1.1 Escriba el espacio muestral de la siguiente prueba aleatoria y el conjunto de puntos muestrales que representan los siguientes eventos.
(1) Entre los 10 productos, 1 es un producto de calidad inferior Seleccione dos de ellos para obtener 1 producto de calidad inferior.
(2) Hay 2 bolas blancas, 3 bolas negras y 4 bolas rojas en una tronera. Elija una bola de ellas, (1) coja la bola blanca, (2) coja la bola roja.
La solución (1) es el producto calificado 9 veces, y la segunda vez es el producto no calificado, entonces
(2) Recuerde que dos bolas blancas son y tres negras Sí "Las cuatro bolas rojas son...". Entonces {,,,,,}
(ⅰ) { , } (ⅱ) { , , , }
1.2 Seleccionar un estudiante entre los estudiantes del departamento de matemáticas, tal que el evento A indica que el estudiante seleccionado es un niño, el evento B indica que el estudiante seleccionado es un estudiante de secundaria y el evento C indica que el estudiante es un atleta.
(1) El significado de la narrativa.
(2)¿En qué condiciones?
(3)¿Cuándo es correcta la relación?
(4) ¿Cuándo se estableció?
Solución (1) El incidente indica que debería ser un niño de tercer grado de la escuela secundaria, no un atleta.
(2) Equivalencia significa que todos los atletas de tercer grado son niños.
(3) Cuando todos los deportistas sean junior.
(4) Cuando todas las niñas están en el tercer año de la escuela secundaria y todos los estudiantes en el tercer año de la escuela secundaria son niñas.
1.3 Un trabajador produjo una pieza y el evento demostró que la primera pieza que produjo era un producto calificado (). Se utiliza para indicar los siguientes eventos:
(1) Ninguna de las piezas está defectuosa
(2) Al menos algunas de ellas están defectuosas
( 3) Sólo algunas de ellas están defectuosas. No calificado;
(4) Al menos dos piezas están defectuosas.
Solución (1); (2); (3);
(4) El evento original "al menos dos partes son productos calificados" se puede expresar como:
1.4 prueba los siguientes tipos:
(1);
(2)
(3); 4 )
(5)
(6)
Demostración (1)-(4) Obviamente, las pruebas de (5) y (6) son lo mismo que (Las pruebas de 10-12) y (1.6) son similares.
1.5 Tome dos tarjetas con 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 y 13 escritos respectivamente, combine los dos números de las tarjetas en una puntuación y encuentre la puntuación resultante. ser la puntuación acordada Probabilidad de fracciones.
El número total de puntos de muestra es. La fracción obtenida debe ser el denominador de la fracción reducida o dos de 7, 11, 13, o una combinación de una de 2, 4, 6, 8, 12 y 7, 11, 13. Por tanto
.
1.6 tiene cinco segmentos de línea con longitudes 1, 3, 5, 7 y 9 respectivamente. Tome tres de estos cinco segmentos de línea y encuentre la probabilidad de que estos tres segmentos de línea puedan formar un triángulo.
El número total de puntos de muestra es. Los tres segmentos de línea seleccionados pueden formar un triángulo, y estos tres segmentos de línea deben ser mayores que 3, 5, 7 o 3, 7, 9 o 5, 7, 9. Entonces, el evento "Tres segmentos de línea pueden formar un triángulo" contiene tres puntos de muestra, entonces.
1.7 Un niño hizo un juego de ortografía usando 13 letras. Si las distintas disposiciones de las letras son aleatorias (igualmente posibles), ¿cuál es la probabilidad de que se forme la palabra "matemático"?
Obviamente, el número total de puntos de muestra es que el evento "constituye exactamente el "matemático" que contiene los puntos de muestra. Por lo tanto,
1.8 combina un "automóvil" rojo y un "negro". Las "torres" se colocan aleatoriamente en el tablero de ajedrez chino y se calcula la probabilidad de que puedan capturarse entre sí.
Fije la posición de la "torre" roja de forma arbitraria, y la "torre" negra puede estar en diferentes posiciones. Cuando el "auto" rojo está en la misma fila o en una de las posiciones en la misma fila, simplemente "se come" al oponente.
