Las ecuaciones diferenciales rígidas existen en muchos campos científicos y tecnológicos importantes y en problemas prácticos, como la aviación, la industria aeroespacial, las reacciones termonucleares, el control automático, las redes electrónicas, la cinética química, etc. Dado que la solución de la ecuación contiene tanto componentes que decaen muy rápidamente como componentes que cambian relativamente lentamente, la diferencia entre los dos puede ser de varios órdenes de magnitud, lo que genera grandes dificultades sustanciales para la selección de métodos de cálculo. La investigación práctica ha demostrado que debido a las limitaciones de estabilidad de las soluciones numéricas, los métodos implícitos se utilizan principalmente para resolver ecuaciones diferenciales rígidas, como el método RK implícito, el método BDF, el método IRK, etc. Sin embargo, después de discretizar la ecuación rígida utilizando el método implícito, se convierte en un problema de resolver una ecuación (conjunto) lineal o no lineal. Actualmente, el método de iteración de Newton-Raphson se utiliza comúnmente para resolver ecuaciones (conjuntos) lineales o no lineales. Sin embargo, para algunas ecuaciones no lineales, la solución numérica del método de iteración de Newton-Raphson no es ideal debido a las grandes diferencias no lineales entre las ecuaciones. Este artículo utiliza el algoritmo de Brown para resolver este tipo de sistema rígido no lineal, que tiene las ventajas de una alta precisión y una rápida velocidad de iteración. Los resultados de las pruebas numéricas demuestran la eficacia de este método.
2 Algoritmo de Brown
Considerando ecuaciones no lineales con múltiples variables reales
(2.1)
Las ecuaciones no lineales pueden estar en forma vectorial significa, entre ellos.
La fórmula de la forma: se llama fórmula de iteración de Newton-Raphson. Debido a que este método se linealiza simultáneamente, no aprovecha al máximo la estructura específica. Si una función vectorial no lineal tiene una distribución desigual de precisión lineal entre sus componentes, entonces algunos componentes son funciones no lineales y algunos componentes son funciones lineales. En el grupo de funciones no lineales, el grado de no linealidad también es diferente. En este caso, utilizar el método de iteración de Newton-Raphson para procesar todos los componentes numéricamente idénticos no contribuye a mejorar la eficiencia computacional general del método.
En respuesta a la situación anterior, Brown propuso en 1969 una ecuación funcional compuesta por componentes, formando un proceso iterativo [3]. La idea básica es linealizar cada componente uno por uno, usando cada ecuación lineal para eliminar una variable en la ecuación no lineal restante. Finalmente, todo el sistema de ecuaciones se simplifica en una ecuación no lineal con una sola variable, y se aplica una iteración de Newton-Raphson de un solo paso para completar un proceso de iteración uno por uno [4].
Los pasos iterativos del algoritmo de Brown son los siguientes:
En el primer paso, la solución del sistema de ecuaciones (2.1) se establece como primera aproximación y la función es aproximado por una función lineal.
Sustituir, ordenar, de:
Defina el lado derecho de la fórmula anterior como .
El segundo paso es definir una nueva función del algoritmo Brown para la función, preste atención. De manera similar, las funciones lineales se utilizan para aproximar sustituciones. Ordenar, resolver,
En este momento, es una función lineal de la variable, y esta función lineal se escribe como.
El paso 1 se puede obtener mediante función lineal e iteración de Newton-Raphson, o puede comenzar uno por uno, es decir,
(2.2)
Por lo tanto Se puede encontrar que se ha completado un proceso de iteración browniana.
3 Prueba numérica
Considere el problema del valor inicial de la siguiente ecuación diferencial ordinaria:
Problema 1
Donde:;.
Pregunta 2
Entre ellos:;.
Para los dos problemas anteriores, los valores propios de la matriz jacobiana del grupo de funciones derecho se pueden calcular en ese momento. Los valores absolutos de otros valores propios no superan 6, por lo que. El sistema es fuertemente rígido. Además, al observar los grupos de funciones correctos en los dos problemas, podemos ver que, excepto la última función que es altamente no lineal, las otras funciones son lineales.
Para los dos problemas anteriores, se utiliza el método implícito de Euler para discretizar las ecuaciones, y el método de iteración de Newton-Raphson y el método de iteración browniano para resolverlas respectivamente. Cada iteración se controla con el tamaño del paso y el límite de error relativo (que indica el número de iteraciones), y finalmente se obtiene el límite de error absoluto máximo de la solución numérica. La verdadera solución de la ecuación es: Problema 1,,; Problema 2,,,. El análisis comparativo de los resultados del cálculo se muestra en la Tabla 1.
Tabla 1 Resultados del cálculo numérico
Pregunta 1
Pregunta 2
Número de iteraciones de Newton-Raphson
Tiempo de convergencia en la iteración 18
Sin convergencia,
Número de iteración marrón
Convergencia en 7 iteraciones
Convergencia en 8 iteraciones
Error absoluto de solución numérica
(iteración de Newton-Raphson)
3.83e 001
Desbordamiento
Solución numérica Absoluta error
(iteración marrón)
1.44e-002
3.82e-002
4. Conclusión
Para sistemas rígidos discretos en problemas prácticos, si el grado de linealización de las ecuaciones no lineales es diferente, el método de iteración browniano tiene mayores ventajas que el método de iteración de Newton-Raphson. Además, cabe señalar que en la operación real, el sistema de ecuaciones debe organizarse con anticipación, las ecuaciones lineales deben colocarse primero y luego la no linealidad debe organizarse de menor a mayor, lo que puede mejorar efectivamente la eficiencia operativa. .