De acuerdo con las condiciones de la pregunta, tradúzcala literalmente a la relación geométrica sobre puntos en movimiento y luego use las fórmulas relevantes de geometría analítica (fórmula de distancia entre dos puntos, fórmula de distancia desde un señalar una línea recta, fórmula de ángulo, etc.) Organizar y simplificar. ). Es decir, convierta esta relación en una ecuación que contenga xey, y obtenga la ecuación de trayectoria de la curva.
Ejemplo: (06 País I) En el sistema de coordenadas cartesiano plano, existe una elipse con y como foco y la excentricidad como. Supongamos que la parte de la elipse en el primer cuadrante es la curva C, el punto móvil P está en C y las intersecciones de la recta tangente de C en el punto P y el eje son vectores A y B, respectivamente.
Encontrar: la ecuación de la trayectoria del punto m;
Solución: La ecuación elíptica se puede escribir como: y2a2+x2b2 =1, donde a > b & gt0, y A2-; B2 = 33a = 32 da como resultado A2 = 4, B2 = 1, entonces la ecuación de la curva C es: - 2x1-x2
Supongamos P (x0, y0), debido a que P está en c, use 0
Y =-4x0y0 (x-x0)+y0. Supongamos A(x,0) y B(0,y), x=1x0, y=4y0 por la ecuación tangente.
De OM→= OA →+ OB→M, las coordenadas son (x, y), la ecuación de C se satisface con x0 e y0, y la ecuación de trayectoria del punto M es:
1x 2+4 y2 = 1(x & gt; 1, y & gt2)
2. Método de sustitución (método de puntos relacionados)
En algunos problemas, Es inconveniente usar ecuaciones. Enumere las condiciones que satisface un punto en movimiento pero se mueve con otro punto en movimiento (llamado punto dependiente). Si las condiciones que satisfacen los puntos relevantes son obvias o analíticas, entonces podemos usar las coordenadas del punto en movimiento para representar las coordenadas de los puntos relevantes, y la ecuación de trayectoria del punto en movimiento se puede obtener en base a las ecuaciones satisfechas por el puntos relevantes. Este método de encontrar trayectorias se llama método del punto de correlación. Este método es muy común y se ha probado en el examen de ingreso a la universidad durante varios años consecutivos.
Ejemplo 2 (País 03) Como se muestra en la figura, dibuje una línea vertical desde el punto Q en la hipérbola, con el pie vertical n, y encuentre la ecuación de la trayectoria del punto P en el segmento de línea. QN.
Análisis: Desde la perspectiva de la pregunta, el punto relevante del punto en movimiento P es Q, y Q está en la hipérbola.
Preguntas de ejercicio, por lo que esta pregunta es adecuada para utilizar el método de puntos correspondiente.
Solución: Sean las coordenadas del punto fijo P (x, y) y las coordenadas del punto Q sean (x1, y1).
Entonces las coordenadas del punto n son (2x-x1, 2y-y1).
∫N x+y = 1 en la recta,
∴2x—x1+2y—y1=2 ①
PQ es perpendicular a la recta línea x+y =2.
∴ Es decir, x-y+y1-x1 = 0 ②
Al mismo tiempo ① ② resuelve ③
q está en la hipérbola, ∴ ④.
Sustituyendo ③ en ④, la ecuación de la trayectoria del punto fijo P es
Tercero, método de definición
Si la trayectoria del punto en movimiento satisface la definición de la curva conocida. Primero puede establecer la ecuación, luego determinar las cantidades básicas y encontrar la ecuación de trayectoria del punto en movimiento.
Ejemplo 3: (Modelo Guangzhou No. 2 de 2005) El círculo en movimiento M pasa por el punto fijo P (-4, 0) y es tangente al círculo C: x2+y2-8x = 0. Encuentre el centro del círculo en movimiento. La ecuación de trayectoria de M.