Entonces la posibilidad es
1.9 Un ascensor en el décimo piso de un edificio tiene 7 pasajeros en la planta baja. El ascensor se detiene en cada piso y los pasajeros salen del ascensor desde el segundo piso. Suponiendo que cada pasajero tiene la misma probabilidad de salir del ascensor en qué piso, encuentre la probabilidad de que no salgan dos o más pasajeros en el mismo piso.
Cada pasajero puede salir del ascensor en cualquiera de los nueve pisos excepto en la planta baja. Actualmente hay 7 pasajeros, por lo que el número total de puntos de muestra es. El evento "no salen dos o más pasajeros en el mismo piso" equivale a "pasar del noveno piso al séptimo piso, y todos los pasajeros salen del ascensor". Entonces contiene un punto de muestra.
1.10 Hay 10.000 bicicletas en una ciudad y sus números de licencia van del 00001 al 10.000. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento "Accidentalmente encontré una bicicleta con el número 8 en la matrícula"?
Hay un número 8 en el número de matrícula, lo cual es obvio, así que
-
Toma cualquier número positivo de 1,11 y encuentra la probabilidad de que siguientes eventos:
(1) El último dígito del cuadrado de este número es 1
(2) El último dígito de la cuarta potencia de este número es 1; p>
(3)Los dos últimos dígitos del cubo de este número son ambos 1;
La respuesta a (1) es.
(2) Cuando el último dígito del número es uno de 1, 3, 7 o 9, el último dígito de la cuarta potencia es 1, por lo que la respuesta es
(3) Los dos últimos dígitos del cubo de un entero positivo están determinados por los dos últimos dígitos del número, por lo que el espacio muestral contiene tres puntos muestrales. Si el evento significa "los dos últimos dígitos del cubo de este número son ambos 1", entonces el último dígito de este número debe ser 1. Si el último segundo dígito lo es, los dos últimos dígitos del cubo de este número son los dígitos individuales de 1 y 3. El único dígito de 3 debe ser 1, por lo que los puntos de muestra incluidos son solo 765438.
1.12 Una persona sostiene seis hierbas en su mano, dejando solo la cabeza y la cola expuestas. Luego pida a otra persona que conecte las seis cabezas de dos en dos y las seis colas de dos en dos. Calcula la probabilidad de que los seis pastos formen un círculo después de soltarlos. Los resultados anteriores se generalizan al caso de los rizomas.
Resuelve el problema de (1) 6 pastos. Tome una cabeza, que se puede conectar a una de las otras cinco cabezas, luego tome otra cabeza, que se puede conectar a una de las otras tres cabezas no conectadas, y finalmente conecte las dos cabezas restantes, de modo que la cabeza y la cola tengan allí. Hay dos tipos de conexiones, por lo que el número total de puntos de muestra es. Para la cabeza, todavía hay formas de conectarse, pero para la cola, si tomas alguna cola, solo se puede conectar a las colas de los otros cuatro tipos de hierba que no están conectadas a su cabeza. Tome otra cola como ejemplo. Solo se puede conectar a las colas de otras dos hierbas que no están conectadas a su cabeza. Finalmente, las otras dos colas están conectadas en un anillo, por lo que el método de conexión es. Entonces el número de puntos de muestra es, entonces
(2) La situación del pasto de raíz es similar a (1)
1.13 Coloque exactamente la misma pelota en una caja al azar (es decir, la se coloca la bola Después de ingresar a la caja, solo puede distinguir el número de bolas en la caja, pero no puede distinguir qué bola entró en una caja, también llamada indistinguible). Si la probabilidad de cada método es igual, demuestre que (1) la probabilidad de que haya una bola en la caja especificada es,
(2) la probabilidad de que haya exactamente una caja es,
(3 )La probabilidad de que haya exactamente una bola en el cuadro especificado es:
Solución.
