He estado trabajando en China durante más de un año y he conocido a muchos estudiantes de secundaria, universitarios y de posgrado. Para atraer a estudiantes destacados a las matemáticas, tuve muchas conversaciones e intercambios con ellos, lo que desencadenó mi pensamiento sobre la educación matemática desde todos los aspectos. Hasta la fecha, muchos artículos han criticado nuestro sistema educativo, argumentando que sofoca la imaginación de los estudiantes. Pero creo que nuestra educación, desde la escuela secundaria en adelante, pone demasiado énfasis en las habilidades y no logra desarrollar el conocimiento de los estudiantes. Éste es el inconveniente fundamental. Leer más puede ayudarte a saber más, pero sin una amplia gama de conocimientos, la imaginación es como agua sin fuente. Las tácticas de resolución de problemas basadas en la Olimpiada de Matemáticas en las escuelas secundarias hacen que los estudiantes olviden que el propósito de resolver preguntas es comprender el conocimiento. En las universidades, el conocimiento de algunos profesores es demasiado antiguo y limitado, lo que hace que los estudiantes lleguen a un callejón sin salida, lo que hace aún más imposible ampliar sus conocimientos. Creo que para los estudiantes de matemáticas, primero debemos ampliar nuestros horizontes, no sólo entre las diversas disciplinas de las matemáticas, sino también entre disciplinas relacionadas, como la física. Varios sentimientos contribuyeron a este artículo. Espero que mis propias experiencias y experiencias puedan servir como punto de partida.
Discutiré la importancia del conocimiento y la relación entre conocimiento, habilidades e imaginación a partir de mi propia experiencia académica. Desde mis estudios de posgrado, mi trabajo ha girado en torno a problemas geométricos y topológicos en física. Los físicos necesitan las matemáticas como herramienta y, a su vez, utilizan teorías físicas para formular conjeturas matemáticas. Aunque las derivaciones de los físicos a menudo no son rigurosas, estas conjeturas suelen resultar correctas. ¡Esto es muy sorprendente!
Para resolver las conjeturas matemáticas propuestas por los físicos, desarrollamos una nueva teoría matemática y descubrimos conexiones inesperadas entre diferentes ramas de las matemáticas. Estas revoluciones matemáticas proporcionaron una base teórica rigurosa para el desarrollo continuo de la física. La intersección de las matemáticas y la física ha provocado muchas revoluciones en la historia de la ciencia. Los más famosos incluyen el cálculo y las leyes de la mecánica de Newton, la relatividad general y la geometría de Riemann. Existen numerosos ejemplos en los últimos años, como el teorema de rigidez del género elíptico obtenido combinando la teoría cuántica de campos y la teoría exponencial, la fórmula de Verlinde del módulo espacial dada por **la teoría formal de campos, el campo de Yang-Mills, la topología tetradimensional, etc. . Teoría de Chern-Simons y topología tridimensional, teoría de nudos, fórmula especular de simetría especular y espacio de Calabi-Hill en teoría de cuerdas, conjetura de Marino-Varfa de la teoría de Chern-Simons, espacio de Calabi-Hill y red invariante de Romov-Witten, la relación entre teoría de cuerdas y flujo de Ricky, topología tridimensional, simetría especular y teoría de números. En los últimos 20 años, la mitad del trabajo premiado de los ganadores de premios de campo de matemáticas está relacionado con la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas. Esto nos da motivos para adivinar: ¿Dios creó el mundo según fórmulas matemáticas? Pero no hay duda de que las matemáticas son la clave de la naturaleza.
Cabe señalar que las aportaciones de los físicos a las matemáticas no se limitan a predecir conclusiones matemáticas. Muchas veces, también utilizan un lenguaje matemático riguroso para señalarnos importantes objetos de investigación en matemáticas. Witten y Vafa son dos representantes destacados, sus matemáticas son incluso mejores que las de la mayoría de los matemáticos. Algunas personas los describen como si hubieran regresado del tiempo y el espacio futuros, recordando solo las escenas fragmentadas de las matemáticas futuras, y narrar de memoria se ha convertido en una conjetura que desafía a los matemáticos contemporáneos. Puede que valga la pena aprender de la forma en que los físicos aprenden matemáticas. Probablemente Witten nunca haga ejercicios de matemáticas, pero aprende las matemáticas que necesita lo más rápido posible. Taubes, profesor de matemáticas en la Universidad de Harvard, dijo una vez: "Los físicos primero aprenden la teoría exponencial y luego aprenden la geometría de Riemann". Creo que los matemáticos no sólo deberíamos prestar atención al desarrollo de la física, sino también a las habilidades de los físicos para dominar el conocimiento, es decir, aprender a través de la investigación y aprender a través del estudio.
