En un determinado proceso de cambio, hay dos variables X e Y. Si se puede escribir como y=kx b (k es el coeficiente lineal k≠0, B es una constante ), entonces decimos que Y es una función lineal de X, donde X es la variable independiente e Y es la variable dependiente.
1. El origen de la función
La palabra "función" utilizada en los libros de matemáticas chinos es una traducción del libro "Álgebra" (1852 a 1859) que se tradujo como "función". ".
La palabra "xin" y la palabra "han" se usaban comúnmente en la antigua China, y ambas significan "Han". La definición dada por Li es "Cada fórmula contiene el camino del cielo, y el camino del cielo es una función del camino del cielo". En la antigua China, los cuatro caracteres "cielo, tierra, personas y cosas" se usaban para representar cuatro números o variables desconocidos diferentes. El significado de esta definición es: "Cuando la variable X se incluye en una fórmula, esta fórmula se llama función de Un sistema de ecuaciones lineales simultáneas con números desconocidos, es decir, un sistema de ecuaciones lineales
2 Definición básica
Definición
En términos generales, si la forma es y = kx b (k≠0, k y b son constantes), entonces y se llama función lineal de. x. Cuando b=0, y=kx b significa y=kx, que es una función proporcional (la variable independiente es proporcional a la variable dependiente). Entonces la función proporcional es una función lineal especial. Además, si el grado más alto de la variable independiente es 1, entonces esta función es una función lineal en un determinado proceso de cambio, hay dos variables X e Y. Si se puede escribir como y=f(x), (eso. es decir, X obtiene Y mediante alguna operación), es decir, cada X tiene un Y único correspondiente, entonces decimos que Y es la Función, donde X es una variable independiente, y Y cambia con el cambio de X. Cuando X toma un valor, Y tiene solo un valor correspondiente a Representación: los métodos de representación comúnmente utilizados para funciones incluyen el método analítico, el método de imagen y el método de lista.
3. 1. Cuando la función es proporcional, el cociente de x e y debe ser (x≠0). En la función proporcional inversa, se determina el producto de x e y. (k, b es una constante, k≠0), cuando x aumenta en m, el valor de la función y aumenta en km; por el contrario, cuando x disminuye en m, el valor de la función y disminuye en km;
2. Cuando x = 0, b es la ordenada de la intersección de la imagen de la función lineal y el eje Y. Las coordenadas de este punto son (0, b). Cuando b=0, la función lineal se convierte en una función proporcional. Por supuesto, la función proporcional es una función lineal especial [2] ]
4. >Cuando k y b en las dos expresiones de funciones lineales son iguales, las imágenes de las dos funciones lineales se superponen;
Cuando k es igual y b es diferente en dos expresiones de funciones lineales, las imágenes de las dos funciones lineales son paralelas;
Cuando k y b en dos expresiones de funciones lineales son Cuando k es diferente y b es igual, las imágenes de las dos funciones lineales se cruzan en el mismo punto en el eje Y ( 0, b);
Cuando k en las expresiones de dos funciones lineales es un recíproco negativo, las imágenes de las dos funciones lineales son perpendiculares entre sí [2]
5. Entre las dos funciones lineales (y1=ax b, y2=cx d), la nueva función y3=(ax b)/(cx d) es una función proporcional inversa, la asíntota es X =-B/A,. Y = C/A..
4. Relación posicional especial
Cuando dos líneas rectas en el sistema de coordenadas cartesianas planas son paralelas, el valor de k en la función de resolución (es decir , el coeficiente del primer término) es igual;
Cuando dos rectas son perpendiculares en el plano sistema de coordenadas cartesiano, los valores de k en la función de resolución son recíprocos entre sí (es decir, el producto de los dos valores de k es -1).
Nota: No existe una función de resolución para la línea recta paralela al eje Y, y la fórmula analítica de la línea recta paralela al eje X es una función constante, por lo que estas dos líneas rectas son excluidos de las propiedades anteriores.