1.14 Un autobús llega a una parada cada 5 minutos, y el tiempo en que los pasajeros llegan a la parada es arbitrario. Encuentre la probabilidad de que el tiempo de espera de un pasajero no exceda los 3 minutos.
La probabilidad de la solución es
1,15 Si eliges cualquier punto, la probabilidad de encontrar que la relación de áreas es mayor que es.
Si y sólo si el punto cae dentro de la relación del área de la sección transversal, la relación del área de la sección transversal es mayor, por lo que la probabilidad lo es.
1.16 Los dos barcos atracarán en el mismo muelle y podrán llegar a cualquier hora del día o de la noche. El tiempo de atraque de los dos barcos es de 1 hora y 2 horas respectivamente. Encuentre la probabilidad de que un barco deba esperar un período de tiempo antes de atracar.
Esta solución se utiliza para indicar la hora de llegada del primer y segundo barco al atraque. Cuando un barco llega a un atraque, debe esperar si y sólo si.
Entonces la posibilidad es
1.17 Toma tres puntos cualesquiera en el segmento de recta y encuentra:
(1) La probabilidad entre.
(2)La probabilidad de formar un triángulo.
Solución (1) (2)
1.18 Dibujar rectas paralelas equidistantes en el plano, lanzar un triángulo arbitrariamente al plano y encontrar la probabilidad de que el triángulo interseque a las rectas paralelas.
Estas soluciones se utilizan para representar que un vértice del triángulo coincide con la recta paralela, un lado coincide con la recta paralela y dos lados se cruzan con la recta paralela. Obviamente la probabilidad lo es. Cuando dos lados intersecan líneas paralelas, es obvio que... por lo tanto
[ ]
(Resultados del caso de uso 1.12)
1.19 Eventos imposibles conocidos la probabilidad es cero. Ahora bien, ¿un suceso con probabilidad cero tiene que ser un suceso imposible? Intenta dar ejemplos.
Los eventos con probabilidad de solución cero no son necesariamente eventos imposibles. Por ejemplo, coloque puntos aleatoriamente en un segmento de línea de longitud 1. Entonces la probabilidad del evento "el punto medio de este punto golpea" es igual a cero, pero no es un evento imposible.
1.20 Dos personas, A y B, se turnan para sacar una bola de una tronera que contiene una bola blanca y una negra. A lo toma primero, B lo toma después. Después de cada retirada, la bola blanca no se devolverá hasta que uno de ellos la retire. Intente describir el espacio de probabilidad de este fenómeno aleatorio y encuentre la probabilidad de que A o B obtengan primero la bola blanca.
La solución significa blanco, blanco y negro, blanco y negro,...
Entonces el espacio muestral {,,...}, y,
, ,…,
La probabilidad de ganar es…
La probabilidad de que B gane es…
1.21 Sea la suma de las probabilidades de eventos, y, y,,,
Obtenga la solución
,
1.22 Supongamos que hay dos eventos aleatorios, demuestre:
(1 );
p>(2) .
Demuestra que (1) = 1
(2) La primera desigualdad se obtiene por la suma de (1 ), la segunda y la tercera Las dos desigualdades se obtienen a partir de la monotonicidad y semiaditividad de la probabilidad.
1.23 Para cualquier evento aleatorio..., se demuestra que:
Certificado
1.24 Hay tres tipos de periódicos emitidos por una ciudad: A, B y C. Entre los residentes, 45 estaban suscritos al periódico A, 35 estaban suscritos al periódico B, 30 estaban suscritos al periódico C, 10 estaban suscritos tanto al periódico A como al B, 8 estaban suscritos tanto al periódico A como al C, y estaban suscritos al periódico B. al mismo tiempo, los que se suscribieron a los periódicos C y C representaron 5, y los que se suscribieron a tres periódicos al mismo tiempo representaron 3. Encuentre los siguientes porcentajes:
(1) Suscribirse únicamente al periódico A;
(2) Suscribirse únicamente a los periódicos A y B
(3) Solamente; suscribirse a un periódico;
(4) Suscribirse solo a dos periódicos;
(5) Suscribirse al menos a un periódico;
(6) No suscribirse a cualquier periódico.
