La tira de Möbius tiene un solo lado.
Si quisieras dividirla en dos mitades,
te resultaría ridículo.
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Porque todavía queda uno después de la separación.
Hay tres maravillas de la tira de Möbius:
La tira de Möbius tiene un solo lado.
2. Si cortas por la mitad de la tira de Möbius, se formará un anillo (anillo 0) que tiene el doble de tamaño que la tira de Möbius original y tiene dos lados, en lugar de formar dos tiras de Möbius. u otros dos anillos.
3. Si cortas por la mitad del anillo 0, se formarán dos anillos en el mismo espacio que el anillo 0, y estos dos anillos quedarán anidados juntos (anillo 1 y anillo 2). Luego, corta todos los anillos creados cortando a lo largo de la mitad del anillo 1 y el anillo 2 y a lo largo de la mitad de los anillos 1 y 2, creando dos anillos.
Las matemáticas pueden ayudar a diseñar formas no sólo en las escalas más grandes, como un huevo de Pascua de tres capas y media, sino también en escalas más pequeñas. ¿Este capítulo describirá a David? de la Universidad de Colorado, Boulder, Estados Unidos. 6?1La historia de cómo Wolba y sus colegas sintetizaron moléculas en extrañas tiras de Möbius.
La misteriosa tira de Möbius es la favorita de los matemáticos. Puedes hacer una tira de Möbius con una tira estrecha de papel. Por ejemplo, tome la cinta de una máquina sumadora, gírela por la mitad y luego conecte los dos extremos de la cinta para formar un bucle cerrado, que se convierte en una tira de Möbius.
La tira de Möbius tiene una sola cara, una sola cara. Si sigue la dirección de la cinta con un pincel, encontrará que cuando el pincel regresa al punto inicial, ha pintado toda la superficie de la cinta. Si haces una marca mágica a lo largo de un lado de la cinta, inmediatamente creerás que la cinta tiene un solo lado.
Si cortas la tira de Möbius por la mitad en la dirección de la tira de papel, seguirá siendo una tira, tal como dice la quintilla.
En 1858, una asociación científica de París, Francia, otorgó premios a los mejores artículos en matemáticas. Entre los trabajos presentados a este concurso, ¿August?, un matemático de Leipzig, Alemania? 6?1 Ferdinand 6?1 Möbius "descubrió" esta superficie curva, que ahora lleva su nombre. Möbius sólo discutió sus hallazgos desde una perspectiva puramente matemática; por ejemplo, no utilizó moléculas de la naturaleza para discutir las posibilidades de Möbius.
Es cierto que a Möbius no se le ocurrió la posibilidad de la existencia de moléculas como las tiras de Möbius, porque en aquella época la ciencia de la química orgánica estaba todavía en su infancia y la gente no conocía ni siquiera las moléculas más simples. formas, sin mencionar las moléculas complejas que son matemáticamente significativas. ¿Al mismo tiempo que se descubrió a Moebius, August? 6?1 Kekulé anunció su descubrimiento de que los átomos de carbono podían unirse entre sí para formar largas cadenas, que se convertirían en la base de la química orgánica.
A Kekulé se le ocurrió la idea de las cadenas de carbono hace cuatro años en una diligencia de Londres. Recordó: "Era una noche soleada de verano. Tomé el último autobús de larga distancia a casa, sentado en el asiento del 'techo' como de costumbre, caminando por las calles libres de peatones de la gran ciudad. En tiempos normales, esto es A. ciudad llena de energía Caí en la fantasía y me pareció ver muchos átomos saltando ante mis ojos... Muchas veces veía cómo dos átomos más pequeños se combinaban para formar un número par de átomos, y cómo 1 átomo más grande rodeaba a dos átomos más pequeños. átomos; y cómo los átomos más grandes se aferraban a tres o incluso cuatro átomos más pequeños mientras, al mismo tiempo, giraban rápidamente en una danza vertiginosa. También vi cómo los átomos más grandes formaban cadenas... De todos modos, me detendré. por la noche escribo los contornos de estas formas imaginarias en mi papel." Once años más tarde, en 1865, Kekulé descubrió la cadena de carbono. Se puede girar y formar anillos. El sueño lo inspiró nuevamente. "Me senté a trabajar en mi libro de texto, pero no avanzaba y mis pensamientos estaban confusos. Giré mi silla hacia la chimenea y me quedé dormido. Los átomos saltaron ante mis ojos nuevamente. Ahora los átomos más pequeños permanecieron cuidadosamente en el sustrato. Mi mente y los ojos se han vuelto más agudos a través de esta escena repetitiva, y ahora puedo distinguir varias formas de estructuras más grandes, dispuestas en largas filas y, a veces, empalmadas más estrechamente, toda la línea se retuerce y gira, moviéndose como una serpiente.