5. Preguntas frecuentes
Las funciones lineales y sus imágenes de Preguntas frecuentes son un contenido importante del álgebra de la escuela secundaria, la piedra angular de la geometría analítica de la escuela secundaria y un contenido clave. del examen de ingreso a la escuela secundaria. Entre ellas, encontrar la función de resolución en un solo paso es un tipo de pregunta común. Tomando como ejemplos algunas preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria, presentaremos varios tipos de preguntas comunes para encontrar funciones de discriminación lineal. Espero que sea de ayuda para el estudio de todos.
1.Ejemplo de definición 1. Suponga que la función es una función lineal y encuentre su fórmula analítica. Solución: Se puede conocer a partir de la definición de una función lineal, por lo que la fórmula analítica de una función lineal es Nota: Cuando se utiliza la definición para encontrar la función analítica, se debe garantizar. En este caso se debe garantizar
2. Se sabe que la imagen de una función lineal pasa por el punto (2, -1). Encuentre la expresión analítica de esta función. Solución: La imagen de una función lineal pasa por (2,-1), es decir, la fórmula analítica de esta función lineal es una variante: Cuando se conoce la función lineal y =-1, encuentre la fórmula analítica de esta función.
3. Si se sabe que las coordenadas de intersección de la imagen de una función lineal y el eje X y el eje Y son (-2, 0) y (0, 4) respectivamente, entonces el La fórmula analítica de esta función es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. Solución: Dejemos que una función de reducción derive la respuesta a partir del significado de la pregunta. La fórmula analítica de esta función lineal es
4. Imagen tipo 4. Si la gráfica de una función lineal se conoce como se muestra en la figura, la fórmula analítica de la función es _ _ _ _ _ _ _ _ _. Solución: Supongamos que la función de resolución primaria es la imagen de la función primaria que pasa por los puntos (1, 0) y (0, 2), entonces la fórmula analítica de esta función primaria es Corte oblicuo. escriba el ejemplo 5. Se sabe que la recta es paralela a la recta y la intersección en el eje Y es 2, entonces la fórmula analítica de la recta es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. Análisis: Dos rectas:;: . Cuándo, cuándo, la recta es paralela a la recta. La intersección de la línea recta en el eje y es 2, entonces la fórmula analítica de la línea recta es
6. La fórmula analítica de la imagen obtenida al desplazar la línea recta hacia abajo 2 unidades es _ _ _ _ _ _ _ _ _. Análisis: supongamos que la función de resolución es la intersección de la línea recta y la línea recta paralela a la línea recta en el eje Y, entonces la fórmula de análisis de imagen es siete. Ejemplo de aplicación práctica 7. Hay 20 litros de aceite en un tanque de combustible y el aceite sale de la tubería a una velocidad constante con un caudal de 0,2 litros/minuto. Luego se determina la relación funcional entre el volumen de aceite restante Q (litros) en el tanque y. el tiempo de salida T (minutos) es _ _ _ _ _. Solución: Según el significado de la pregunta, la fórmula analítica de la función es (). Nota: Para encontrar la relación funcional de problemas de aplicación práctica, es necesario escribir el rango de valores de las variables independientes.
8. Tipo de área 8. Dado que el área de un triángulo delimitado por una recta y dos ejes coordenados es igual a 4, la fórmula analítica de la recta es _ _ _ _ _ _ _ _ _. Solución: Es fácil encontrar que el punto de intersección de la recta y el eje X es (, 0), por lo tanto, la fórmula analítica de la recta es o.
Nueve. Tipo de simetría Si la línea recta y la línea recta son simétricas con respecto a (1) x, entonces la fórmula analítica de la línea recta L es (2) simetría del eje y, entonces (3) simetría del eje y=x, entonces (4 ) la línea recta es simétrica, entonces (5) el origen es simétrico, entonces la fórmula analítica de la línea recta L es como se muestra en 9. Si la recta es recta, solución: La fórmula analítica de la recta L obtenida de (2) es
Abrir ejemplo 10. Suponga que la imagen de la función pasa por los puntos A (1, 4) y B (2, 2). Escriba dos funciones con diferentes resoluciones que cumplan las condiciones anteriores y describa brevemente el proceso de solución. Solución: (1) Si la función que pasa por los puntos A y B es como una línea recta, se puede obtener fácilmente a partir de la fórmula de dos puntos. (2) Dado que el producto de la abscisa y la ordenada del punto A y el punto B es igual a 4, la imagen de la función que pasa por el punto A y el punto B también puede ser una hipérbola, y la fórmula analítica es
2. Función de proporción inversa 1, la función de forma (k es una constante y k≠0) se llama función proporcional inversa, donde k se llama coeficiente proporcional inverso, x es la variable independiente, y es la función de la variable independiente x, y el rango de valores de x son todos los valores que no son iguales a 0 Números reales, y no puede ser igual a 0. Cuando k es mayor que 0, la imagen está en los cuadrantes 1 y 3.