Los físicos favorecen particularmente el infinito, incluso a expensas del rigor, como la simetría SL(2, Z), la teoría de Chen-Simons de los límites N grandes y las integrales de trayectoria. Aunque la integral de trayectoria de Feynman todavía carece de una base matemática estricta, la teoría ha tenido un profundo impacto en la física cuántica moderna con su cálculo formal físicamente intuitivo y conveniente. Como dice el refrán, "La belleza es infinita y la belleza es útil". Esta falta de rigor también les da un espacio infinito para la imaginación.
Entonces, ¿cómo debemos aprender matemáticas?
Cuando fui a Estados Unidos a estudiar, solo traje dos libros.
Una es "Geometría diferencial" de Yau Shing-tung y Schön, y la otra es "Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden" de Gilberg y Trudinger. Quería demostrar mis habilidades en análisis y geometría. A finales de septiembre, entré a la oficina del Sr. Qiu Chengtong y comencé mi vida de estudios en Harvard. Me preguntó si quería empezar a investigar o seguir aprendiendo más matemáticas. Le respondí que quería empezar a investigar. Pero el profesor Qiu me dijo: "Deberías aprender tantas matemáticas como sea posible, porque no es fácil aprender cosas nuevas después de graduarte". Me pidió que aprendiera geometría algebraica, teoría de números algebraica, análisis geométrico... Hay muchas. Contenidos que todavía no puedo aprender hasta hoy. Entiendo totalmente. Pero ha afectado profundamente mi carrera académica y mi trayectoria de vida. Después de convertirme en profesor, la fuerte presión de la enseñanza y la investigación científica me hizo darme cuenta de lo serias y reflexivas que eran las palabras del Sr. Qiu.
¿Qué es más importante, el conocimiento o las habilidades? En mi opinión, ¡el conocimiento es más importante para los jóvenes! El conocimiento nos permite mantenernos erguidos y ver la dirección correcta, porque si la dirección es incorrecta, todos los esfuerzos serán infructuosos. Sin embargo, también debemos admitir que los avances clave en la investigación a menudo provienen de la innovación en habilidades. Por ejemplo, un maestro de artes marciales ha aprendido muchas artes marciales, pero si su fuerza interna no es buena, puede ser poseído fácilmente. Como todos sabemos, el Sr. Qiu ha realizado un trabajo innovador en muchos campos de las matemáticas con sus sólidas habilidades analíticas y su amplio conocimiento. Actualmente, las feroces competencias de matemáticas de China para estudiantes de secundaria ponen demasiado énfasis en las habilidades. De hecho, nuestros estudiantes deberían dejarse influenciar por todo tipo de conocimientos de la escuela secundaria, permitirles leer más biografías de personajes famosos y cultivar su curiosidad por la ciencia. La biografía que leí recientemente sobre Newton fue fascinante. Fue por curiosidad que Newton se hizo docenas de preguntas sobre la naturaleza durante su segundo año. Para resolverlos desarrolló como base el cálculo y luego las cuatro leyes de la física.
A continuación, combinaré mi propia experiencia para discutir la importancia de una amplia gama de conocimientos, la necesidad de intersección entre matemáticas, física e ingeniería, y los beneficios de los intercambios académicos con amigos.
Cuando estudiaba en la Escuela de Graduados de la Academia China de Ciencias, entre mis compañeros se encontraban Zhang Weiping y Zhou Xiangyu, quienes ahora se han convertido en los jóvenes matemáticos más destacados de China. En ese momento, había pocas oportunidades de escuchar cursos de vanguardia. Organizamos nuestras propias clases de discusión, nos apuntamos a la antigua reunión de clase, teoría exponencial, conjetura de modelo... Al principio no podíamos entenderlo del todo, pero ampliamos nuestros horizontes y al menos sabíamos qué son las "buenas" matemáticas. vale la pena aprender. Es importante que todos desarrollen un aprecio por las matemáticas. Si todavía no estás seguro de qué son las buenas matemáticas, siempre es una buena idea leer las obras y artículos de grandes matemáticos y seguir a los maestros. La idea de la localización se convirtió más tarde en una herramienta importante para mi investigación, que dominé durante mis estudios en China y mi tesis de maestría. Más tarde, utilicé el pensamiento localizado para comprender todo el conocimiento matemático que aprendí, como si ensartara muchas cuentas con un hilo.
