El primero: secuencia (secuencia aritmética y secuencia geométrica)
——Liu, profesor especial de la escuela secundaria n.º 12 de Beijing
Zhang Xiaoying, profesor especial de la escuela secundaria afiliada a la Universidad de Tsinghua.
Las secuencias son un tema importante en las matemáticas de la escuela secundaria y también son preguntas comunes en las competencias de matemáticas. Las más básicas de la secuencia son la secuencia aritmética y la secuencia geométrica.
La llamada secuencia es una serie de números dispuestos en un orden determinado. Si la relación funcional entre el enésimo término an de la serie {an} y el número de términos (subíndice) n se puede expresar mediante la fórmula an = f (n), entonces esta fórmula se denomina fórmula de término general de la serie.
Desde un punto de vista funcional, la secuencia puede considerarse como el dominio del conjunto entero positivo N* (o su conjunto finito {1, 2,...n}), y la fórmula general de la secuencia es también la expresión analítica de la función correspondiente.
Para comprender la competencia de secuencias numéricas, primero debemos comprender profundamente y dominar las definiciones y propiedades de las dos secuencias numéricas básicas, y dominar la relación (isomorfa) entre ellas.
1. Secuencia Aritmética
Si una serie parte del segundo término, y la diferencia entre cada término y su término anterior es igual a la misma constante, esta serie se llama aritmética. Secuencia, esta constante se llama tolerancia de la secuencia aritmética, generalmente representada por la letra d.
La fórmula general de la secuencia aritmética {an} es:
an = a 1 (n-1)d(1)
La suma de los primeros n términos La fórmula es:
(2)
Se puede ver en la fórmula (1) que an es una función lineal (d≠0) o una función constante (d =0) de n, (n, an) están dispuestos en línea recta. Se puede ver en la fórmula (2) que Sn es una función cuadrática (d≠0) o una función lineal (d =
En la serie aritmética {an}, la media aritmética:
,
La relación entre dos am y an es:
an=am (n-m)d
Puede considerarse como la generalización de secuencia aritmética Fórmula general.
De la definición de la secuencia aritmética, la fórmula general y las primeras n fórmulas, también podemos deducir:
a 1 an = a2 an-1. = a3 an-2 =…= AK an-k 1, k∈{1, 2,…, n}
Si m, N, p, q∈N*, m n=p q, entonces hay es <. /p>
soy an=ap aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n 1 =(2n 1)an 1
Sk， S2k-Sk , S3k-S2k,..., Snk-S(n-1)k...o secuencia aritmética, etc.
Segunda serie geométrica
Si una La secuencia comienza desde A partir de dos términos, la razón de cada término con respecto al término anterior es igual a la misma constante. Esta secuencia se llama serie geométrica. Esta constante se llama razón común de la serie geométrica, generalmente representada por la letra q.
La serie geométrica. La fórmula general del número {an} es:
an=a1 qn-1
Los primeros n términos y fórmulas son. :
En series geométricas, Términos proporcionales:
,
Y la relación entre dos elementos cualesquiera am y an es an = am qn-m.
Si la razón común q de una secuencia geométrica satisface 0 < ∣ q < ∣ 1, entonces se dice que la secuencia es una secuencia geométrica recursiva infinita, y la suma de sus diversas
elementos (también llamado es la suma de todos los elementos) es:
De la definición de serie geométrica, la fórmula general y las primeras n fórmulas, podemos deducir:
a 1 an = a2 an-1 = a3 an-2 =…= AK an-k 1, k∈{1, 2,…, n}
Si m, N, p, q∈N* , entonces hay:
ap aq=am an,
Escribe π n = a1 a2...an, entonces
π2n-1=(an )2n- 1, π2n 1 =(an 1)2n 1
Además, una serie geométrica en la que cada término es un número positivo toma la misma base para formar una secuencia aritmética, por otro lado, con cualquier número positivo c es el número base, y el exponente de una secuencia aritmética se usa para construir una energía de potencia, entonces {energía} es una secuencia aritmética. En este sentido decimos que una serie geométrica positiva y una serie aritmética son "isomorfas".