¡Mirar! ¿Qué es eso? Una serpiente que se mordía la cola, girando burlonamente ante mis ojos, como un relámpago, me despertó... Esa noche deduje una conclusión hipotética. ”
Primero, Kekulé dedujo la estructura del benceno, que consta de seis átomos de carbono y seis átomos de hidrógeno. Kekulé concluyó que los seis átomos de carbono forman un hexágono, cada uno de ellos. Dentro de 120 años desde que Kekulé determinó la forma del benceno. , los químicos orgánicos habían descubierto formas moleculares más complejas, como la doble hélice del ADN. Sólo en los últimos años los químicos han observado moléculas en forma de tira de Möbius.
Las moléculas de Möbius no se descubrieron en la naturaleza, pero sí. descubierto por David? Sintetizado en el laboratorio con sus colegas. Al principio, utilizó una molécula con forma de escalera de tres escalones. Cada escalón de la escalera es en realidad un doble enlace carbono-carbono, que puede ignorarse aquí. la escalera y conecta los dos extremos hacia arriba para que realmente forme un bucle.
Una mitad del bucle es solo una tira anular, y en la otra mitad, cuando sus dos extremos están conectados, esto. la mitad se retuerce en una tira de Möbius.
La molécula de la tira de Möbius, al igual que la tira de Möbius, tiene muchas propiedades misteriosas. Si los tres dobles enlaces de carbono se rompen, la molécula sigue siendo un doble enlace de carbono único. a dividir la tira de Möbius por la mitad a lo largo de la línea central de la tira de papel, tanto para la molécula como para la tira de papel, el resultado es una sola tira, pero su circunferencia es el doble.
Químico. Se sabe desde hace mucho tiempo que dos compuestos pueden tener la misma fórmula molecular (es decir, compuestos compuestos de los mismos componentes químicos en estrictamente las mismas proporciones), pero existen como entidades químicas con diferentes propiedades si los mismos componentes químicos existen en diferentes formas. Este fenómeno puede ocurrir si dos compuestos con la misma fórmula molecular tienen los mismos enlaces químicos.
¿Cómo es posible?
¿Cómo se puede explicar este fenómeno por la rama? de las matemáticas. Es una disciplina matemática que estudia las propiedades de un objeto que permanecen sin cambios cuando se deforma continuamente. Imagine que un objeto está hecho de caucho elástico. Un topólogo quiere saber cuándo se empuja o se tira un objeto. Las propiedades que permanecen iguales cuando no se perforan ni se rasgan se pueden ilustrar gráficamente con este ejemplo de Möbius. Supongamos que tienes una tira de goma de Möbius que puedes usar de todas las formas posibles, no puedes deformarla. y la forma final es siempre unilateral, por lo que a los topólogos sólo les importa la naturaleza unilateral. Cuando se define una forma, las dos formas se consideran equivalentes desde un punto de vista topológico, por lo que no importa qué forma tenga la banda de Möbius. estirado, también es equivalente desde una definición topológica.
Considere ahora dos tiras de Möbius, una hecha de una tira de goma torcida en una dirección y la otra hecha de una tira de goma torcida en la dirección opuesta. /p>
Topológicamente, ¿son equivalentes estas dos tiras de Möbius? No son equivalentes. Si miras una de las dos tiras en un espejo, verás que la otra banda es muy similar. imágenes especulares unos de otros.
Aquí debo detenerme y hacer una declaración desmentida para evitar ataques maliciosos por parte de los matemáticos. Los matemáticos son un grupo extraño y los topólogos no se limitan a las tres dimensiones. Sin embargo, en cuatro dimensiones pudieron demostrar que las tiras de Möbius reflejadas se pueden transformar entre sí. Sin embargo, insistiré en limitar nuestra discusión al espacio tridimensional porque las formas de los principales objetos que exploramos siempre se observan en el espacio tridimensional. Por eso quiero reiterar que en tres dimensiones, la banda de Möbius reflejada es completamente diferente desde el punto de vista topológico.