Desde que llegué a la Universidad de Harvard, lo que más me impresionó es el estilo diligente de los profesores y estudiantes de allí. Lo que más le falta a China ahora es este tipo de atmósfera. En realidad, una universidad de primera tiene una atmósfera de primera. Lo que los impulsa es su curiosidad y amor por las matemáticas y su sed de conocimiento. Harvard ofrece varias clases de debate y los estudiantes son muy activos. No hay suficientes asientos, por lo que hay que sentarse en el suelo. Siento como si me hubiera sumergido en el océano del conocimiento y cada mañana siento un sol diferente. Es un día emocionante.
El artículo de Witten "Supersimetría y teoría Morse" tuvo la mayor influencia en mi trabajo y también me beneficié mucho del estilo de investigación del profesor Bott de la Universidad de Harvard. Bote dijo: "Vaya con la corriente, no contra ella". En otras palabras, al hacer matemáticas, siempre debes seguir la corriente, no trabajar demasiado ni con fuerza, y perseguir la suavidad de "el barco ha pasado las diez mil montañas", pero no seguir la tendencia, ambos Las partes deben coordinarse bien, de lo contrario no habrá innovación.
Todo cambio en las matemáticas es inseparable de nuevas ideas y métodos, así como de la integración de diferentes ramas. Esto requiere que pensemos de manera más creativa basándose en el dominio de una gran cantidad de conocimientos para poder ocupar un lugar a la vanguardia del desarrollo matemático. La interacción entre matemáticas y física será sin duda la rama principal de la investigación matemática durante mucho tiempo.
Para dar algunos ejemplos interdisciplinarios, la geometría diferencial se creó combinando cálculo y álgebra lineal; Faltings demostró la conjetura de Mordell utilizando la teoría de Araklov, que combina la teoría de números algebraica y la geometría algebraica. A partir de funciones simétricas, o más generalmente, de la teoría de representación de grupos compactos, se pueden obtener categorías de Chern, teoría K, fórmulas de Riemann-Roch y teoría exponencial; género elíptico que integra la forma modular, la teoría de la representación y la topología. de la dualidad en la teoría de cuerdas en matemáticas y otros aspectos.
Los matemáticos han hecho grandes aportaciones a la sociedad en su conjunto y a la vida cotidiana de las personas. Las matemáticas se pueden encontrar en todas partes, desde las computadoras e Internet hasta las ciencias biológicas y las finanzas. Aunque ahora no es fácil encontrar trabajo en Estados Unidos, Wall Street todavía contrata a un gran número de graduados en matemáticas, que pueden ser competentes después de tres meses de formación. También hay varios matemáticos entre los premios Nobel de Economía, entre ellos Nash, protagonista de "Una mente maravillosa", y Debreu, que dio un informe de una hora en el Congreso Internacional de Matemáticos. Se puede decir que las matemáticas son la especialidad más desinteresada y con mayor potencial. Si avanzas, podrás esforzarte por convertirte en un gran científico; si retrocedes, podrás vivir una vida de calidad. Es fácil transferir de matemáticas a otras especialidades, pero, por otro lado, no es fácil para otras especialidades transferirse a matemáticas. Las matemáticas pueden brindarte una buena formación en pensamiento lógico. Incluso si no haces matemáticas en el futuro, puedes obtener buenos resultados en otros campos. Entre mis 150 compañeros de clase en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Pekín, aunque ahora soy el único que hace matemáticas puras, a todos les va bien.
Einstein dijo: "La imaginación es más importante que el conocimiento". Pero sin un conocimiento profundo, la imaginación sólo puede ser un castillo en el aire. El llamado "genio" significa que tienes siete u ocho preguntas en mente en todo momento. Mientras lee la literatura, continúa utilizando las habilidades y métodos recién aprendidos para analizar estos problemas y ver si puede encontrar un gran avance. Mientras persistas y persistas, siempre podrás resolver dos o tres de ellos, y los demás pensarán que eres un genio.
