Una conclusión sobre el determinante de una matriz simétrica real definida positiva
(Departamento de Matemáticas, Universidad Normal de Yangtze, Chongqing 408100)
Yang Shixian
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Basado en el conocimiento de la matriz de medición y la matriz de bloqueo, este artículo extrae las siguientes conclusiones.
Se obtiene la diferencia entre el determinante de una matriz simétrica real estereotipada y sus elementos de la diagonal principal
Se obtiene la ecuación.
Palabras clave: matriz simétrica real matriz métrica bloque de ortogonalización hermitiana
Determinante de matriz
La matriz simétrica real es importante en el contenido de álgebra avanzada, la so- llamada realidad fija.
Las matrices simétricas son matrices definidas positivas, definidas negativas, definidas semipositivas y definidas seminegativas. Volvamos primero.
Considere algunas conclusiones sobre las matrices simétricas reales que se utilizarán en este artículo:
Propiedad 1: La condición necesaria y suficiente para una matriz simétrica real definida positiva A es la existencia de una matriz cuadrada reversible.
La matriz c forma a = c' C.
Propiedad 2: La matriz simétrica real A es semidefinida positiva si y sólo si es todo.
Tanto la expresión maestra como la expresión dependiente son mayores o iguales a cero.
Propiedad 3: La condición necesaria y suficiente para que la matriz simétrica real A sea definida negativa (definida seminegativa) es -A.
Es definida positiva (definida semipositiva).
Propiedad 4: En el espacio euclidiano N-dimensional, ¿un conjunto de bases ε1, ε2,? , la matriz métrica de εn
A=
(aiji), donde aiji = (ε i, ε j) es una matriz simétrica real y la matriz A es definida positiva.
Propiedad 5: En el espacio euclidiano N-dimensional, ¿dos conjuntos de bases ε1, ε2,? , εn
Y eta1, eta2,? , las matrices métricas de ηn
son a y b respectivamente, entonces a y b son contractuales, es decir, si (η1, η2,
, ηn ) = (ε1, ε2 ,? , εn)C, entonces B=C'AC.
El principal teorema a demostrar en este artículo es:
Teorema 1: A = (aiji) es una matriz definida positiva de orden n, entonces detA≤
n
p>k=1
* akk
Para demostrar el Teorema 1, primero demostramos un lema:
Lema: ε1, ε2, ? , εn
¿es un conjunto de bases, ε1, ε2, en un espacio euclidiano de n dimensiones? , εn
Obras maestras
La ortogonalización de superermita se convierte en eta1, eta2,? , etan, sea G(ε1, ε2,?, εn) la matriz métrica de ε1, ε2,
, εn
, demuestre:
detG( ε1
, ε2, ?, εn)=detG(η1, η2, ?, ηn)=|η1|2
|η2|2
? |ηn|2
Demostración: Supongamos que A proviene de ε1.
, ε2
, ?, εn
a eta1, eta2,? , ηn
Transferir matriz, es decir:
(η1, η2, ?, ηn)=(ε1, ε2, ?, εn)A
Entonces G (η1, η2,?, ηn)= A′G(ε1, ε2,?, εn)A (1)
Según el significado de la pregunta η1, η2,? , ηn
está compuesto por ε1, ε2,? , εn
viene a través de la ortogonalización hermitiana
, por lo que hay:
η1
=ε1;
η2
=ε2-
(ε2, η1)
(η1, η1)
η1
ηn
=εn-
(εn, η1)
(η1, η1)
η1
- ?-
(εn, ηn- 1)
(ηn- 1, ηn- 1)
ηn- 1
Entonces sabemos que A es una matriz triangular superior y que los elementos de la diagonal principal son todos 1, es decir,
A=
1 * ?*
0 1 ?*
# ?
0 0 ?
$ amp
'(()
1
Al mismo tiempo, a' =
1 0 ?0
* 1 ?0
# ?
* * ?
$ amp
'(()
1
, entonces detA'=
detA=1. De la fórmula (1), sabemos:
detG(η1, η2,?, etan)= det(A′G(ε1,ε2,?, εn)A )
= detA′detG(ε1,ε,?,εn) detA
=detG(ε1,ε2,?,εn)
Debido a que eta1, eta2,, etan
son grupos de vectores ortogonales, entonces G(eta1, eta2,?, etan) es la
matriz de ángulos, y:
detG(η1, η2,?, ηn)=|η1|2
|η2|2
|ηn|2
Es decir: detG( ε1, ε2, ?, εn)=detG(η1, η2, ?, ηn)=|η1| la demostración está completa.