Análisis: Según el significado de la pregunta || MC |-| MP = 4, significa que el valor absoluto de la diferencia de distancia entre el punto M y los puntos fijos C y P es un valor constante. , entonces la trayectoria del punto M es una doble curva. Entonces el método de definición es adecuado para este problema.
Solución: Según el significado de la pregunta || MC |-| MP = 4, significa que el valor absoluto de la diferencia de distancia entre el punto M y los puntos fijos C y P es un valor constante. , entonces la trayectoria del punto M es una hipérbola.
2a=4, ∴a=2, c=4, ∴b=
Por lo tanto, la ecuación de trayectoria del centro móvil m es:
IV Método paramétrico
A veces es difícil encontrar las condiciones geométricas que debe satisfacer el punto en movimiento y no hay puntos relevantes obvios, pero es fácil encontrar (o se puede encontrar mediante análisis) que el punto en movimiento debe cumplir. El movimiento de este punto en movimiento a menudo se ve afectado por otra variable (ángulo, pendiente, relación, intersección o tiempo, etc.).
), es decir, las coordenadas del punto en movimiento (x, y) cambian a medida que cambia otra variable. Podemos llamar a esta variable como parámetro para establecer la ecuación paramétrica de la trayectoria.
Al seleccionar los parámetros, primero debemos considerar completamente los diversos factores que restringen el punto en movimiento y luego seleccionar los parámetros apropiados. Debido a que los parámetros son diferentes, la cantidad de cálculo también será diferente. Los parámetros comúnmente utilizados incluyen ángulos, pendientes de líneas rectas, coordenadas horizontales y verticales de puntos, longitudes de segmentos de línea, etc.
Ejemplo 4. Los vértices de la parábola y2 = 4px (p & gt; 0) son dos cuerdas OA y OB mutuamente perpendiculares. Encuentre la ecuación de trayectoria del punto p en AB.
Análisis: El punto móvil P es el punto medio de AB. ¿Cómo conectar P con A y B? Mientras A y B se mueven en una parábola, la condición principal es que OA y OB sean verticales. Este problema es adecuado para métodos paramétricos.
Solución: Sea k > 0 la pendiente de OA
Luego obtenga a () de la solución.
Obtén b() de la solución.
Supongamos que el punto medio de AB es P(x, y), entonces
La ecuación de trayectoria del punto medio p obtenida eliminando k es
5. Método
Al encontrar la trayectoria de un punto en movimiento, a veces habrá un problema de trayectoria que requiere la intersección de dos curvas en movimiento. Para este tipo de problema, las coordenadas del punto de intersección (incluidos los parámetros) a menudo se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones y luego los parámetros se eliminan para obtener la ecuación de la trayectoria. Este método se utiliza a menudo junto con métodos de parámetros.
Ejemplo 5 (A nivel nacional en 2003) Constantes conocidas, en el ángulo recto ABCD, AB=4, BC=4, O es el punto medio de AB y los puntos E, F y G están respectivamente en BC , CD y DA se mueven hacia arriba y P es el punto de intersección de GE y OF (como se muestra en la figura). Pregunte si hay dos puntos fijos tales que la suma de las distancias desde P a estos dos puntos sea un valor constante. Si existe, encuentre las coordenadas de estos dos puntos y el valor fijo si no existe, explique el motivo.
Análisis: el punto móvil p es el punto de intersección con la línea recta móvil de EG, y las dos líneas rectas
esta característica se puede utilizar para cruzar la trayectoria.
Solución: Como se muestra en la figura, suponga P(x, y)
Según el significado de la pregunta, existen A (-2, 0), B (2 , 0), C (2, 4a), D (-2, 4a)
Conjunto
Hay e (2, 4ak), f (2-4k, 4a) , g (-2, 4a-4ak).
La ecuación de la recta es 2ax+(2k-1) y = 0 ①.
La ecuación de la recta GE es:-a (2k-1) x+y-2a = 0 ②.
Eliminando el parámetro k de ① ②, las coordenadas del punto P(x, y) satisfacen la ecuación 2a2x2+y2-2ay = 0.
Organización disponible.