1. Complete los espacios en blanco (esta gran pregunta* *Hay 10 preguntas en total, cada pregunta vale 3 puntos)
1 Supongamos que A, B y C son. tres eventos aleatorios. Entonces "exactamente dos de los tres eventos ocurren" están representados por A, B, C;
2 Si los eventos A y B son independientes entre sí, P (a) = 0,5, P (b) = 0.25, entonces P(A∪B)=;
3 Supongamos que la distribución de probabilidad de X es p (x = k) =, k = 0, 1, 2, 3,. entonces c =;
4. Supongamos que la variable aleatoria .Supongamos que X1,
7. Suponga que (X, y) es un vector aleatorio bidimensional y la covarianza cov ( X, y) de X e y se definen como:
8.x1, X2,… , /p>
10 Supongamos que la población x ~ n(), entonces la estimación de máxima verosimilitud es. 1.2.0.625 3.4.O.2 5. 6.4D(X)+9D(Y)
7.N(0,1) 8. N(0,1) 9. 10.
2. Preguntas de verdadero o falso: Si es así, marque “√”; si es incorrecto, marque “×” (Esta pregunta principal* *Hay 10 sub- preguntas en total, 2 puntos por cada pregunta).
1. La exclusión mutua y la independencia de dos eventos son completamente equivalentes: (×)
2 Para dos eventos cualesquiera A y B, debe existir (√).
3.X1, X2,..., Xn son muestras extraídas de la población n(), entonces obedecen a la distribución n(). (× )
4. Si se establece, significa (√)
5. A representa el evento "El producto A se vende bien, el producto B se vende mal", en relación con El evento es "El producto A se vende mal, el producto B se vende bien" (×).
6. Supongamos que A, B y C representan tres eventos, lo que significa que "A, B y C no sucederán" (√)
7. son dos eventos, entonces AB∨=(conjunto completo); ( × )
8 Supongamos ~ b (n, p), y e = 4, d = 2, entonces n = 8. )
9. Supongamos que la población x ~ n (1) x 1, X2 y X3 son muestras de la población, entonces es un estimador insesgado (×).
10. La hipótesis que no se rechace tras la prueba de significancia debe ser correcta. (×)
3. Preguntas de cálculo (esta gran pregunta * * *, 7 preguntas en total, cada pregunta tiene 5 puntos)
1. productos dos veces, 2 productos defectuosos, tomar uno a la vez sin volver a colocarlo, intentar tomarlo nuevamente.
Se da la probabilidad de que haya productos defectuosos.
Solución: Lo que saqué por primera vez era un producto defectuoso”, I = 1, 2. Es fácil saberlo a partir de la fórmula de cálculo de probabilidad clásica.
(1)
Y debido a que se sacó por primera vez y no se volvió a colocar, (2 puntos)
Por lo tanto, usando la fórmula de probabilidad total, podemos obtener el probabilidad de la siguiente manera
2. Suponga que x ~ n (-2, 32), intente encontrar la densidad de probabilidad de x como f(x)
Solución: Dado que la variable aleatoria X obedece a la distribución normal, su función de densidad tiene la siguiente forma:
; (4 puntos)
Además, al sustituir =-2 y =3 en la expresión anterior, se obtiene el resultado requerido. La función de densidad se puede obtener de la siguiente manera:
3. Suponga que la función de densidad de la variable aleatoria es, encuentre la constante c.
Solución: Suponga que la función de densidad de la variable aleatoria es, intente encontrar la constante c..
Utilice las propiedades de la función de densidad, (2 puntos)
Obtener:, La solución es C=5 (5 puntos)
4 Suponga que la media y la varianza de X existen, D(X)≠0, suponga Y=, intente encontrar E. (Y) y D(Y).
Solución: e(y)=; (3 puntos)
d(Y)=;
5. las varianzas de son 4 y 2 respectivamente. Intente encontrar la varianza de la variable aleatoria 3x-2y.
Solución: Se sabe que X e Y son independientes entre sí. Usando las propiedades de la varianza, podemos obtener D (3x-2y) = 9d (x) + 4d (y).
(5 puntos)
Y como d (x) = 4 y d (y) = 2, podemos obtener d (3x-2y) = 44. (2 puntos) Sustituir en la fórmula anterior.
6. Supongamos que la variable aleatoria X obedece a la distribución de Poisson con parámetros, E (X-1) (X-2) = 1, encuentre el valor del parámetro.
Solución: Si ex = y dx = se conocen a partir de la pregunta, entonces obtenemos ex2 =+2 (3 puntos)
Supongamos 1 = e[(x-1) (x -2)]= ex2-3ex+2 = 2-2+2; (3 puntos)
Es decir, (a 1) 2 = 0, entonces = 1. (1)
7. Supongamos que la población
X1,
Solución: La función de posibilidad es
, (3 puntos)
La ecuación de posibilidad es
(2 puntos)
Solución
Debido a que la segunda derivada de es siempre negativa, se puede ver que la función de verosimilitud alcanza el máximo en , por lo que es la estimación de máxima verosimilitud.
4. Pregunta de prueba (esta pregunta vale 15 puntos)
Supongamos que x obedece a una distribución uniforme en el intervalo [a, b], intente demostrar que y = x+c. (una constante) también obedece a una distribución uniforme.
Como se puede ver en la pregunta, X obedece a una distribución uniforme en el intervalo [a, b], por lo que la función de densidad de X es
(1)
Encuentra y = La función de distribución de x+c (c es una constante):
(8 puntos)
Luego toma la derivada de y y obtén la función de densidad de y de la siguiente manera
( 5 puntos)
Entonces y obedece a una distribución uniforme en el intervalo [a+c, b+c]. (1)