Objetivos de aprendizaje
1. Algunas ecuaciones cuadráticas de una variable se pueden resolver usando factorización.
2. Según las características de la ecuación, se pueden utilizar de manera flexible varios métodos de solución de ecuaciones cuadráticas para encontrar las raíces de la ecuación.
Resumen del conocimiento de la materia
1. Método de factorización Si un lado de una ecuación cuadrática es 0, el otro lado se puede descomponer fácilmente en dos factores lineales, como x2-9 = 0, esta ecuación se puede transformar en (x 3) (x-3) = 0. Si (x 3) (x-3) es igual a 0, entonces (.
2. La clave del método de factorización es simplificar la ecuación cuadrática de una variable en una ecuación lineal de una variable. Su teoría La base es: si a? B = 0 a = 0 o B = 0.
Explicación del conocimiento básico
1. dos factores lineales, el otro Cuando un lado es 0, el método de factorización se puede usar para resolver la ecuación cuadrática de una variable. Al factorizar, debemos usar de manera flexible varios métodos de factorización que hemos aprendido según la situación. p>2. Entre los cuatro métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, el método de fórmula es el método principal, que se puede decir que es un método universal, es decir, puede resolver cualquier ecuación cuadrática de una variable. En el caso de las ecuaciones cuadráticas, algunas son simples de usar el método de raíz cuadrada directa y otras son simples de factorizar. Entonces, cuando encuentras un problema, debes elegir el método apropiado para resolverlo. la ecuación cuadrática con el método de emparejamiento.
Ejemplos detallados
Ejemplo 1: Resuelva la siguiente ecuación factorizando:
(1)y2 7y 6 = 0; (2)t(2t-1)= 3(2t-1); (3)( 2x-1)(x-1)= 1.
Solución: La ecuación de (1) puede ser transformada en (Y 1)(Y 6) = 0, Y 1 o Y 6 = 0, ∴ y 1=0 =-1, Y2 =-
La ecuación (2) se puede transformar en. t (2t-1)-3 (2t-1) = 0, (2t-1) (t-3 ) = 0, 2t-1 = 0 o t-3 = 0, ∳.
(3) La ecuación se puede transformar en 2x2-3x = 0. x (2x-3) = 0, x = 0. O 2x-3 = 0.
∴x1=0, x2=.
Nota: (1) Al resolver una ecuación cuadrática mediante factorización, generalmente es necesario organizarla en una fórmula general si el álgebra de la izquierda se puede descomponer en el producto de dos factores lineales, y. el lado derecho es cero, entonces cada factor lineal se puede convertir en cero y se obtiene la solución de estas dos ecuaciones lineales. Dos soluciones a la ecuación original
(2) Aplique el método de factorización para resolver la. ecuación en la forma (x-a) (x-b) = c. El lado izquierdo es el producto de dos factores lineales, pero el lado derecho no es cero, por lo que es necesario convertirlo a la forma (x-e) (x-f) =. 0, y entonces podemos obtener X1 = E, X2 = F.
La transformación de la ecuación original es 2x-1 = 1 o x-1 = 1. ∴ x1 = 1, x2 = 2.
En la ecuación (2), ¿por qué ambos lados de la ecuación no son divisibles por (2t-1)?
Ejemplo 2: Utilice métodos apropiados para resolver las siguientes ecuaciones:
(1)(1-x)2 =; (2)x2-6x-19 = 0; (3)3 x2 = 4x 1; )5x(x-3)-(x-3)(x 1)= 0;
(6)4(3x 1)2=25(x- 2)2.
Análisis: la ecuación (1) usa el método de raíz cuadrada directa, la ecuación (2) usa el método de comparación, la ecuación (3) usa el método de fórmula, la ecuación (4) se convierte en una fórmula general y usa el método de factorización, y las ecuaciones (5) y (6) no necesitan convertirse en fórmulas generales y pueden descomponerse directamente mediante factorización.
Solución: (1) (1-x) 2 =, (x-1) 2 = 3, x-1 = , ∴ x 1 = 1, x2 =
( 2) Mueva los términos para obtener x2-6x = 19 y obtenga la fórmula, x2-6x (-3) 2 = 19 (-3) 2, (x-3) 2 = 28, x-3 = 2.
∴x1=3 2, x2=3-2.
(3) Mueva el término para obtener 3x2-4x-1 = 0,
∫a = 3, b=-4, c=-1,
∴x=,
∴x1=, x2=.
(4) El término de desplazamiento obtiene y2-2y-15 = 0, y el factor izquierdo de la ecuación se descompone para obtener (y-5)(y 3)= 0
<; p>∴ y- 5 = 0 o y 3 = 0, ∴ y1 = 5, y2 =-3.(5) Descomponga el factor izquierdo de la ecuación para obtener (x-3) [5x-(x 1)] = 0, (x-3) (4x-1) = 0,
X-3 = 0 o 4x-1 = 0,
∴x1=3, x2=.
