1. La relación entre resolver triángulos y juzgar la congruencia de triángulos
Resolver triángulos analiza la relación entre varias cantidades geométricas en triángulos, como lados, ángulos, áreas y círculos circunscritos. La relación entre el radio y el radio del círculo inscrito, el teorema del seno y el teorema del coseno son las principales herramientas para resolver triángulos. La geometría plana estudia principalmente triángulos desde una perspectiva cualitativa, mientras que la resolución de triángulos estudia principalmente la relación entre varias cantidades geométricas en triángulos desde una perspectiva cuantitativa y utiliza métodos analíticos para estudiar triángulos. Las dos perspectivas de investigación son diferentes y pueden complementarse.
Los axiomas que determinan la congruencia de triángulos incluyen: axioma lateral (SAS), axioma lateral (SSS), axioma lateral (ASA) y axioma lateral (AAS). Al menos un elemento es un lado, y sólo tres ángulos (AAA) corresponden a dos triángulos iguales, semejantes pero no idénticos. La importancia geométrica de juzgar la condición de congruencia de un triángulo es que las otras variables del triángulo pueden representarse mediante un conjunto dado de variables. Por ejemplo, el axioma SSS determina que el significado geométrico de la congruencia de triángulos es que las longitudes de los tres lados de △ABC pueden determinar de forma única sus tres ángulos interiores. Por ejemplo, si conocemos los tres lados de △ABC, podemos obtener el triángulo mediante el teorema del coseno. El significado geométrico del axioma SAS que determina la congruencia de triángulos es que las longitudes de los dos lados de △ABC y sus ángulos determinan de forma única la longitud del tercer lado, que a su vez determina de forma única las longitudes de sus otros dos lados. Si se conocen los dos lados de △ABC y su ángulo incluido c, el tercer lado se puede encontrar mediante el teorema del coseno. Ahora que se conocen los tres lados, los dos ángulos restantes se pueden calcular como corolario de la ley del coseno. Estos son exactamente dos tipos de problemas que el teorema del coseno puede resolver: conocer tres lados, encontrar el triángulo (SSS), conocer dos lados y sus ángulos, encontrar el tercer lado y los otros dos ángulos (SAS);
Con la ayuda del teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, se puede considerar que el axioma del ángulo (ASA) y el axioma del lado del ángulo (AAS) son esencialmente iguales. Su significado geométrico es que los dos ángulos y cualquier lado de △ABC pueden determinar de forma única los ángulos y lados restantes. Por ejemplo, se puede encontrar que los dos ángulos A y B de △ABC y el lado de sujeción C son un tipo que puede ser. utilizado por el teorema del seno Problema a resolver: Dados dos ángulos y cualquier lado, encuentre los lados y ángulos restantes (Assa, AAB). El teorema del seno también puede resolver un tipo de problema: dados dos lados y la diagonal de uno de los lados, encontrar el tercer lado y los otros dos ángulos (SSA). Geométricamente hablando, SSA no puede determinar la congruencia de un triángulo, por lo que no puede determinar de forma única un triángulo, lo que significa que cuando se utiliza la ley del seno para comprender un triángulo, habrá dos soluciones, una solución y ninguna solución.
Desde la perspectiva del teorema del seno y del teorema del coseno, el axioma lateral (SAS), el axioma lateral (SSS), el axioma lateral (ASA) y el axioma lateral (AAS) son equivalentes.
Como se puede ver en lo anterior, al estudiar materiales didácticos, debemos comprender los materiales didácticos desde una perspectiva general y global, comprender la estructura, el estado, el papel y la interrelación de los materiales didácticos, para que pueden interpretarse y complementarse entre sí para producir nuevos conocimientos. En la enseñanza, analizar la relación entre el axioma del juicio de congruencia de triángulos y las soluciones de triángulos puede mejorar la estructura cognitiva de los estudiantes y sublimar el conocimiento de la escuela secundaria.
2. Métodos de pensamiento matemático
La enseñanza de métodos de pensamiento matemático es una parte importante de la enseñanza de las matemáticas, que favorece la profundización de la comprensión y el dominio del conocimiento matemático de los estudiantes y su mejora. capacidad para resolver problemas matemáticos. Las dos conclusiones principales de esta sección son el teorema del seno y el teorema del coseno. En la enseñanza, se debe prestar atención a la enseñanza de métodos de pensamiento matemático que estén estrechamente relacionados con el contenido, y se debe brindar a los estudiantes demostraciones y orientación específicas para plantear preguntas y pensar en estrategias para resolver problemas.
En la sección del teorema del seno, considerando que no es fácil obtener directamente la relación entre cada lado y cada ángulo en un triángulo general, los estudiantes pueden guiarse para descubrir esto considerando el conocimiento de las funciones trigonométricas relacionadas. a cada ángulo en un triángulo rectángulo. Una ley, y luego adivinar la generalidad de esta ley, y luego demostrarla en triángulos acutángulos y triángulos obtusos, obteniendo así el teorema del seno. Este proceso encarna el pensamiento matemático desde la discusión especial hasta la general y clasificada. Al probar la conclusión en triángulos de ángulos agudos y triángulos de ángulos obtusos, también se prueba convirtiéndolos en triángulos rectángulos aumentando la altura, lo que encarna la idea matemática de reducción.