Mi tesis doctoral estudia principalmente el género elíptico. El género elíptico es una combinación de teoría exponencial y forma modular, que puede considerarse como teoría exponencial en el espacio cíclico. Después de que Witten propusiera la conjetura de la rigidez del género elíptico inspirada en la teoría cuántica de campos, Bott y Taubes dedicaron mucha energía a estudiar este problema, pero su demostración era demasiado técnica y complicada. Asistí a seminarios sobre género elíptico en Harvard y el MIT. Me di cuenta de la simetría de los operadores elípticos en espacios cíclicos bajo la acción del grupo de módulos SL(2,Z), y luego, al cabo de unos meses, di una prueba concisa de la conjetura de rigidez, utilizando funciones teta de Jacobi de la teoría de números y la forma del módulo. . La simetría SL(2,Z) también es un principio básico en la teoría de cuerdas. La idea de probarlo germinó por primera vez camino a Princeton para participar en una competencia de tenis de mesa, y el último paso para demostrarlo fue mientras veía una película. Recuerdo que las primeras pruebas siempre tenían lagunas, lo que me angustiaba mucho. Pero creo firmemente que una idea tan maravillosa debe ser correcta; de lo contrario, las matemáticas no serían nada interesantes y tal vez habría dejado de hacer matemáticas hace mucho tiempo. Por eso el sentido matemático que aprendí y desarrollé juega un papel clave en muchos aspectos. Posteriormente generalicé el teorema de rigidez y lo combiné con álgebras de Lie de dimensión infinita. Con este nuevo método, no sólo descubrí nuevos teoremas de extinción y rigidez, sino que también utilicé conocimientos de teoría de números y geometría algebraica para comprender los fenómenos de rigidez a través de la geometría de las superficies del molde. Estos métodos siguen siendo muy útiles ahora, superando completamente mis expectativas. Este nuevo método también me llevó a cooperar con amigos como Ma Xiaonan, Zhang Weiping y Dong Chongying, combinando la teoría de los operadores de vértices con la rigidez de los operadores elípticos.
El primer paso en mi carrera investigadora fue beneficiarme de una amplia acumulación de conocimientos. En el proceso de investigación, también profundicé mi comprensión del conocimiento que aprendí. Después de estudiar en Harvard durante varios años, creo que lo más importante es la comprensión y la capacidad de comprender las "buenas matemáticas".
A finales de la década de 1980, cuando el físico Verlinde estaba estudiando la teoría de campos con forma * * * bidimensional, propuso calcular la dimensión holomorfa de la sección transversal del haz de líneas regulares en el espacio modular del establo. paquete en la superficie de Riemann La famosa conjetura fue un tema de investigación muy popular a principios de la década de 1990. Los espacios de módulo de haces estables en superficies de Riemann se han estudiado en muchas ramas de las matemáticas, especialmente en la geometría algebraica y la topología.
Los matemáticos han probado muchos métodos para calcular las dimensiones holomorfas de la sección transversal de sus haces de líneas canónicas, pero todos han fracasado. Sin embargo, a los teóricos de cuerdas se les ocurrió inesperadamente una fórmula cerrada muy simple. Cuando Soon Witten estaba estudiando la teoría de calibre bidimensional, propuso una conjetura sobre la fórmula de intersección cerrada en el espacio de módulo del paquete principal en la superficie de Riemann. En principio, la fórmula de Witten se puede combinar con la fórmula de Riemann-Roach o la fórmula exponencial para obtener la fórmula de Velinder. Yo estaba enseñando en el MIT en ese momento, participé en muchas clases de discusión sobre este tema y probé muchos métodos diferentes para comprender la fórmula de Witten, que es la suma infinita de todas las representaciones irreducibles de grupos compactos de Lie. Durante ese tiempo, también obtuve una comprensión más profunda de la geometría simpléctica.
Hasta que un día, en la biblioteca del MIT, mientras hojeaba la literatura de interés como de costumbre, vi accidentalmente la expresión del núcleo termonuclear en el grupo de Lie, que es del mismo tipo que la fórmula de Witten. Se da la fórmula de suma. Inmediatamente me convencí de que había encontrado la herramienta para probar la fórmula de Witten, es decir, el núcleo térmico de los grupos de Lie. Tener una idea es sólo el primer paso y aún quedan muchas dificultades técnicas por superar. Pasé meses escribiendo todos los detalles de la prueba.
Inspirado por mi trabajo, Bismut pudo utilizar mi método para probar la fórmula general de Verlinde.