Resolver una incidencia es suscribirse a un periódico, una incidencia es suscribirse a un periódico y una incidencia es suscribirse a un periódico.
(1) = =30
(2)
(3)
= =73
(4)
(5)
(6)
1.26 Un estudiante de cierta clase realizó un examen oral con n exámenes. Vuelva a colocar el papel de prueba dibujado por cada alumno en su lugar después de su uso. Al final de la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una prueba no resulte sorteada?
No recibí el primer examen. Requerir.
, ,...,
,...
Por lo tanto
1.27 Elija cualquier término del desarrollo general del determinante , pregunte ¿cuál es la probabilidad de que este término contenga el elemento de la diagonal principal?
En la expansión determinante del orden de la solución, cualquier término con signo omitido puede expresarse como si y sólo si hay una causa en la permutación de , el término contiene el elemento diagonal principal. Se utiliza para indicar que un evento está "programado", es decir, el primer elemento de la diagonal principal aparece dentro de un elemento expandido.
Reglas
,...
Entonces
1.29 Se sabe que una familia tiene tres hijos, uno de los cuales es una niña. Encuentre la probabilidad de que haya al menos un niño (suponiendo que es igualmente probable que un niño sea niño o niña).
La explicación se refiere a niños y niñas respectivamente. El espacio muestral es:
Entre ellos, los puntos muestrales están ordenados por edad y sexo. Hay una niña y hay un niño.
1.30 Si uno de los productos componentes falla, se toman dos.
(1) Cuando uno de los productos seleccionados no está calificado, encuentre la probabilidad de que el otro producto tampoco esté calificado.
(2) Si uno de los productos seleccionados está calificado, encuentre la probabilidad de que el otro tampoco esté calificado.
Si la solución (1) significa "al menos uno de los productos seleccionados no está calificado" y "todos los productos seleccionados no están calificados", entonces
(2) Si "los productos seleccionados no calificados" "Hay al menos un producto calificado entre los productos seleccionados" significa "hay un producto calificado y un producto no calificado entre los productos seleccionados". Reglas
1.31 las personas sortean para decidir quién obtiene una entrada de cine. Echaron suertes por turno y preguntaron:
(1) Sabiendo que nadie lo ha tocado antes, encuentre la probabilidad de que la primera persona lo haya tocado
(2) La primera; persona ha tocado su probabilidad.
El significado de solución es "la primera persona tocada".
(1)
(2)
1.32 Se sabe que la probabilidad de que una gallina ponga un huevo es 0, y la probabilidad de que cada huevo pueda poner nacer un polluelo es 0, lo que demuestra que la probabilidad de que la gallina tenga exactamente una descendencia (es decir, un polluelo) es 0.
Cuando una gallina pone un huevo, significa que la gallina acaba de dar a luz a la siguiente generación.
1.33 Un equipo de tiro tiene 20 tiradores, incluidos 4 tiradores de primer nivel, 8 tiradores de segundo nivel, 7 tiradores de tercer nivel y 1 tirador de cuarto nivel. Las probabilidades de que los tiradores de primer, segundo, tercer y cuarto nivel lleguen a la final mediante selección son 0,9, 0,7, 0,5 y 0,2 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que cualquier tirador de un grupo pueda ingresar a la final mediante selección.
Significa "Elige cualquier tirador como clase", que significa "Selecciona cualquier tirador para entrar a la final".
1.34 Cierta fábrica produce tornillos con tres máquinas A, B y C. La producción representa 25, 35 y 40 respectivamente. Los productos no calificados representan 5, 4 y 2 de sus respectivos productos. . Ahora bien, cualquier producto es de mala calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que este producto defectuoso sea producido por la máquina A, la máquina B y la máquina C respectivamente?
Cualquier producto es elaborado a máquina.
Cualquier producto es elaborado por la máquina B.
Cualquier producto es producido por máquina c.
