1. Preguntas de opción múltiple (***5 preguntas, cada pregunta vale 7 puntos, ***35 puntos. Cada pregunta tiene cuatro opciones y los códigos). son A y B respectivamente, C y D, solo una opción es correcta. Por favor coloque el código de la opción correcta entre paréntesis después de la pregunta. Se otorgarán 0 puntos por no completar, completar más o completar incorrectamente. ).
A+2b3c = 0ab bcca1. Supongamos que los números reales distintos de cero A, B, C satisfacen. Entonces) abc2a+3b4c = 0
11(A)—(B)0(C(D)1 22
2. Se sabe que A, B y C son constantes reales, La ecuación cuadrática ax2 bx c=0 sobre X tiene dos raíces reales distintas de cero x1, x2, entonces lo siguiente es sobre la ecuación cuadrática de a)C2 x2(B2-2ac)xa2 = 0(b)C2 x2 -(B2-2ac)xa2 = 0.
(C)C2 x2(B2-2ac)x—a2 = 0 (D)C2 x2—(B2-2ac)x—a2 = 0
3 Como se muestra en la figura, En Rt△ABC, se sabe que o es el punto medio de la hipotenusa AB, CD⊥AB, el pie vertical es d, DE⊥OC, y el pie vertical es e. Si las longitudes de AD, DB, y CD son números racionales, entonces el segmento de recta OD, Las longitudes de OE, DE y AC no son necesariamente números racionales ()...
(A)OD (B)OE (C)DE ( D)AC
4. Como se muestra en la figura, se sabe que el área de △ABC es 24, el punto D está en el segmento AC, el punto F está en la extensión del segmento BC. , BC = 4CF, DCFE es un paralelogramo, entonces el área de la parte sombreada en la figura es ().
(A)3 (B)4 (C)6 (D)8
3x3x2Y2XY3 455. Para cualquier número real x, y, z, defina la operación "*" como: x? y=, (x 1) (y 1)—60
(x?y)? z, el valor de 2013?2012?3?2 es () y x? ¿y? z=
6071821546316389
2. Complete los espacios en blanco (***5 preguntas, 7 puntos cada una, ***35 puntos)
6. A
, b es la parte decimal de a2, entonces el valor de (b 2)3 es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
7. Como se muestra en la figura, el punto D y el punto E son puntos en el lado AC y AB de △ABC respectivamente. Las rectas BD y CE se cruzan en el punto f. CDF, △BFE y Las áreas de △BCF son 3, 4 y 5 respectivamente, entonces el área del cuadrilátero AEFD es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
Página 1 *** 7
Se sabe que los enteros positivos A, B y C satisfacen AB2-2C-2 = 0, 3A2-8BC = 0, entonces el El valor máximo de abc es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
9. Los números reales A, B, C y D satisfacen: dos de las ecuaciones cuadráticas x2 cx d=0 son A y B, y dos de las ecuaciones cuadráticas x2 ax b=0 son C y D, entonces todas las matrices (A, B, C, D) que cumplen las condiciones son _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
10. Un día, Xiao Ming se ofreció como voluntario para vender bolígrafos en una papelería. Cada lápiz se vende por 4 yuanes y cada bolígrafo se vende por 7 yuanes. Al principio tenía lápices y bolígrafos.
350 bolígrafos, aunque no se agotaron ese día, sus ingresos por ventas fueron de 2013 yuanes, por lo que al menos vendió _ _ _ _ _ _ _ _.
Igual que PENIＥＮＳＵＬＡ
E O D
(Pregunta 3)
(Pregunta 4)
d(Pregunta 7 )
3. Responde las preguntas (***4 preguntas, 20 puntos cada una, ***80 puntos)
11. AX2BX-3, el vértice es E, la parábola corta al eje X en los puntos A y B, y corta al eje Y en el punto C, OB = OC = 3OA.
