Grado 2 Clase 9: Li Luyang
Demostración del teorema de Pitágoras: entre estos cientos de métodos de prueba, algunos son muy interesantes, otros son muy concisos, algunos son muy famosos debido a su estatus especial.
Primero, se presentan las dos demostraciones más interesantes del teorema de Pitágoras, que se dice que provienen de China y Grecia respectivamente.
1. Método chino: dibuja dos cuadrados con longitudes de lados (a+b), como se muestra en la figura, donde A y B son lados rectángulos y C es la hipotenusa. Los dos cuadrados son congruentes, por lo tanto sus áreas son iguales.
Las imágenes de la izquierda y la derecha tienen cada una cuatro triángulos que son iguales a los triángulos rectángulos originales. La suma de las áreas de los triángulos izquierdo y derecho debe ser igual. Si se eliminaran los cuatro triángulos de las figuras izquierda y derecha, las áreas de las partes restantes de la figura serían iguales. Quedan dos cuadrados en la imagen de la izquierda, con A y B como lados respectivamente. A la derecha hay un cuadrado de lado C. Por lo tanto
a^2+b^2=c^2.
Este es el método introducido en nuestro libro de texto de geometría. Intuitivo y sencillo, todo el mundo puede entenderlo.
2. Método griego: dibuja un cuadrado directamente en los tres lados de un triángulo rectángulo, como se muestra en la imagen.
Es fácil de ver,
△ABA'≔△AA'c.
Dibuja una línea vertical que pase por C hasta a' b', en It corta a AB en C' y A' b' en C'.
Las alturas de la base de △ABA′ y el cuadrado ACDA′′ son iguales, y el primero es la mitad del área del segundo. Las alturas de la base de △AA′″C y el rectángulo AA′″. C″ son iguales, y el primero es el área del segundo. De △ABA '≔△AA '' C, sabemos que el área del cuadrado ACDA ' es igual al área de . rectángulo AA''C''C'. De manera similar, el área del cuadrado BB'EC es igual al rectángulo b''BC'' C. ''
Por lo tanto, S cuadrado AA. ''B''B=S cuadrado ACDA'+S cuadrado BB'EC,
Es decir, a2+b2=c2
En cuanto al área de un triángulo. siendo la mitad del área de un rectángulo con la misma base y la misma altura, se puede calcular usando el método de cortar y rellenar (pruébelo usted mismo aquí solo se utilizan relaciones de área simples, y las áreas de). los triángulos y los rectángulos no están involucrados. Fórmula.
Esta es la prueba del antiguo matemático griego Euclides en "Elementos de geometría"
Los dos métodos de prueba anteriores son maravillosos porque utilizan muy pocos teoremas, y sólo se utilizan dos conceptos básicos de área:
(1) Las áreas de las congruencias son iguales;
(2) Dividir una figura en varias partes, y las la suma de las áreas de cada parte es igual al área de la figura original.
Este es un concepto completamente aceptable y simple que cualquiera puede entender.
Los matemáticos chinos de todos. Durante siglos se han utilizado muchos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras. También hay muchos diagramas del teorema, entre los cuales Zhao Shuang (también conocido como Zhao) demostró el teorema de Pitágoras en su artículo "Ilustraciones del colmillo de Pitágoras", que se adjuntó a ". Zhou Bi Suan Jing" usando el método de cortar y rellenar:
Como se muestra en la imagen, los cuatro triángulos rectángulos en la imagen están coloreados con cinabrio, el pequeño cuadrado en el medio está coloreado con amarillo, que se llama el sólido amarillo del medio, y el cuadrado con la cuerda como lado se llama el sólido de la cuerda. Luego, pasa por el este. Después del mosaico y la combinación, confirmó que la relación entre las cuerdas de Pitágoras es consistente con el teorema de Pitágoras. es decir, "las hebras pitagóricas se multiplican entre sí y son cuerdas reales. Si se dividen, son cuerdas". ”
La demostración del teorema de Pitágoras de Zhao Shuang muestra que los matemáticos chinos tienen ideas magníficas para demostrar problemas, que son concisas e intuitivas.
Muchos estudiosos occidentales han estudiado el teorema de Pitágoras. Se dieron métodos, entre los cuales Pitágoras dio la prueba más antigua documentada. Se dice que cuando demostró el teorema de Pitágoras, estaba tan feliz que mató cien vacas para celebrarlo. el "Teorema de las cien vacas". Desafortunadamente, el método de prueba de Pitágoras se ha perdido hace mucho tiempo y no tenemos forma de conocerlo.
El siguiente es el vigésimo presidente de los Estados Unidos, Garfield. del teorema de Pitágoras
Como se muestra en la figura, s trapecio ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2. ), ①
y S trapecio ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED.
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2).②
Comparando las dos fórmulas anteriores, podemos obtener
a2 +b2=c2 .
Esta prueba es bastante simple porque usa la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo.
En abril de 1876, Garfield publicó su demostración del teorema de Pitágoras en el New England Journal of Education. Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras, y se convirtió en una buena historia en la historia de las matemáticas. .
Después de estudiar triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo original.
Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ ACB = 90. Sea CD⊥BC, y base en d.Government
△BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC.
¿Podemos obtener BC2=BD de △BCD∽△BAC? BA, ①
AC2=AD se puede obtener de △CAD∽△BAC? AB .②
Encontramos que sumando ① y ②, podemos obtener.
BC2+AC2=AB(AD+BD),
Y AD+BD=AB,
Entonces BC2+AC2=AB2, también Eso es
a2+b2=c2.
Esta también es una forma de demostrar el teorema de Pitágoras, y además es muy sencilla. Utiliza el conocimiento de triángulos similares.
En las muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, la gente también cometerá algunos errores. Si alguien da el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras:
Según el teorema del coseno, sea △ABC, ∠c = 90°
c2=a2+b2-2abcosC,
CosC=0, porque ∠ c = 90. Por lo tanto
a2+b2=c2.
Este método de prueba aparentemente correcto y simple en realidad comete el error de la teoría de prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras.
La gente está interesada en el Teorema de Pitágoras porque puede generalizarse.
Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en "Elementos de geometría": "El área de un lado recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el área de dos lados rectos semejantes sobre dos ángulos rectos. La suma de las áreas de los lados."
Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: “Si se hace un círculo teniendo como diámetro los tres lados de un triángulo rectángulo, el área del círculo con la hipotenusa como diámetro es igual al área del círculo que tiene como diámetro los dos lados rectángulos. La suma de las áreas de dos círculos.
El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: Si los tres lados de un triángulo rectángulo se usan como lados correspondientes para hacer poliedros semejantes, entonces el área de la superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a el área de superficie de los dos poliedros en los lados rectángulos La suma de las áreas de superficie.
Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo para formar una bola, el área de superficie de la bola sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos bolas formadas sobre las dos lados en ángulo recto.