¿Por qué dos compuestos con los mismos ingredientes y los mismos enlaces químicos tienen entidades completamente diferentes? La clave es que desde un punto de vista topológico, pueden haber imágenes especulares completamente diferentes.
Debido a que la mano derecha y la mano izquierda son imágenes especulares bien conocidas, la gente está acostumbrada a referirse al objeto opuesto como zurdo o diestro. En un par de espejos, cuál se llama espejo es una pregunta habitual.
Así como no existe una posición absoluta en el lado derecho de la calle, depende de la dirección en la que camines. Las dos tiras de Möbius siempre se han llamado tiras de Möbius de la derecha y de la izquierda, pero no te preocupes por cuál es la mano derecha y cuál la izquierda. También existen moléculas en formas diestras y zurdas, que se denominan quiralidad, tomada de la palabra griega "cheir".
Las tiras de Möbius de la derecha y de la izquierda son ejemplos de imágenes especulares. Desde un punto de vista topológico, sus propiedades son completamente diferentes, pero son imágenes especulares equivalentes. Ahora tomemos un gráfico simple como ejemplo. Un círculo es una imagen especular de sí mismo. Es obvio que desde un punto de vista topológico, un círculo es equivalente a sí mismo.
Otro ejemplo es la letra R y su imagen especular. Si la forma R está hecha de caucho blando, se puede transformar en su imagen especular mediante deformación topológica.
Sin embargo, las moléculas no están hechas de caucho blando y las fuerzas físicas de unión evitan que se deformen de ninguna manera. Aún así, la molécula en forma de R puede transformarse en su imagen especular sin doblarse; de hecho, sin doblarse en absoluto. Esta vez, si la r alfanumérica de plástico duro y su imagen especular я se colocan sobre una mesa, una puede transformarse en la otra simplemente levantándola y dándole la vuelta.
Esta transformación se llama transformación rígida porque el objeto siempre mantiene su rigidez.
Muchas moléculas orgánicas son moléculas quirales rígidas: completamente diferentes en rigidez de sus imágenes especulares. Al parecer, el cuerpo humano prefiere determinadas moléculas quirales. Por ejemplo, la mayoría de las proteínas están compuestas de L-aminoácidos y D-azúcar. Cuando se sintetizan moléculas quirales en el cuerpo humano, sólo se pueden producir moléculas quirales con la quiralidad deseada.
Sin embargo, cuando las moléculas quirales, como los fármacos, se sintetizan en el laboratorio mediante métodos no biológicos, el resultado es una semimezcla de moléculas diestras y zurdas. Cuando un paciente toma el medicamento, es una mezcla porque es difícil eliminar las moléculas que no están en la forma deseada. En términos generales, las formas no deseadas de moléculas son biológicamente inertes y simplemente pasan por el cuerpo sin ningún efecto. A veces es perjudicial. A principios de la década de 1960, ocurría en mujeres embarazadas.
El incidente de tomar la medicina de Mary Domid. La molécula diestra del fármaco tiene el efecto sedante deseado, mientras que la molécula zurda puede provocar defectos de nacimiento.
Stephen, profesor de química en el Royal College de Londres, Reino Unido? 6.1 En un artículo publicado en el semanario británico New Scientist, Mason señaló que de los 486 medicamentos quirales sintéticos enumerados en el Manual de medicamentos estándar, sólo 88 estaban compuestos por las moléculas quirales requeridas. Las 398 especies restantes son especies semihíbridas. Mason concluyó: "Todos se utilizan en un entorno específico (el cuerpo humano), y un determinado signo obtendrá una preferencia especial. Pero, ¿qué efecto tendrá?"
Cuando un químico orgánico analiza ¿Cuándo? Se introduce una nueva molécula, lo primero que hay que hacer es intentar determinar si la molécula es una molécula quiral rígida, es decir, si es completamente diferente en rigidez de su imagen especular. Aquí se puede utilizar la topología. Desde un punto de vista topológico, si las moléculas son diferentes de sus imágenes especulares, entonces su rigidez también es diferente, ya que una transformación de rigidez sólo puede ser una de las muchas transformaciones logradas por la topología. Tomemos como ejemplo r y su espejo я discutido anteriormente. Al transformar de uno a otro, se obtiene una forma intermedia de я, que tiene simetría y cuya mitad izquierda es imagen especular de su mitad derecha.