Demostración del teorema 1: Según el significado de la pregunta, A = (aiji) es una matriz definida positiva de orden n, por lo que depende de las propiedades.
La calidad 1 conoce la existencia de la matriz cuadrada reversible c, por lo que a = c' c. Supongamos que los n vectores columna de la matriz c son respectivamente
son α1, α2,? , αn, las matrices rápidas que usan multiplicación y división son:
a = C′C =
α1
′
α2< /p >
′
αn
$ amp
'((()
′
( α1, α2, ?, αn)=
α1
′α1
α1
′α2 ?α1′αn< /p >
α2
′α1
α2
′α2 ?α2′αn
αn
′α1
αn′α2
αn′αn
$ amp
'((()
=
(α1,α1) (α1,α2) ?(α1,αn)
(α2,α1) (α2,α2) ?(α2,αn)< /p >
(αn, α1) (αn, α2)? (αn, αn
$ amp
'((()
)
(2)
Debido a que la matriz es una matriz cuadrada invertible, α1, α2,?, αn
son grupos de cantidades linealmente independientes
También se puede considerar como un conjunto de bases, entonces la matriz A es la matriz métrica de α1, α2,?, αn
Realice la ortogonalización de Hermite para obtener vectores.
β1, β2, ? βn se conocen a partir de las condiciones del lema:
det A=|β1|2
|β2|2
? βn|2
Porque β1, β2,?, βn
están compuestos de α1, α2,
Mediante ortogonalización hermitiana
p>
, tienen la siguiente relación:
β1
=α1;
β2
=α2-
(α2, β1)
(β1, β1)
β1
βn
=αn-
(αn,β1)
(β1,β1)
β1
- ?-
(αn, βn- 1)
(βn- 1, βn- 1)
βn
-1.
Utilizar β1, β2,? , βn
representa α1, α2,? , αn
tiene:
α1
=β1;
α2
=β2
(α2, β1)
(β1, β1)
β1
αn
=βn
(αn, β1)
(β1, β1)
β1
(αn, βn- 1)
(βn- 1, βn- 1)
βn
- 1
Porque β1, β2,? , βn
son ortogonales entre sí, por lo que existen:
|α1|=|β1|;
|α2|= β2
(α2, β1)
(β1, β1)
β1
=|β2
(α2, β1| )
(β1, β1)
β1
≥|β2|;
|αn|= βn
(αn, β1)
(β1, β1)
β1
(αn, βn- 1)< /p >
(βn- 1, βn- 1)
βn
- 1
=|βn
(αn , β1)
(β1, β1)
β1
(αn, βn- 1)
(βn- 1, βn- 1)
βn- 1
≥|βn
|
Entonces: det A =|β1|2.
|β2|2
? βn|2
≤|α1|2
≤|α1|2
|α2|2
? |αn|2,
Es fácil saber a partir de la fórmula (2) que |ak|2=akk,
Es decir, det A≤
n
k=1
∏akk, la prueba está completa.
Sabemos que el determinante A=(aij) de una matriz semidefinida positiva debe ser mayor o igual a.
En cero, cuando det A >0, a debe ser definida positiva; el par principal de matrices semidefinidas positivas simultáneas a
Los elementos en la diagonal akk (1≤k). ≤ n) son todos números reales no negativos, por lo que cuando det A=0,
La desigualdad det A≤
n
k=1
* akk
Obviamente establecido. En resumen, el Teorema 1 es:
Corolario 1: A=(aij) es una matriz semidefinida positiva de orden n, entonces det A≤
n
k=1
* akk .
Para la matriz semidefinida positiva o definida negativa A=( aij), sabemos que -A es semidefinida positiva o
definida positiva, entonces:
Corolario 2: A = (aiji) es una matriz definida seminegativa (definida negativa) de orden n. Cuando n es un número par, existe. es
det A≤
n
k=1
* akk; cuando n es un número impar, existe det A; ≥
n
k =1
* akk .
Se demuestra que si A = (AIJ) es un semi positivo -matriz definida, entonces -A = (- aij) es una matriz semidefinida positiva.
Por corolario 1 es:
det (- A)≤
n
k=1
∏(- akk)
$(- 1)ndetA≤(- 1)n
n
k=1
* akk
$
det A≤
n
k=1
∏akk, n es un número impar,
det A≥
n
k=1
∏akk, n es un número par.
<'
amplificador
(
,
Certificado de finalización
Referencia:
[1] Departamento de Matemáticas y Mecánica de la Universidad de Pekín (Tercera edición) [M]. .