3. Obviamente, m≡0, 1, 2, 3 (mod4) se analizará sucesivamente a continuación.
Si m≡0(mod4), entonces A [1] ≡ M 5 487 ≡ 487 ≡ 3 (mod 4), A [2] ≡ A [1] 5 487. Pero un número cuadrado perfecto módulo 4 es 0 o 1, por lo que hay como máximo un número cuadrado perfecto (A[0]) en A[n].
Si m≡1(mod4), entonces es fácil saber que A[1]≡0(mod4), A[2]≡3(mod4), A[3]≡2(mod4) ), A [4].
Mismo análisis, si m ≡ 2 o 3 (mod 4), entonces no puede haber un número cuadrado perfecto en A[n].
De lo anterior se puede ver que hay como máximo dos cuadrados perfectos en A[n], y solo pueden ser A[0] y A[1]. Encontremos el valor de M tal que A[0] y A[1] sean cuadrados perfectos.
Supongamos que A[0]=m=k? , entonces sea a[1]= m 5 487 = k 10 487 = n? ,∴487=n? -k^10=(n-k^5)(n k^5). Tenga en cuenta que 487 es un número primo, entonces n-k ^ 5 = 1, n k ^ 5 = 487, la solución es k = 3, ∴m = 9. Después de la prueba, cuando m = 9, tanto A [0] como A [1. ] están completos. Para números cuadrados, el m requerido es 9.
4.a? ¿b? =(a b)(a? b?-ab) = p n, obviamente a b > 1, entonces p|a b
Si p=3, entonces a? ¿b? =(a b)(a? b?-ab)=3^n. ¿Establecer un? ¿b? -ab=3^i
Si i≤1, cuando i=0, ¿a? ¿b? -ab=1, entonces 1=a? ¿b? -ab≥ab, ∴a=b=1, 3 n = 2, ¡contradicción! ;Cuando i=1, 3=a? ¿b? -ab≥ab, ∴ A, y b, al menos uno de ellos es 1, y 3|a b, ∴ y el otro es 2. En este momento, 3 n = 9 y ∴n = 2, obteniendo así dos conjuntos de soluciones (1, 2, 3, 2).
Si n≤2, es fácil saber que n≠0. Cuando n=1 (a b)(a? b?-ab)=3, entonces a b=3, a? ¿b? -ab=1≥ab, ¡contradicción! Cuando n=2, entonces a? ¿b? =(a b)(a? b?-ab)=3^2, ∴a b=a? ¿b? -ab=3, entonces A y B son 1 y 2 respectivamente. Es decir, se obtienen dos conjuntos de soluciones obtenidas previamente (1, 2, 3, 2) y (2, 1, 3, 2).
Es decir, cuando i≤1 o n≤2, existen dos conjuntos de soluciones (1, 2, 3, 2), (2, 1, 3, 2),
Si i≥2 (es decir, a? b?-ab≥9) y n≥3, entonces 3|a b, y 3? |a? ¿b? -ab=(ab)? -3ab,∴3? |3ab, es decir, 3|ab, ∴3|a y 3|b, entonces (a/3)? (b/3)? =(a/3 b/3)((a/3)? (b/3)?-(a/3) (b/3)) = 3 (n-3), si existe (a/3) ? (b/3)? -(a/3)(b/3)≥9 y n-3≥3, luego repita los pasos anteriores k veces (a/3 k)? (b/3^k)? =(a/3^k b/3^k)((a/3^k)? (b/3^k)?-(a/3 k) (b/3 k)) = 3 (n-3k) . ¿Hay (a/3k) disponible en este momento? (b/3^k)? -(a/3 k) (b/3 k) ≤ 3 o n-3k ≤ 2.
Según el análisis anterior, A/3 k = 1, B/3 k = 2, n-3k = 2 o A/3 k = 2, B/3 k = 2. Aquí también se pueden generalizar (1, 2, 3, 2) y (21, 3, 2). Se comprueba que (3 k, 2,3 k, 3, 3 k 2) y (2,3 k, 3k, 3, 3k 2) (k ∈ n) son soluciones de la ecuación original.
Si p≠3
Si n≤2, es fácil saber que n≠0, y cuando n=1, ¿a? ¿b? =(a b)(a? b?-ab)=p, ∴a? ¿b? -ab=1≥ab, a b=p, ∴a=b=1, p=2. En este momento se obtiene un conjunto de soluciones (1, 1, 2, 1). Si n=2, entonces a? ¿b? =(a b)(a? b?-ab)=p^2, ∴a b=p^2, a? ¿b? -ab=1 o p=a b=a? ¿b? -ab. Si el primero es a=b=1, P 2 = 2, ¡una contradicción! Entonces p=a b=a? ¿b? -ab≥ab, ∴a≥b(a-1). Si a y b son menores que 2, entonces a≥b(a-1)≥2(a-1), y a≤2, ∴a=2, entonces b? 4-2b=b 2, obtenemos b=1 o 2, ∴p=3 o 4, ¡una contradicción! Al menos uno de A y B es 1. Cuando a=1, B? 1-b=b 1, b=2. De manera similar, cuando b=1, a=2, p=3, ¡esto es una contradicción!
Resumiendo, cuando n≤2, existe un conjunto de soluciones (1, 1, 2, 1).
Si n≥3, entonces (a/p)? (b/p)? = p (n-3), si todavía hay n-3≥3 en este momento, continúa repitiendo, después de k veces (a/p k)? (b/p^k)? =p^(n-3k). En este momento, sea n-3k≤2. Como se analizó anteriormente, a/p k = b/p k = 1, p=2, n-3k = 1, y a = b = 2 k, p = 2, n = 3k 65438.
Resumiendo, (a, b, p, n) = (3 k, 2,3 k, 3, 3 k 2) o (2,3 k, 3k, 3, 3k 2) o (2 k , 2k, 2, 3k 650).
5. Supongamos que existe tal n.
Debido a que n no tiene factores cuadrados y es divisible por 2011 números primos diferentes, sea n = p [1] p [2]...p [2011], donde p [1], p [2 ]. p[2] lt;... ltp[2011].
∫n | 2n 1, ∴ p [1] | (p[1]-1)≡1(modp[1]), ∴ 2 (2n, p[65438) Es fácil saber que n y p[1]-1 son primos relativos (de lo contrario, n tiene un valor menor que p[1] y Factor mayor que 1), ∴(2n, p[1]-1)=2, ∴
Supongamos k = p [2] p [3]...p [ 2011], entonces p [ 2] | 2 (3k) 1 = 8 k 1, ∴ 8 k ≦. Es decir, 8 ^ 2≡1(MODP[2]), p[2]|63 y P [2] > 3, entonces p[2]=7.
∴ 7 | 8 k 1, pero 8k 1≡1k 1≡2 (mod 7), ¡una contradicción!
No existe tal n.