Los topólogos saben que si una forma se puede transformar en una forma con simetría reflectante, entonces la forma misma se puede transformar en su imagen especular. Esto significa que si un químico puede darle a una molécula una forma con simetría de reflexión, puede eliminar la quiralidad de la molécula.
Esta perspectiva suele resultar útil. Wolba ya había sintetizado una tira de Möbius de moléculas a partir de moléculas en escalera de tercer orden, y me pidió que observara directamente un enfoque similar para la síntesis a partir de moléculas en escalera de segundo orden. ¿La forma resultante es quiral? Como se muestra a continuación, no es quiral ya que puede transformarse en una forma con simetría de reflexión.
Desafortunadamente, esta explicación parece no tener ningún efecto sobre las moléculas de Möbius de tercer orden. Wolba especuló después de muchos experimentos mentales que la deformación en formas con simetría reflectante parecía imposible. Si la deformación ya mostraba simetría de reflexión, entonces habría concluido que la forma de Möbius de tercer orden podría deformarse en su imagen especular.
¿Pero es correcta esta inversión? ¿Cualquier deformación que no exhiba simetría de reflexión significa que la molécula misma no puede deformarse en su imagen especular?
El problema es que la respuesta es demasiado simple. Wolba me pidió que considerara dos guantes de goma, uno para la mano derecha y otro para la izquierda.
Los guantes son obviamente imágenes especulares, pero desde un punto de vista topológico, ¿son equivalentes? Por supuesto, los guantes no son equivalentes en rigidez, porque si volteáramos uno de los dos guantes como la letra R para obtener una imagen especular, eso no funcionaría. Sin embargo, si le damos la vuelta a cualquiera de los guantes, podemos hacer que sean equivalentes.
(Los topólogos se encuentran así en la extraña posición de no poder pensar que el guante es ni para diestros ni para zurdos.) En cualquier paso del proceso de darle la vuelta al guante de adentro hacia afuera Ninguno de Los guantes tienen simetría reflectante.
Podríamos concluir que el guante es un contraejemplo: una forma que es topológicamente equivalente a su imagen especular, pero que no posee simetría reflectante durante su deformación. Esta conclusión puede ser errónea. Simplemente no deformamos los guantes lo suficiente. Si separamos el guante, al menos en teoría, el guante puede deformarse hasta adoptar la forma de un disco, y entonces el guante tiene simetría de reflexión (simetría de reflexión en cualquier dirección del diámetro).
El punto principal de la discusión anterior es que la investigación de Wolba en química planteó una pregunta importante para los topólogos: si una forma no puede tener simetría de reflexión durante el proceso de deformación, ¿se puede derivar de la topología un ángulo para concluir que? ¿La forma en sí no es equivalente a su imagen especular? Ésta es una pregunta fundamental, pero nadie parece haberla planteado todavía en la literatura matemática.
Toda la cuestión implica una importante cuestión filosófica: ¿Los nuevos conceptos en las ciencias físicas a menudo inspiran nuevos conceptos en matemáticas? ¿O al revés? En otras palabras, ¿qué fue primero, las ciencias físicas o las matemáticas? Muchos filósofos se han encontrado con este problema, que es el mismo que el conocido problema del huevo o la gallina. La respuesta parece insatisfactoria.
En ambos casos, las conclusiones a las que llegaron las personas no parecían ser evidencia irrefutable sino experimentos con un propósito. Algunos matemáticos dogmáticos, siguiendo a Platón, afirmaron que su disciplina estaba divorciada de la realidad de la física. Creían que los números existirían incluso si no hubiera objetos que contar. Los matemáticos menos obstinados admiten que la ciencia y las matemáticas están estrechamente relacionadas, pero insisten en que las matemáticas son lo primero. Presentaron la teoría de grupos como evidencia. La teoría de grupos es una rama de las matemáticas que nació en la década de 1930. No tiene absolutamente ningún uso físico y sólo recientemente ha sido aplicado por los físicos de partículas para estudiar el conjunto de partículas subatómicas descubiertas en los últimos 20 años.
Los físicos, sin embargo, creen que su disciplina es lo primero y que la historia está de su lado. Como Isaac. 6. Newton creó el cálculo, la famosa rama de las matemáticas, porque necesitaba una herramienta matemática para analizar pequeños intervalos de espacio y tiempo. En mi opinión, las matemáticas y las ciencias se refuerzan mutuamente, lo cual es la única conclusión justa, aunque este juicio no es ni inspirador ni informativo. La historia de la tira de Möbius es un buen ejemplo de la relación compleja y mutuamente reforzada entre las matemáticas y las ciencias físicas. La tira de Möbius propuesta en el concurso de ensayos de 1858 sólo estableció la matemática pura. Ahora ha sido desarrollada en química y es utilizada hábilmente por los químicos. Plantea muchas preguntas para los matemáticos puramente teóricos.
