Solo existen cinco tipos de poliedro regular: tetraedro regular, octaedro regular, hexaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.
Ahora vamos a demostrar que solo hay como máximo 5 poliedros regulares (como se muestra en la imagen)
En cuanto a la existencia de 5 poliedros regulares, eso es algo que tenemos conocido desde hace mucho tiempo (antiguo tiempo griego Platón ( Platón)). Para conocer gráficos y métodos de creación de modelos, consulte "Caleidoscopio matemático" de Steinhaus. ①
Demostración: Para un poliedro regular, supongamos que todas sus caras son n-gonos regulares y r lados se encuentran en cada esquina del vértice. De esta manera tenemos:
nF=2E (1)
rV=2E (2)
El coeficiente 2 en el lado derecho de (1) es porque cada lado aparece en Entre las 2 caras, el coeficiente de 2 en el lado derecho de (2) se debe a que cada lado pasa por 2 vértices. Sustituyendo (1) y (2) en la fórmula de Euler, obtenemos:
o
(3)
Obviamente n≥3, r≥3, porque un polígono tiene al menos tres lados y hay al menos tres lados en cada esquina del vértice. Pero n>3 y r>3 es imposible, porque entonces habría , pero E>0. Entonces al menos uno de r y n es igual a 3.
Supongamos que n=3, entonces r=3, 4, 5, entonces E=6, 12, 30 y F=4, 8, 20, lo que da el tetraedro regular, el octaedro regular y el icosaedro regular. .
Supongamos que r=3, entonces, entonces n=3, 4, 5, entonces E=6, 12, 30, y F=4, 6, 12, lo que da el tetraedro regular, hexaedro regular ( es decir, cubo) y dodecaedro regular.