teorema de Pitágoras, y sea capaz de encontrar hábilmente las coordenadas de intersección de la función y el eje de coordenadas. 5. Es un método importante para transformar formas y números, formas y ecuaciones, y formas y desigualdades basadas en los conceptos, propiedades e imágenes de funciones. El concepto de función ocupa una posición importante en matemáticas. Desempeña un papel clave al conectar el pasado y el futuro en la principal línea de función de la enseñanza en las escuelas secundarias. El concepto de función y sus métodos de pensamiento se han convertido en una de las principales líneas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. El aprendizaje de conceptos de funciones es un salto para los estudiantes desde la comprensión de relaciones cuantitativas concretas en el mundo real hasta la comprensión de relaciones cuantitativas abstractas. Sin embargo, debido a la complejidad del concepto de función, se ha convertido en un punto difícil en la enseñanza de la escuela secundaria. Sobre la base de investigaciones anteriores, partiendo del concepto de función, examinamos la comprensión del concepto de función por parte de los estudiantes de secundaria desde tres aspectos: definición, expresión y aplicación del concepto de función. y se sacaron las siguientes conclusiones: 1 . Los estudiantes de secundaria no tienen una comprensión profunda de la esencia del concepto de función y no pueden comprender completamente la relación entre la variable independiente X y la variable dependiente Y. Esto está relacionado con la preparación de los estudiantes bajo los requisitos de los nuevos estándares curriculares. 2. El desarrollo de la identificación de funciones representadas por gráficas y tablas por parte de los estudiantes obviamente va por detrás de su identificación de funciones representadas por expresiones analíticas. 3. Los estudiantes de secundaria tienen poca capacidad para aplicar conceptos de funciones. 4. Existen diferencias en el nivel de desarrollo cognitivo de las funciones entre los estudiantes de secundaria, pero en general no hay diferencias significativas: (1) Los estudiantes de secundaria son mejores que los estudiantes de secundaria en el uso de expresiones analíticas para describir el concepto de funciones. (2) Los estudiantes de segundo año de secundaria son mejores en el uso de gráficos e imágenes que los estudiantes de último año de secundaria.
Este artículo realiza un análisis en profundidad de los resultados de la investigación, combinados con la práctica docente, y propone las siguientes medidas de mejora para la enseñanza actual de conceptos funcionales en las escuelas intermedias: (1) Fortalecer la comprensión de la esencia de los conceptos funcionales (; 2) Fortalecer la conversión entre representaciones de funciones; (3) Prestar atención a los modelos funcionales en la vida diaria. Estos también se pueden usar~