Lo importante no son solo las definiciones, propiedades y fórmulas de las dos secuencias básicas, sino también los métodos de pensamiento matemático y la sabiduría matemática contenidos en el proceso de suma, como la "suma inversa" (; secuencia aritmética), "Resta dislocada” (secuencia geométrica).
Hay dos tipos principales de problemas en series. Uno es encontrar la fórmula general de la serie y el otro es encontrar la suma de los primeros n términos de la serie.
En tercer lugar, ejemplos
Ejemplo 1. Sean ap, aq, am, an los términos P, Q, M, N de la serie geométrica {an}. Si p q=m n, demuestre: apoaq=amoan.
Demostración: Supongamos que el primer término de la serie geométrica {an} es a1 y la razón común es Q, entonces
ap=a1 qp-1, aq=a1 qq-1 , am=a1 qm-1, an=a1 qn-1
Entonces:
ap aq=a12qp q-2, am an=a12 qm n-2,
Por lo tanto: AP AQ = soy an
Nota: Este ejemplo es una propiedad importante de las series geométricas y se utiliza a menudo en la resolución de problemas. Muestra que el producto de dos términos (los dos primeros términos y los dos últimos términos) de una serie geométrica que están equidistantes de ambos extremos es igual al producto de los dos primeros términos y los dos últimos términos, es decir: p>
a1 k an-k =a1 an
Lo mismo ocurre con la secuencia aritmética: en la secuencia aritmética {an}, la suma de dos términos, como la distancia entre los dos termina, es igual a la suma de los dos primeros términos y los dos últimos términos. Es decir:
a1 k an-k=a1 an
Ejemplo 2. En la secuencia aritmética {an}, A4 A6 A8 a 10 a 12 = 120, entonces 2a9-a10=
a20 b . 2a8, a6 a10 =2a8 y se conoce u obtiene.
5a8=120, a8=24
Y 2 a9-a 10 = 2(a 1 8d)-(a 1 9d)= a 1 7d = A8 = 24.
Así que elige c.
Ejemplo 3. Se sabe que la secuencia aritmética {an} satisface a 1 A2 A3... a 101 = 0, entonces existe ().
a 1 a 101 > 0 b . a2 a 100 < 0 c . (13 )Pregunta]
Solución: Evidentemente, un 1 A2 A3... un 101.
Entonces a1 a101=0, entonces A2 a 100 = A3 A99 = a 1 a 101 = 0, elige c.
Ejemplo 4.
Sean Sn los primeros n términos de la secuencia aritmética {an}, S9=18, An-4 = 30 (n > 9), Sn=336, entonces n es ().
A.16 B.21 C.9 D8
Solución: Dado que S9=9×a5=18, a5=2, a5 an-4=a1 an=2 30= 32, por lo tanto, n=21 elija b.
Ejemplo 5. Supongamos que la secuencia aritmética {an} satisface 3a8=5a13, y a1>0>0, Sn es la suma de sus primeros N términos, entonces el mayor entre Sn(n∈N*) es (). (1995 Liga Nacional de Escuelas Secundarias No. 1)
(A)s 10(B)s 11(C)s 20(D)s 21
Solución: ∫3 A8 = 5a 13
∴3(a1 7d)=5(a1 12d)
Por lo tanto
Sea an≥0→n≤20 cuando n > 20, Un < 0.
∴S19=S20 valor máximo, elija (c)
Nota: Las funciones cuadráticas también se pueden usar para encontrar el valor máximo.
Ejemplo 6. Supongamos que la suma del primer término de una secuencia aritmética es un número entero no negativo, el número de términos no es menor que 3 y la suma de los términos es 972, entonces dicha secuencia * * * tiene ().
2 (B)3 (C)4 (D)5.
[Pregunta 3 de la Liga Nacional de Matemáticas de Secundaria de 1997]
Solución: Supongamos que el primer término de la secuencia aritmética es A y la tolerancia es D, entonces según el significado de la pregunta, hay ().
Es decir, [2a (n-1)d]on=2×972 (*)
Porque n es un número natural no menor que 3, y 97 es primo número, el valor del número n debe ser el divisor (factor) de 2×972, y solo puede ser uno de 97, 2×97, 972 y 2×972.