1
La recta y =-2 1 corta al eje Y en el punto D. Encuentra ∠ DBC-∠ CBE.
Tres
12. Sea el circuncentro de △ABC O y H. Si B, C, H y O*** son círculos respectivamente, para todo △ABC, encuentre ∠BAC de todas las posibilidades.
Titulación.
13. Sean números primos A, B y C, sean X z=a b-c-A, Y x=b c-a-B, Z y=c a-b-C, cuando Z2 = YX-Y = 2, A, B. , ¿se puede construir C?
¿Cuánto miden los tres lados del triángulo? Justifica tu conclusión.
Página 2* * *Página 7
4. Si un entero positivo M se coloca a la izquierda de un entero positivo M, y el nuevo número resultante puede ser divisible por 7, entonces M se llama el "número mágico" de M (por ejemplo, si 86 se coloca a la izquierda de 415, el número 86415 se puede dividir por 7, por lo que se llama número mágico 415). Encuentre el valor mínimo de un entero positivo n, de modo que existan diferentes enteros positivos a1, a2,? , an, satisface para cualquier entero positivo m, a2, en a1? Hay al menos un número mágico m en an.
Respuestas de referencia del Concurso Nacional de Matemáticas de Escuela Secundaria 2013
1 Preguntas de opción múltiple
1.
0Entonces (a?b?c)2?0.Entonces la solución viene dada por el conocido A? ¿b? ¿do? (2a? 3b? 4c)? (a? 2b? 3c)? ,1ab? ¿ANTES DE CRISTO? ca1ab? ¿ANTES DE CRISTO? ca(a2?b2?C2), entonces 2.22
2a? ¿b? c2
2. Respuesta b
2
¿Respuesta por el hacha? ¿bx? ¿do? 0 es una ecuación cuadrática sobre x, entonces a? 0.¿Por x1? x2
BC
, x1x2? , aa
11(x1?x2)2?2x1x2b2?2ac11a2
Y x1x2?0, entonces c? 0, y 2?2?,2?2?2, ?222
x 1x2x 1x2x 1x2c
b2?2aca2112
X0, entonces de acuerdo con ecuación La relación entre las raíces y los coeficientes de , la ecuación cuadrática con 2 y 2 como dos raíces reales es x?
c2cx1x2
¿Ese es c2x2? (b2?2ac)x? a2? 0.
3. Respuesta d
Debido a que las longitudes de AD, DB y CD son números racionales, entonces OA = OB = OC =
ANUNCIO? Teólogo
es un número racional. Por tanto, OD = OA-AD es un número racional. 2
Pregunta 3) (Pregunta 3)
DC·Dude
De Rt△DOE∽Rt△COD, ¿conoces OE? , ¿Alemania? Tanto
OCOC
Números racionales como AC
4 Respuesta c
Porque DCFE es un paralelogramo, DE//CF y EF. //DC está conectado a CE, y debido a que DE//CF es DE//BF, S△DEB = S△DEC, el área de la sombra original es igual al área de △ACE.
Conéctate a AF, porque EF//CD significa EF//AC, entonces S △ ACE = S △ ACF.
¿Por BC? 4CF, entonces s △ ABC = 4s △ ACF. Por tanto, el área sombreada es 6.
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5. Respuesta c
¿La solución está establecida en 2013? ¿Entonces m
3m3? ?3?3m2?9?m? 27?45
9, ?2013?2012?43?m? 3?三
m? ¿3m2? 1?64?60
3?93?2?3?92?22?9?23?455463
¿Y qué? 2013?2012?32?9?2?.
33
10?3?60967
Segundo, completa los espacios en blanco
6. p>Responder motivo 1? ¿respuesta? 2?Respuesta?
3. ¿Qué pasa con b? ¿respuesta? 2
2, entonces (b? 2) 3? 3? 9.
2
7. p> p>
13
La respuesta se muestra en la figura. Si conectas AF tendrás:
s? ¿FAE? ¿4S? ¿FAE? ¿s? ¿BFEBFS? BCF5
=?,
s? ¿AFDS? ¿AFDFDS? CDF3S? ¿AFD? ¿3S? ¿AFD? ¿s? ¿CDFCFS? ¿BCF5? ¿AEFS? ¿Aifeisi? BEF4
10896
, S? ¿AFD? . 1313
204
Por lo tanto, el área del cuadrilátero AEFD es.
13
¿Obtener una s? ¿FAE? 8. Respuesta 2013
La respuesta se conoce por a? ¿b? 2c? 2?0,3a? 8b? ¿do? 0 elimina c y ordena.
2
2
(Pregunta 7)
b? 8?
2
6a2? ¿respuesta? 66.a es un entero positivo, 6a2? A≤66, podemos obtener 1 ≤ A ≤ 3.
2
¿Y si a? ¿Qué pasa con 1? ¿b? 859, no hay solución entera positiva si a? 2. ¿Y entonces qué? ¿b? 840, no hay solución entera positiva;
Si a? Entonces 3? ¿b? 89, entonces puedo obtener b? 11,b? 5.(I) ¿Qué pasa si b? 11. ¿Qué pasa con c? 61, ¿entonces puedes ir a ABC? 3?11?61?2013;(ii) si b? 5. ¿Qué pasa con c? 13. ¿Puedes ir al abc? 3?5?13?195. En resumen, el valor máximo de abc es 2013.
22
,?2,,1?2), (t,,0?t,0) (t es cualquier número real)
9 . Respuesta (1
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Respuesta? bc, ab? d,
¿El teorema de Vietta da la respuesta?
cd?
De la fórmula anterior, podemos saber que b? d?
1, entonces b?
Si b? Entonces ca, después de probar con (a,,,.BCD)? (t,,0?t,0) (t es cualquier número real), las matrices (1,?2,,1? 2) y (t,0 ? t, 0) (t es cualquier número real) satisface la condición 10. Respuesta 207
Sean x e y el número de lápices y bolígrafos vendidos respectivamente <. /p>
4x? 7y? 2013, y? 350, 2013? 2y? , 44? 350? >
¿Entonces x?
¿Entonces y? 204, entonces el valor mínimo de y es 207. En este momento, ¿X? >2
11. Como se muestra en la figura, la parábola y? bx? 3, el vértice es e, la parábola se cruza con 3oa. /p>
x?
1
x? 1, y? ax2? 3 sabe, d (0, 3
1x B.3.
(Pregunta 11)
La respuesta será x? 0 se convierte en y1), C(0,3),
Entonces b (3,0), una(?1,0).y línea
apuntará C( 0,? Sustituya las coordenadas de 3) en y? a(x?1)(x?3), obtenga a? 1.
¿Parabólica? ¿incógnita? ¿2 veces? El vértice de 3 es E(1,?4). Entonces, según el teorema de Pitágoras
BC = CEBE
Porque bc2+ce2 = be2, △BCE es un triángulo rectángulo. antes de Cristo? 90?.
(Pregunta 11)
2
OD1CE1
, entonces ∠ dbo = CBE. =.tan∠DBO= OB3CB3.
¿Entonces? DBCCBEDBBCDBOOBC? 45?.
¿Entonces bronceado? CBE=
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h, O*** círculo, para todos △ABC, ¿qué? BAC12.. Sean O y H respectivamente el centro exterior y el centro vertical de △ABC. Si B, C,
Todos los grados posibles.
Se discuten soluciones en tres casos. (I) Si △ABC es un triángulo agudo.
¿Porque? ¿BHC? 180?1,? ¿Banco de China? 2? Uno,
Entonces, ¿por qué? BHCBOC, ¿puedo obtener 180? ¿respuesta? 2?aEntonces? ¿respuesta? 60?.
(Pregunta 12 (I))
(ii) Si △ABC es un triángulo obtuso.
(Pregunta 12 (2))
¿Cuándo? ¿respuesta? 90? ¿Cuándo, porque? ¿BHC? 180?1,? ¿Banco de China? 2?180?Respuesta? ,
Entonces, ¿por qué? ¿BHCBOC? 180?, ¿puedes conseguir 3? 180? , ¿Entonces qué? ¿respuesta? 120?.
¿Cuándo? ¿respuesta? 90? ¿Cuándo, también podría hacer una hipótesis? ¿b? 90?Porque? ¿BHCA? ¿Banco de China? 2? Uno,
Entonces, ¿por qué? ¿BHCBOC? ¿180?, ¿puedes conseguir 3? ¿respuesta? ¿180?, ¿y luego qué? ¿respuesta? 60?.
(iii) Si △ABC es un triángulo rectángulo.
¿Cuándo? ¿respuesta? 90? ¿Cuándo, debido a que O es el punto medio del lado BC, B, C, H y O no pueden ser * * * círculos, entonces? ¿No puede ser 90? ;
¿Cuándo? ¿respuesta? 90? ¿Cuándo, también podría hacer una hipótesis? ¿b? 90? En este momento, el punto B y el punto H coinciden, por lo que siempre hay círculos B, C, H, O ***, ¿y qué? ¿Puede a ser 0? ¿respuesta? 90? en todas las esquinas.
En resumen,? a¿Todos los grados posibles son ángulos agudos y 120? .
13. Supongamos que A, B y C son números primos. ¿Recuerdas X? ¿b? ¿do? ¿sí? ¿do? ¿respuesta? b, z? ¿respuesta? ¿b? c,
¿Cuándo z2? y,
A las dos en punto,
¿Pueden A, B y C formar los tres lados de un triángulo? Justifica tu conclusión.
La respuesta es no.
111
(y?z), b? (x?z),c? (x?y). 222
112z(z?1)2
Porque y Z, entonces a? (¿y?z)? (z? z)? .
222
Y como z es un número entero y a es un número primo, ¿z? 2 o? 3.a? 3.
Según el significado de la pregunta, ¿obtienes una A?
¿Cuándo z?
Dirección de las dos, ¿y? z2?4,x? 2)2?16. Ir un paso más allá, b? 9c? 10, contradiciendo que B y C son números primos;
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Cuando z3, a? ¿b? ¿do? 0, entonces A, B y C no pueden formar los tres lados de un triángulo.
14. Si colocas el entero positivo M a la izquierda del entero positivo M, el nuevo número obtenido puede ser divisible por 7, entonces M se llama el "número mágico" de M (por ejemplo, ponga 86 a la izquierda de 415, el número resultante puede ser divisible por 7, entonces 86 se llama el número mágico de 415).
Si n≤6, toma m? 1, 2,?, 7. Según el conocimiento del principio del casillero, debe haber un entero positivo m en a1, a2,..., an, que es el número mágico de ** común de I y J ( 1 ≤ I < J ≤ 7), es decir 7|(10M?I), 7|(10M?j). Hay 7|(j?I), pero 0
j? I≤6, contradictorio.
Por tanto, n ≥ 7.
Cuando a1, a2,..., an es 1, 2,? 7. Supongamos que cualquier entero positivo m tiene k dígitos (k es un entero positivo), entonces ¿10i? Los restos de m(i?1,,2?7) dividido por 7 son diferentes en pares. De lo contrario, ¿hay un entero positivo I, j (1 ≤ I < j ≤ 7), que satisface 7|[(10kj?m)? (10ki?M)], es decir, 7|10k(j?I), por lo tanto 7|(j?I), una contradicción.
Entonces debe existir un entero positivo i (1≤i≤7) tal que 7|(10ki?m), es decir, I es el número mágico de m, por lo tanto, el valor mínimo de n es 7.