La palabra inglesa "research" significa búsquedas repetidas, lo que refleja bien la esencia de la investigación. Tanto el Sr. Qiu Chengtong como el Sr. Yang Zhenning tienen la buena costumbre de leer revistas en la biblioteca. No quieren saber, sólo estar informados. Como otras materias, cada avance en matemáticas se basa en el trabajo de generaciones anteriores. ¡Se puede decir que "abrir el libro es beneficioso"!
Recibí una carta de aceptación de la Universidad de Stanford. Apenas una hora antes de salir de Boston, el Sr. Yau me llamó para discutir conmigo el tema de la simetría especular. En 1990, el físico británico Candela y otros propusieron cinco conjeturas sobre la fórmula de conteo de curvas racionales en el espacio de Calabi-Hill basadas en la simetría especular. Durante los últimos cien años, los geómetras algebraicos han intentado contar el número de estas curvas racionales, pero sólo pudieron obtener un número no mayor que el de curvas racionales cúbicas. La fórmula de Candela causó gran sensación al calcular el número de curvas racionales de cualquier grado mediante el cálculo de una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden muy sencilla, la ecuación de Picard-Fuchs. Muchos matemáticos intentaron probar esta fórmula, incluidos matemáticos famosos como Witten, Koncevich y Giventhal. Nunca antes había prestado atención al campo de investigación de la simetría especular, así que comencé a leer más literatura. A veces no puedo resolverlo después de pensarlo mucho durante varios días, o incluso después de cálculos complejos tengo la experiencia de "no hay manera". Más tarde, sin darme cuenta, cuando noté la importancia de las estructuras recursivas para estabilizar el espacio de los módulos de mapeo, el problema pareció aclararse de repente. Este maravilloso sentimiento es difícil de entender para los demás. Pronto, Yau, Lien Wenhao y yo dimos la primera prueba completa de la conjetura del espejo de Candela. La clave de la prueba es la tecnología de localización de functores, que también es una herramienta muy importante en mi futuro trabajo de investigación. Desde entonces, hemos generalizado el teorema del espejo a una gama muy amplia de situaciones. Esta es una cooperación muy agradable. Nuestras fortalezas se combinan para resolver problemas difíciles rápidamente.
Durante mis años en UCLA, he ganado mucho en investigación y también hemos demostrado la conjetura del espejo de Hori-Vafa de las variedades de Grassmann. Además de las fórmulas de posicionamiento de functores, se utilizan sofisticadas técnicas combinatorias y geometría algebraica. Sólo después de conversaciones con Liu Jianhao se superaron estas dificultades. El arduo trabajo y el coraje de Hao Jian para enfrentar todas las dificultades me dejaron una profunda impresión. Por lo tanto, es muy importante comunicarse con buenos amigos, especialmente amigos que comprenden el trabajo y las habilidades de los demás.
A principios de la década de 1990, Koncevich demostró la famosa conjetura de Witten: las series generadoras de algunas integrales clásicas (llamadas integrales de Hodge) en el espacio módulo de curvas algebraicas satisfacen infinitas ecuaciones diferenciales de tipo KdV. He seguido durante mucho tiempo el trabajo de Koncevich y sus desarrollos relacionados, y la generalización de la simetría especular al género alto también requiere el cálculo de una gama más amplia de integrales de Hodge.
En 2001, Marino y Vafa, basándose en la relación dual entre la teoría de Chern-Simons y el espacio de Calabi-Yau, especularon que la serie generativa de una clase más amplia de integrales de Hodge en espacios de módulo curvo puede expresarse como una fórmula combinatoria cerrada sobre la simetría. representación grupal, es decir, invariante del nudo de Chern-Simons.
Rápidamente me atrajo una hermosa conjetura y me di cuenta de que primero necesitaba encontrar un gran avance en el método de combinación. En el verano de 2002, se celebró en China el Congreso Internacional de Matemáticos. Zhou Jian y yo discutimos muchas cuestiones, como la simetría especular en los planos Beijing-Hangzhou y Shanghai-Hangzhou. Por supuesto, también mencionamos la conjetura de Marino-Vafa. Desde entonces, han continuado muchos debates fructíferos por correo electrónico. Pronto, Zhou Jian aclaró la parte combinatoria de la fórmula Marino-Vafa, es decir, la fórmula combinatoria representada por el grupo de simetría. Se dio cuenta de que esta fórmula de combinación satisfacía la llamada ecuación de "unión de corte". Debido a que esta ecuación de "cortar y fusionar" es equivalente a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, desde la perspectiva del teorema de unicidad de la solución, el problema restante es simplemente probar la parte geométrica de la fórmula Marino-Vafa, es decir, la La serie de generación de la integral de Hodge también satisface este "cortar y combinar" las ecuaciones y tener los mismos valores iniciales que la parte combinada.