En la parte del teorema del coseno, después de obtener el teorema del coseno, analiza la forma del teorema del coseno y propone un problema de ángulos de tres lados. Combinado con la idea de ecuaciones, se deriva la inferencia del teorema del coseno y se describe la conclusión de "lado, lado, lado" al juzgar la congruencia de triángulos desde una perspectiva cuantitativa. Después de demostrar el teorema del coseno y su corolario, el libro de texto compara el teorema del coseno con el teorema de Pitágoras. Haga una pregunta reflexiva: "El teorema de Pitágoras señala la relación entre tres cuadrados en un triángulo rectángulo y el teorema del coseno señala la relación entre tres cuadrados en un triángulo general". "Combinado con el análisis de las propiedades de la función coseno, se concluye que el teorema del coseno es una extensión del teorema de Pitágoras. La incorporación del teorema de Pitágoras al sistema de conocimiento del teorema del coseno encarna la idea de pasar de lo general a lo general. especial.
A través de dos ejemplos diferentes de tipos, se introduce la aplicación del teorema del seno y el teorema del coseno. El teorema del seno presenta principalmente los dos tipos de "borde del ángulo" y "borde del borde", y el teorema del coseno. Presenta principalmente los dos tipos de "borde de borde" y "borde de borde", que refleja la discusión de clasificación
3 La relación entre el conocimiento matemático
La prueba y la aplicación del seno. El teorema del seno y el teorema del coseno implican muchos conocimientos matemáticos, como vectores, funciones trigonométricas, geometría analítica, etc. Cabe señalar en la enseñanza
El teorema del seno y el teorema del coseno describen la relación cuantitativa entre. los ángulos de un triángulo, y están estrechamente relacionados con la relación básica entre los ángulos de un triángulo y el conocimiento de juzgar la congruencia de triángulos. Al introducir el contenido del teorema del seno en el libro de texto, los estudiantes deben comenzar desde lo existente. conocimiento de geometría y haga una pregunta exploratoria: "Hay esquinas entre un lado grande y un ángulo grande, y un lado pequeño y un ángulo pequeño en cualquier relación de triángulo". ¿Es posible obtener una representación cuantitativa precisa de la relación entre aristas y ángulos? "Al introducir el contenido del teorema del coseno, partiendo de la congruencia de triángulos aprendida en la escuela secundaria, se explica cualitativamente que cuando se conocen ambos lados y ángulos de un triángulo, el triángulo queda completamente determinado, planteando así la pregunta: ¿Cuándo? Se conocen ambos lados y ángulos de un triángulo, ¿se puede calcular cuantitativamente el tercer lado? Finalmente, el teorema del seno y el teorema del coseno se basan en la resolución de triángulos, lo que hace que los axiomas aprendidos en la escuela secundaria para determinar la congruencia de triángulos sean razonables. Explicación. Es una sublimación de lo cualitativo a lo cuantitativo. También se puede decir que los dos encuentran resonancia aquí y se fusionan en uno. De esta manera, usar una perspectiva conectada para mirar los problemas del pasado desde una nueva perspectiva brindará a los estudiantes una nueva comprensión. del conocimiento pasado y, al mismo tiempo, crear nuevos conocimientos sobre la base del conocimiento existente para formar una buena estructura de conocimiento.
Los "Estándares del plan de estudios de matemáticas de educación obligatoria" organizan el "Teorema del seno y el teorema del coseno". en el curso obligatorio 5. Posteriormente, antes de este contenido, los estudiantes ya han estudiado funciones trigonométricas, vectores planos, geometría analítica y otros contenidos muy relacionados con este capítulo, por lo que esta parte del contenido tiene más herramientas, como la demostración de la. teorema del seno La relación de la función trigonométrica entre los ángulos en realidad se puede demostrar usando el círculo circunstante del triángulo y el vector. El teorema del coseno no solo se puede demostrar mediante el método vectorial utilizado en el libro de texto, sino también mediante el método de coordenadas, con. la ayuda de la fórmula de distancia entre dos puntos y la trigonometría Conocimiento para demostrar En la enseñanza, prestar atención a la aplicación de varios métodos de demostración no solo puede consolidar el conocimiento de cada parte, comprender la conexión interna entre el conocimiento matemático y reflejar el papel. y el poder del conocimiento matemático como vectores y funciones trigonométricas, pero también utiliza una variedad de métodos para probarlo, comparar métodos, ampliar ideas, extraer la esencia y perfeccionar el método óptimo de resolución de problemas. Al enseñar el teorema del seno y el teorema del coseno, debes prestar atención a la conexión con el contenido de los capítulos anteriores, la revisión y la aplicación del conocimiento que has aprendido te preparará para el contenido de los siguientes capítulos.