Si d > 0, entonces d≥1 se puede ver en la fórmula (*) como 2×972≥n(n-1)d≥n(n-1), por lo que solo puede haber n =97, la fórmula (*) se puede cambiar a: a 48d=97.
Si d=0, la fórmula (*) se convierte en: an=972, entonces (*) también tiene dos conjuntos de soluciones.
Entonces existen 4 sucesiones aritméticas * * * que establecen las condiciones para este problema, a saber:
49, 50, 51,..., 145, (***97 Artículos)
1, 3, 5,…, 193, (**97 artículos)
97, 97, 97,…, 97, (**97 artículos)
p>
1, 1, 1, ..., 1 (***972=9409 elementos)
Entonces elija (c)
Ejemplo 7. Ordena el conjunto de números impares positivos {1, 3, 5,...} en (2n-1) enésimo grupo impar de pequeño a grande:
{1}, {3, 5, 7} , {9 , 11, 13, 15, 17},...
(Grupo 1) (Grupo 2) (Grupo 3)
Entonces 1991 está en el grupo.
[Pregunta 3 de la Liga Nacional de Matemáticas de Secundaria de 1991]
Solución: Según el significado de la pregunta, hay números impares en los primeros n grupos.
1 3 5… (2n-1)=n2.
Y 1991=2×996-1, que es el 996º número impar positivo.
∵312=961; 0, a≠1) Su potencia a B es igual a N, es decir, ab=N, entonces el número B se llama logaritmo de N con A como base, registrado como: logaN =b, donde A se llama base de logaritmos y N se llama número real. Ab=N y b=logaN son un par de fórmulas equivalentes, donde A es una constante positiva dada no igual a 1. Cuando b se le da n, es una operación exponencial, y cuando n se le da b, es una operación logarítmica. Operaciones exponenciales y recíprocas de logaritmos. 2. Propiedades de las operaciones exponenciales y operaciones logarítmicas 1. Las operaciones exponenciales tienen principalmente tres propiedades: ax ay = ax y, (ax) y = axy, (ab) x = ax bx (a > 0, a≠1, b gt0, b ≠ 1) 2.
También hay tres operaciones logarítmicas (propiedades): (1) loga (Mn) = logam Logan (2) logam/n = logam-Logan (3) logam = nlogam (n ͧ.0, a≠1, M gt0, N gt0) 3. La relación entre operación exponencial y operación logarítmica: x = alogaxMlogan = nlogam4. No existe logaritmo de números negativos y cero; el logaritmo de 1 es cero, es decir, log a1 = 0 = 0; Fórmula logarítmica de intercambio de bases y su corolario: Fórmula de intercambio de bases: logaN=logbN/logba Corolario 1: logamnn = (n/m) Logan Corolario 2: 3. Funciones exponenciales y logarítmicas La función y = ax (a > 0 y a ≠ 1) se llama función exponencial. Su situación básica es: (1) El dominio de definición son todos los números reales (-∞, ∞) (2) El rango de valores son los números reales positivos (0, ∞), por lo que la función no tiene valores máximos ni mínimos, solo un El límite inferior, y > 0 (3) es una aplicación uno a uno, por lo que existe una función inversa: una función logarítmica. (4) La monotonicidad es: cuando a >; agregar función en 1; cuando 00, a ≠ 1), f (x y) = f (x) f (y), f (x-y) = f (x)/f (y). ) La función y = logax(a gt; 0, y a≠1) se llama función logarítmica. Su situación básica es: (1) El dominio son los números reales positivos (0, ∞) (2) El dominio del valor es todo. números reales (-∞, ∞) (3) La relación de correspondencia es una aplicación uno a uno, por lo que existe una función inversa: una función exponencial. (4) La monotonicidad es: cuando a >; 1 es una función creciente, cuando 00, a≠1), f (x y) = f (x) f (y), f (x/y) = f (x) - f (y), por ejemplo 1. Para encontrar f(1/1001) f(2/1001) f(3/1001) ... f(1008), necesitamos encontrar las características estructurales de f(x) y encontrar las reglas. Tenga en cuenta que 1/1001 1001 = 2/1001 999/10065438. Y f(x) f(1-x)=(ax/(ax √a)) (a 1-x/(a 1-x √a))=(ax/(ax √a)) (. Esto inspira Combinamos las