(6) Mueve el término para obtener 4 (3x 1) 2-25 (x-2) 2 = 0,
〔2(3x 1)〕〔2-〔 5( x-2)〕〔2 = 0,
『2(3x 1) 5(x-2)』? 〔2(3x 1)-5(x-2)〕=0,
(11x-8)(x 12)= 0,
∴ 11x-8 = 0 o x 12 = 0, ∴ x 12=0 =, x2 =-12.
Nota: (1) La solución de la ecuación cuadrática con coeficientes de números irracionales es la misma que con números racionales, pero se debe prestar atención a la simplificación de la raíz cuadrática.
(2) La factorización directa se puede transformar en una forma en la que el producto de dos factores de primer orden es igual a cero, por lo que no es necesario organizar esta forma de ecuación en una fórmula general.
Ejemplo 3: Resolver la ecuación sobre X: (A2-B2) x2-4abx = A2-B2.
Solución: (1) Cuando A2-B2 = 0, es decir, | A | B |, la ecuación es -4abx = 0.
Cuando a = b = 0, X es cualquier número real. Cuando a | = b | ≠ 0, X = 0.
(2) Cuando A2-B2 ≠ 0, es decir, A B ≠ 0, A-B ≠ 0, la ecuación es una ecuación cuadrática.
Factorización, obtenemos
と(a b)x (a-b)とと(a-b)x-(a b)〕= 0,
∵ A B ≠ 0 y A-B ≠ 0,
∴x1=, x2=.
Nota: Al resolver la ecuación del coeficiente de letras, preste atención a las diferentes situaciones en las que el coeficiente del término cuadrático es igual a cero y no igual a cero. En realidad, este problema se divide en tres situaciones, a saber, ①a = b = 0; ②| a | b |≠0;
Ejemplo 4: Dado X2-XY-2Y2 = 0, y x≠0, y≠0, encuentra el valor de la expresión algebraica.
Análisis: Se requiere encontrar los valores de X e Y para expresiones algebraicas, pero obviamente no se pueden encontrar a partir de condiciones conocidas. Se requiere que el numerador y el denominador de la expresión algebraica sean expresiones cuadráticas homogéneas sobre X e Y, por lo que también se puede conocer la razón de X e Y, y X se puede obtener factorizando el conocido x2-xy-2y2 = 0 y el relación de Y.
Solución: De x2-x=-y.-2y2 = 0, podemos obtener (x-2y)(x y) = 0, ∴ x-2y = 0 o x y = 0, ∴ x = 2y o x=-y.
Cuando x = 2 y,.
Cuando x =-y.
Explicación: El método de factorización incorpora los métodos de pensamiento matemático de "reducción" y "reducción". Puede usarse no solo para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable, sino también para resolver el cálculo y la prueba de ecuaciones cuadráticas de una variable, sistemas de ecuaciones cuadráticas de dos variables y expresiones algebraicas relacionadas.
Ejercicios de esquema sincronizado
1. Preguntas de opción múltiple
La raíz de la ecuación (x-16) (x 8) = 0 es ().
A.x1=-16, x2=8 B.x1=16, x2=-8 C.x1=16, x2=8 D.x1=-16, x2=-8
(2) En las siguientes ecuaciones, 4x2-3x-1 = 0, 5x2-7x 2 = 0, 13x2-15x 2 = 0, hay una * * * solución común ().
A..x= B.x=2 C.x=1 D.x=-1
(3) La solución de la ecuación 5x (x 3) = 3 (x 3) es ()
A.x1=, x2=3 B.x= C.x1=-, x2=-3 D.x1=, x2=-3
(4) Ecuación (y- 5 ) (y 2) = La raíz de 1 es ().
A.y1 = 5, y2 =-2b.y = 5c.y =-2d. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
(5) La raíz de la ecuación (x-1) 2-4 (x 2) 2 = 0 es ().
A.x1=1, x2=-5 B.x1=-1, x2=-5 C.x1=1, x2=5 D.x1=-1, x2=5
(6) Si la raíz mayor de la ecuación cuadrática x2 5x = 0 se establece en m, y la raíz menor de x2-3x 2 = 0 se establece en n, entonces el valor de m n es ().
A.1
(7) Dado que las longitudes de los dos lados del triángulo son 4 y 7 respectivamente, la longitud del tercer lado es una de las ecuaciones X2- 16x 55 = 0 raíz, entonces la longitud del tercer lado es ().
A.5b.5 o 11 c . 6d 11
(8) El número de soluciones diferentes de la ecuación x2-3 |
A.0 B.1 C.2 D.3
Rellena los espacios en blanco
(1)La solución de la ecuación t (t 3) = 28 es _ _ _ _ _.
(2)La solución de la ecuación (2x 1) 2 3 (2x 1) = 0 es _ _ _ _ _ _ _ _.