La demostración de la parte geométrica de la fórmula Marino-Vafa es bastante tortuosa y difícil. Hemos realizado muchos intentos utilizando tecnología de posicionamiento de funtores. En abril de 2003, Liu Qiuju llegó a UCLA y participó en un seminario que yo organicé. Le conté a Liu Qiuju sobre el progreso de la investigación con Zhou Jian. Con los esfuerzos conjuntos de nosotros tres, la prueba de la parte geométrica se completó rápidamente. Recuerdo que los tres estábamos desconcertados por las expresiones extremadamente complicadas y estábamos muy desconcertados. Pensamos en rendirnos y simplemente anotamos algunos resultados. Finalmente, Liu Qiuju regresó de Arrow Lake para discutir conmigo e hizo un último intento desesperado, usando un método similar al que usamos para probar la fórmula del espejo, ¡y tuvo éxito! La sensación de ese momento es inolvidable. Cuando se demostró esta conjetura, realmente hubo un sentimiento de unidad entre el cielo y la tierra. Fue un sentimiento maravilloso de conmoción del alma. La versión preimpresa del certificado se publicó en junio de 2003 y causó gran repercusión a nivel internacional.
En comparación con la fórmula de Witten-Konsevich, la fórmula de Marino-Vafa no solo tiene una gama más amplia de integrales de Hodge, sino que también es una fórmula cerrada no recursiva. Más importante aún, nuestra prueba es una maravillosa combinación de métodos geométricos y técnicas combinatorias, que proporciona una buena referencia metodológica para futuras pruebas de fórmulas similares. Continuamos con nuestro enfoque para establecer la topología matemática de la teoría de vértices. Se pueden sacar muchas conclusiones más interesantes de esto, incluida nuestra conexión con la teoría exponencial, y mi alumno Pan Peng utilizó esta nueva teoría para probar la famosa conjetura de Gopakumar-Vafa sobre las variedades circulares de Karabi-Hill.
Al estar con un grupo de personas inteligentes cerca de Zhu Zhechi, te volverás más inteligente.
El espacio módulo de las superficies de Riemann y la geometría del espacio de Teichmuller son un viejo problema. A principios de la década de 1980, trabajó con Zheng y Zheng para demostrar la existencia de la métrica de Kahler-Einstein en el espacio de Teichmuller. Luego supuso que la métrica de Kahler-Einstein en el espacio de Teichmuller de la superficie de Riemann es equivalente a la métrica clásica de Teichmuller y a la métrica de Bergman. Recientemente, Qiu Chengtong, Sun Xiaofeng y yo demostramos la conjetura de Qiu Chengtong estudiando en detalle dos nuevas métricas completas: la métrica de Ricci y la métrica de Ricci perturbada. Además, está demostrado que todas las medidas completas clásicas son equivalentes a nuestras medidas recientemente introducidas, lo que aclara muchas cuestiones antiguas en este campo. Más importante aún, obtenemos el resultado de geometría algebraica de que el paquete log cotangente del espacio de módulos es estable. Este resultado aún es desconocido para los geómetras algebraicos.
Cuando era estudiante, me interesaban más los problemas geométricos de espacios de módulo y espacios de Teichmuller. Participó en varias clases de discusión y escribió dos artículos, utilizando las propiedades de curvatura de la métrica de Weil-Petersson en espacios de módulos para demostrar varios resultados importantes en geometría algebraica. Creo que esta es la forma más eficaz de aprender un nuevo curso. Es más beneficiosa que hacer ejercicios y proporciona una comprensión más profunda de los problemas y conceptos.
Conocí a Sun Xiaofeng cuando enseñaba en Stanford. Él era entonces estudiante de doctorado de Schoen y tomó algunas clases de lectura conmigo. Es inteligente y persistente, y es un matemático poco común. Junto con el Sr. Qiu, tuvimos muchas discusiones fructíferas sobre los espacios de módulo de superficie de Riemann, lo que permitió completar con éxito este trabajo. Nuestro trabajo es una contribución importante a la geometría espacial de los módulos de superficie de Riemann. Todavía estamos trabajando en muchos problemas interesantes y pronto escribiremos muchos de los resultados.