Significa "cualquier producto tomado es sólo un producto defectuoso"
Luego mediante la fórmula bayesiana:
1.35 El torno, el taladro, la amoladora, el torno de una fábrica. La proporción del número de cepilladoras es 9:3:2:1, y la proporción de la probabilidad de que necesiten ser reparadas dentro de un cierto período de tiempo es 1:2:3:1. Cuando una máquina herramienta necesita reparación, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina herramienta sea un torno?
Solución,,,
, , ,
De la fórmula bayesiana
1.36 Un amigo viene de lejos a visitarnos, Las probabilidades de que viene en tren, barco, coche y avión son 0,3, 0,2, 0,1 y 0,4 respectivamente. Si viene en tren, barco o coche, las probabilidades de llegar tarde son , y , respectivamente, pero no llegará tarde en avión. Como resultado, llegó tarde. ¿Qué posibilidades hay de que venga en tren?
Los amigos vienen en tren, los amigos vienen en barco, los amigos vienen en coche, los amigos vienen en avión, los amigos llegan tarde.
La regla
1.37 demuestra que si tres eventos, , son independientes, entonces , y son independientes.
Prueba (1)
=
(2)
(3) =
1,38 intentos de explicar Debe establecerse porque no se puede derivar.
Si,,,
,,,, entonces,
Pero
Suponga que 1.39 es un evento independiente, encuentre la ocurrencia de los siguientes eventos Probabilidad:
(1) El evento no ocurre
(2) Al menos un evento ocurre
(3) Exactamente una cosa; ocurre.
Solución (1)
(2)
(3) .
1.40 Los eventos conocidos son independientes entre sí y no entre sí Capacidad exclusiva, así que solicítela (nota: un número pequeño).
Por un lado, por otro lado, al menos una solución es igual a 0, por lo que
Las probabilidades de que una persona tenga el tipo de sangre 1,41 son 0,46, 0,40, 0,11, 0,03. respectivamente. Ahora, seleccione al azar cinco personas y encuentre la probabilidad de que ocurran los siguientes eventos.
(1) Dos personas son antropomórficas y las otras tres personas tienen otros tres tipos de sangre.
(2) Tres personas son humanoides y dos personas son humanoides; >
(3)Nadie es artificial.
Solución (1) Elige 2 tipos entre 5 personas, hay tres posibilidades. Elige un tipo entre las 3 personas restantes. Hay tres posibilidades. Elige un tipo de las 2 personas restantes, hay dos posibilidades, la otra es un tipo. La probabilidad obtenida de esta forma es:
(2)
(3)
1.42 Equipado con dos cañones antiaéreos, la probabilidad de que cada cañón impacte el objetivo es 0,6. ¿Cuál es la probabilidad de que un proyectil disparado al mismo tiempo impacte en un avión? Si un avión enemigo invade el espacio aéreo, ¿cuántos cañones antiaéreos se necesitan para alcanzarlo con una probabilidad superior al 99%?
El primer cañón antiaéreo disparó un proyectil que impactó en el avión. Entonces,.
(1)
(2),
Tómalo. Se necesitan al menos 6 cañones antiaéreos para disparar 1 proyectil al mismo tiempo para garantizar una probabilidad del 99% de impactar el avión.
1.43 Haga una serie de experimentos independientes. La probabilidad de éxito en cada experimento es, encuentre la probabilidad de fracaso antes del éxito.
Significa "el número de fracasos antes del número de éxitos", "el número de fracasos en experimentos anteriores", "el éxito del primer experimento"
Reglas
1,45 cada uno Un matemático tiene dos cajas de cerillas, una en cada caja. Cada vez que usaba una cerilla, elegía una de las dos cajas y sacaba una. Pregúntele cuál es la probabilidad de que después de usar una casilla, todavía queden coincidencias () en la otra casilla.
El significado es "Quedan cerillas en la caja A", significa "Quedan cerillas en la caja B", significa "Las recogí en la caja A por primera vez", "Yo "Los saqué primero" "La segunda vez que lo saqué de la caja B" significa que la segunda vez que lo saqué de la caja A, es decir, lo saqué antes de la caja A, y el resto estaba en la caja B, entonces
Desde la perspectiva de la simetría Mira, la probabilidad es: