La fórmula del área de cualquier triángulo (fórmula de Herón): S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=a+b+c/2, a.b.c, son los tres lados del triángulo.
Demostración:
Demostración del Teorema de Pitágoras
Análisis: Comience con la fórmula de cálculo más básica de triángulos, S△ABC = aha, y use la fórmula de Pitágoras. teorema para deducir Elabora la fórmula de Heron.
Demostración: Como se muestra en la figura ha⊥BC, según el teorema de Pitágoras, obtenemos:
x = y =
ha = = =
p>
∴ S△ABC = aha= a× =
En este momento, S△ABC es la deformación ④, por lo que se obtiene la prueba.
Prueba 2: Teorema de Sri Lanka
Análisis: Basado en la prueba 1, utilice el teorema de Sri Lanka para encontrar directamente ha.
Teorema de Escocia: Toma cualquier punto D en el lado BC de △ABC,
Si BD=u, DC=v, AD=t. 2 =
Prueba: De la Prueba 1, u = v =
∴ ha 2 = t 2 = -
∴ S△ABC = aha = a ×
=
Esta es la deformación ⑤ de S△ABC, así queda demostrado.
Prueba 3: Teorema del coseno
Análisis: Se puede ver en la deformación ② S =, y se usa el teorema del coseno c2 = a2 + b2 -2abcosC para demostrarlo.
Demostración: Para demostrar que S =
, debes demostrar que S =
=
= ab×sinC
En este momento, S = ab×sinC es una fórmula de cálculo de triángulos, así que está demostrado.
Prueba 4: Identidad
Análisis: considere usar S△ABC =r p Debido a que aparece el radio del círculo inscrito de un triángulo, puede considerar aplicar la identidad de funciones trigonométricas. .
Identidad: Si ∠A+∠B+∠C =180○entonces
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
Demostración: Si Figura, tg = ①
tg = ②
tg = ③
Según la identidad obtenemos:
+ + =
Sustituyendo ①②③, obtenemos:
∴r2(x+y+z) = xyz ④
Como se muestra en la figura: a＋b－c = ( x+z)＋( x+y)-(z+y) = 2x
∴x = De manera similar: y = z =
Sustituyendo ④, obtenemos: r 2 · =
Multiplicamos ambos lados por igual, obtenemos:
r 2 · =
Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos: r · =
Lado izquierdo r· = r·p = El lado derecho de S△ABC es la deformación ① de la fórmula de Heron, por lo que se obtiene la prueba.
Prueba 5: Teorema del medio ángulo
Teorema del medio ángulo: tg =
tg =
tg =
Demostración: Según tg = = ∴r = × y ①
De manera similar r = × z ② r = × x ③
①×②×③, obtenemos: r3 = ×xyz