fórmulas de suma y las sumamos: fórmula original = [f(1/1001) f(1000/1001)] [f(2/65438 ]1001) f(501(1) toma a=4, que es 1986 Rellenar Pregunta en blanco de la Liga de Matemáticas de Escuela Secundaria de 2018: Supongamos que f(x)=(4x/(4x 2)), entonces la fórmula F(1/101) F(2/2) (2) Si a =9 se selecciona en la pregunta anterior, entonces, f(x)=(9x/(9x 3)), la fórmula de suma se puede cambiar para encontrar F(1/n) F(2/n) F(3/n). ) … F((n-) Esta es la pregunta 12 de matemáticas del examen de ingreso a la universidad de Shanghai de primavera de 2003. Ejemplo 2.5log25 es igual a: ()(a)1/2(b)(1/5)10 log 25(c)10 log 45(d)10 log 52 Solución: 5log22. /5)×10log25 ∴Seleccione (b) descripción: Aquí se utiliza la identidad logarítmica: A Logan = n (a > 0, a ≠ 1, n > 0) Esto es Jing 190. Solución de cálculo 1: Primero, utilice el método de colocación de simplificación de raíces cuadráticas compuestas para transformar números reales. Solución 2: Utilice las propiedades básicas de las raíces aritméticas para transformar números reales, demostrando que la aplicación adecuada de fórmulas de multiplicación puede simplificar lo complejo. Números Ejemplo 4 (122002 1). /(122003 1) y (122003 1)/(122004). Solución: Para el tamaño de dos números positivos, el cociente es un método común para comparar 1, registrado como 122003 = a >. 0. Entonces es ((122002 1)/. (122003 1)); (122003 1)/(12200).
((12a 1)/(a 1))=((a 12)(12a 1))/(12(a 1)2)=((12 a2 145 a 12)/(12a)=1, es decir, logab= (1/logba), entonces lglog310 y lglg3 son un par de opuestos. Si están en partes, entonces g(x) es una función impar, g(t) g(-t)=0. El procesamiento general se utiliza de manera inteligente. La clave para resolver el problema es observar cuidadosamente las características estructurales de la función y la transformación de identidad del logaritmo.
El tercer tipo: función cuadrática La función cuadrática es una de. Las funciones no lineales más simples tienen ricas connotaciones. En los libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria, hay discusiones y ejercicios profundos y repetidos sobre funciones cuadráticas y ecuaciones cuadráticas, trinomios cuadráticos y desigualdades cuadráticas, así como sus propiedades básicas. Ha sido un contenido clave del examen de ingreso a la universidad durante muchos años, y las preguntas clave del examen como contenido básico también han cambiado año tras año. No solo eso, el contenido de las funciones cuadráticas también es muy importante. Objeto de proposición importante en las competencias de matemáticas de las escuelas secundarias nacionales y locales. Por lo tanto, debemos comprender de manera integral y hábil las propiedades básicas de las funciones cuadráticas. La clave para aprender funciones cuadráticas es comprender el vértice (-b / 2a, (4ac-b2). /4a). El origen del vértice representa el método de configuración ( y = ax2 bx c = a(x b/2a)2 (4ac-B2)/4a); y = ax2→y = a(x-h)2 k); La simetría de la función ( Eje de simetría x=-b/2a, f (-b/2a x)=f (-b/2a-x), x∈ R), intervalo monótono (-∞, -b/2a), [-b/2a , ∞], valor extremo ((44) 1. Una descripción general de las "cuatro formas cuadráticas" en el libro "Hablando de ax2 bx c " publicado por Henan Education Press (autor Zhai et al.,) tiene el siguiente "diagrama de bloques": (un yuan) Función cuadrática y=ax2 bx c (a≠0) → a=0 →(una variable) función lineal Y = bx c(b≠0) ↑ ↑(una variable) trinomio cuadrático AX2 BX ax2 bx c=0(a≠0) → a=0 →Ecuación lineal de una variable BX C = 0 (B ≠ 0) ↓↓ Desigualdad cuadrática de una variable ax2 bx C gt 0 o ax2 bx c