(3)La solución de la ecuación (2y 1) 2 3 (2y 1) 2 = 0 es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
(4) La solución de la ecuación x2 (m n) x Mn = 0 con respecto a x es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
(5) La solución de la ecuación x (x-) =-x es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones factorizando:
(1)x2 12x = 0; (2) 4x 2-1 = 0; p>
(4)x2-4x-21 = 0; (5)(x-1)(x 3)= 12; (6)3 x2 2x-1 = 0;
( 7)10 x2-x-3 = 0; (8)(x-1)2-4(x-1)-21 = 0.
4. Utilice métodos apropiados para resolver las siguientes ecuaciones:
(1)x2-4x 3 = 0; (2)(x-2)2 = 256; x2 -3x 1 = 0;
(4)x2-2x-3 = 0; (5)(2t 3)2 = 3(2t 3);
(6) ( 3-y)2 y2 = 9;
(7)(1)x2-(1-)x = 0;
(8)x2-(5 1)x = 0;
(9) 2x2-8x = 7 (con precisión de 0,01); (10)(x 5)2-2(x 5)-8=0.
5. Resuelve la ecuación sobre x:
(1)x2-4ax 3 a2 = 1-2a; (2)x2 5x k2 = 2kx 5k 6;
(3)x2-2mx-8 m2 = 0; (4)x2 (2m 1)x m2 m=0.
6. Dado x2 3xy-4y2 = 0 (y ≠ 0), intenta encontrar el valor.
7. Se sabe que (x2 y2)(x2-1 y2)-12 = 0. Encuentra el valor de x2 y2.
Utiliza tres métodos para resolver la ecuación: x (x 12) = 864.
9. Dado que el valor de x2 3x 5 es 9, intenta encontrar el valor de 3x2 9x-2.
10. Un buzo se lanza desde una plataforma con una altura de 10 metros. La relación entre la altura H (unidad: metros) y el tiempo t (unidad: segundos) desde el que saltó es H = -5 (t-2) (t 1). Calcula el tiempo que tarda el buzo en saltar al agua.
11. Para resolver la ecuación (x2-1) 2-5 (x2-1) 4 = 0, podemos considerar x2-1 como un todo, y luego dejar x2-1 = y, entonces y2 =
Cuando y = 1, x2-1 = 1, x2 = 2, ∴ x =
Cuando y = 4, x2-1 = 4, x2 = 5, ∴ x =
Las soluciones de la ecuación original son x1 =-, x2 =, x3 =-, x4 =.
El método anterior se denomina método de sustitución, que logra el propósito de reducir el orden y encarna la idea de transformación.
(1) Utilice el método anterior para resolver la ecuación: x4-3x2-4 = 0.
(2) Dado que X2-1 puede considerarse como un todo, ¿se puede resolver esta ecuación directamente factorizando?
Respuestas de referencia
Ejercicios de esquema sincronizados
1.1)B(2)C(3)D(4)D(5)B(6)A( 7)A(8)D
2.(1)t1=-7，t2=4(2)x1=-，x2=-2(3)y1=-1，y2=- ( 4)x1=-m, x2=-n(5)x1=, x2=-1
3 (1)x1=0, x2 =-12; =; (3)x1=0, x2 = 7; (4)x1=-1, x2 =; p>
(7)x1=, x2 =-; (8)x1=8, x2=-2.
4. (1)x1=1, x2 = 3; (2)x1=18, x2 =-14; -1;
(5)t1=0, T2 =-; (6)y1=0, y2 = 3; (7)x1=0, x2 = 2-3;
(8)x1=, x2 =; (9)x1≈7.24, x2 =-3.24; (10)x1=-1, x2=-7.
5.(1)x2-4ax 4a 2 = a2-2a 1,
(x-2a)2=(a-1)2,
∴x-2a= (a-1),
∴x1=3a-1, x2=a 1.
(2)x2 (5-2k)x k2- 5k-6=0，
x2 (5-2k)x (k 1)(k-6)=0，
〔x-(k 1)ऄx-(k -6)अ= 0,
∴x1=k 1, x2=(k-6).
(3)x2-2mx m2=9m2, (x-m)2= (3m)2
∴x1=4m, x2=-2m?
(4)x2 (2m 1)x m(m 1)= 0,
(x m)[x (m 1)]=0,
∴x1=-m, x2=-m-1?
6. (x 4y)(x-y)=0,
X =-4y o x = y
Cuando x =-4y, =; /p>
Cuando x = y, == 0.
7.(x2 y2)(x2 y2-1)-12 = 0,
(x2 y2)2-(x2 y2)-12=0,
(x2 y2-4)(x2 y2 3)=0,
∴ X2 Y2 = 4 o X2 Y2 =-3 (exclusivo)?
8.x1=-36, x2=24?
9.∵x2 3x 5=9, ∴x2 3x=4,
∴3x2 9x-2=3(x2 3x)-2=3×4-2=10 ?
10.10 =-5(t-2)(t 1), ∴ t = 1 (t = 0)
11.(1)x1=-2, x2=2 ?
(2)(x2-2)(x2-5)=0,
(x)(x- )(x)(x- )=0?
Este es un plan de lección que encontré en línea. Espero que te sea útil ~~~ La factorización es realmente muy simple, la clave es tener más exposición.