Simplemente demuestra que en cualquier triángulo, la razón entre el lado de cualquier ángulo y su seno correspondiente es el diámetro de la circunferencia circunstante del triángulo.
Ahora toma △ABC como su círculo circunscrito y deja que el centro del círculo sea O. Consideremos ∠C y su lado opuesto AB. Sea la longitud de AB c.
1. Si ∠C es un ángulo recto, entonces AB es el diámetro de ⊙O, es decir, c= 2r.
∵ (Valor de función seno de ángulo especial)
∴
2. Si ∠C es un ángulo agudo u obtuso, pase B por el diámetro BC`'' hasta intersecta ⊙O En C`, conecta C'A, obviamente BC'= 2r=R.
Si ∠C es un ángulo agudo, entonces C' y C caen del mismo lado de AB,
En este momento ∠C' = ∠C (ángulos circulares subtendidos por el mismos arcos son iguales)
∴ en Rt△ABC'
Si ∠C es un ángulo obtuso, entonces C' y C caen en lados opuestos de AB, y el lado opuesto de BC es a. En este momento, también se puede deducir ∠ C'=∠A.
Consideramos los tres ángulos y los tres lados de un mismo triángulo. De la misma forma, podemos obtener . Por tanto, para cualquier triángulo, el teorema está demostrado. Si △ABC es un triángulo agudo y se dibuja un vector unitario j⊥ a través del punto A, entonces el ángulo entre j y es 90°-∠A, y el ángulo entre jy es 90°-∠C. principio de suma de vectores, podemos obtener
Para establecer una conexión con las funciones trigonométricas de los ángulos en la figura, realizamos la operación del producto cuantitativo con el vector j en ambos lados de la ecuación vectorial de arriba , y obtener
∴|j| | Cos90° |j| .∴asinC=csinA es decir,
De manera similar, dibuje un vector unitario j perpendicular al punto C y a través de él, entonces el ángulo entre j y es 90° ∠C, y el ángulo entre j y es 90° ∠B ,
Podemos obtener
Si △ABC es un triángulo obtuso, sea Agt 90°, y dibuja un vector unitario j perpendicular a AC que pase por el punto A, entonces el ángulo entre j; y AB es ∠A-90°, y el ángulo entre j y CB es 90°- ∠C.?De manera similar
a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90° ),
∴asinC=csinA es decir
Dibuje un vector unitario j perpendicular al punto C y a través de él, entonces el ángulo entre j y es 90° ∠C, y el ángulo entre j y es 90° ∠B, podemos obtener
Para resumir,
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