Cuando k es menor que 0, la imagen se ubica en el cuadrante 2 y el cuadrante 4. k representa el área del rectángulo formado por las coordenadas xey.
2. El rango de la variable independiente
① Generalmente, el rango de valores de la variable independiente X puede ser cualquier número real no igual a 0
; ② Función El rango de y también es cualquier número real distinto de cero.
3. Fórmula analítica
Donde x es la variable independiente, y es la función de x y su dominio son todos los números reales distintos de 0,
Eso es { x|x≠0, x∈R}. Las siguientes son algunas formas comunes:
(k es una constante (k≠0, x no es igual a 0))
4. La imagen de la función proporcional inversa pertenece a Para una hipérbola con el origen como centro de simetría, cada curva en cada cuadrante de la imagen de la función proporcional inversa estará infinitamente cerca del eje X y del eje Y, pero no se cruzará con la coordenada. eje (y≠0)
5. Propiedades funcionales
Monotonicidad
Cuando k gt0, las imágenes se ubican en el primer y tercer cuadrante respectivamente en cada uno. cuadrante, de izquierda a derecha, y aumenta con X y disminuye;
Cuando k < 0, la imagen se ubica en el segundo y cuarto cuadrante respectivamente. En cada cuadrante, de izquierda a derecha, y aumenta a medida. x aumenta <. /p>
k gt0, la función está en la intersección de x
Porque en
(k≠0), X no puede ser 0, Y no puede ser 0, por lo que la imagen de la función proporcional inversa no puede cruzarse con el eje X o el eje Y, y solo puede estar infinitamente cerca de los ejes X e Y
Región
Atributo funcional
Monotonicidad
Cuando k gt0, las imágenes se ubican en el primer y tercer cuadrante respectivamente. En cada cuadrante, desde. de izquierda a derecha, y disminuye a medida que X aumenta;
p>Cuando k < 0, las imágenes se ubican en el segundo y cuarto cuadrante respectivamente. En cada cuadrante, de izquierda a derecha, y aumenta a medida que x aumenta.
k gt0, la función está en la intersección de x
Porque en
(k≠0), X no puede. ser 0 e Y no puede ser 0, por lo que la imagen de la función proporcional inversa no puede cruzarse con el eje X o el eje Y, sino que solo puede estar infinitamente cerca de los ejes X e Y
La forma es (k es una constante, k≠. 0) se llama función proporcional inversa.
El rango de valores de la variable independiente x es todo. números reales que no son iguales a 0.
La propiedad de imagen de la función proporcional inversa: la imagen de la función proporcional inversa es doble.
Dado que la función proporcional inversa es. una función impar, hay f(x)=f(-x), y la imagen es simétrica con respecto al origen.
Además, a partir de la expresión analítica de la función proporcional inversa, se puede concluir. que cualquier punto en la imagen de la función proporcional inversa es perpendicular a los dos ejes de coordenadas, y el área rectangular rodeada por este punto, los dos pies verticales y el origen es un valor constante, que es ∣k∣.
Nota: La imagen de la función proporcional inversa solo puede tender infinitamente hacia el eje de coordenadas y no puede cruzarse con el eje de coordenadas
7. La imagen de la función proporcional inversa son dos ejes de coordenadas. El área del rectángulo encerrado por estos dos segmentos de línea vertical y el eje de coordenadas es |k|. sumar o restar del denominador (m es una constante, lo que equivale a desplazar la imagen hiperbólica una unidad hacia la izquierda o hacia la derecha (al sumar un número, moverse hacia la izquierda, al restar un número, moverse hacia la derecha).