Puede estar tranquilo sabiendo que la tira de Möbius puede servir no sólo a los químicos sino también a los industriales. La empresa B.F. Goodrich patentó la cinta transportadora de Möbius. En una cinta transportadora normal, habrá más desgaste en un lado de la cinta. En una cinta de Möbius, la tensión se puede distribuir a "ambos lados", duplicando su vida útil.
Introducción a Mobius (1790 ~ 1868)
Matemático y astrónomo alemán. 1790 165438 nació en Schulpfta cerca de Naumburg el 17 de octubre de 1868 y falleció en Leipzig el 26 de septiembre de 1868. Del 65438 al 0809 ingresó en la Universidad de Leipzig para estudiar derecho, luego pasó a las matemáticas, la física y la astronomía.
Obtuvo un doctorado en 1814, trabajó como profesor asociado en 1816, fue elegido académico de la Academia de Ciencias de Berlín en 1829 y se convirtió en profesor de astronomía y mecánica avanzada en la Universidad de Leipzig en 1844.
Las aportaciones científicas de Moebius involucran la astronomía y las matemáticas. Dirigió la creación del Observatorio de la Universidad de Leipzig y fue su director. Fue elogiado por los astrónomos por publicar "Cálculo de obstrucción planetaria" y también escribió "Principios de astronomía", "Fundamentos de la mecánica celeste" y otros trabajos astronómicos. En matemáticas, Möbius desarrolló métodos algebraicos de geometría proyectiva. En su obra principal "Cálculo del centro de gravedad", estableció el concepto básico de la geometría proyectiva algebraica: coordenadas homogéneas, independientemente de J. Pluck y otros. En el mismo libro, también reveló la relación entre el principio de dualidad y las coordenadas polares y dio un tratamiento perfecto al concepto de relación cruzada. El descubrimiento matemático más famoso de Möbius es la superficie unilateral que lleva su nombre: la banda de Möbius. Además, Möbius hizo importantes contribuciones a otras ramas de las matemáticas en topología, como los triángulos esféricos.
Una interesante clase de actividad matemática
-Hacer una tira mágica de Möbius
Tema de la reunión de clase: El viernes pasado por la mañana, el profesor Zheng estaba sentado en el pizarrón después de clase " Tira mágica de Möbius (clase de actividad de matemáticas)" estaba escrito en él. Un día al mediodía, toda nuestra clase esperaba con curiosidad esta clase.
Grado: 3er grado
Objetivo de la actividad: "Mes de la tecnología - Manual" de la escuela primaria Nanjing Langya Road.
1. Conozcamos la tira de Möbius y aprendamos a convertir una tira de papel rectangular en una tira de Möbius.
2. Guíanos a descubrir y verificar las características de la cinta de Möbius a través del pensamiento y el cálculo, y cultivar nuestro espíritu de adivinación y exploración audaces.
3. Siente el encanto infinito de las matemáticas en los cambios mágicos de Mobius, amplía los horizontes de las matemáticas y estimula aún más nuestro interés por aprender matemáticas.
Preparación de la actividad: Prepare tijeras, cinta adhesiva, bolígrafos de colores y tres papeles rectangulares de colores.
Proceso de actividad:
Primero, haz una tira de Mobius
Operación manual: puedes conectar un extremo con otro para formar un círculo.
(Esta imagen proviene de Internet)
Sacamos el papel número 2, primero lo convertimos en un círculo de papel normal, luego giramos un extremo 180 grados y luego pégalo con cinta adhesiva. Esto completa el círculo de papel con un solo lado y un lado.
¿Sabes el nombre de ese círculo de papel? Esta es la mágica cinta de Möbius. Fue descubierta accidentalmente por el matemático alemán Möbius en 1858, por lo que recibió su nombre "Franja de Möbius". Algunas personas lo llaman el "círculo de Moebius", mientras que otros lo llaman el "círculo extraño".
En segundo lugar, estudia la tira de Möbius
¿Qué tan mágica es la tira de Möbius? A continuación utilizaremos el método de "corte" para estudiar.
El maestro primero sacó el círculo de papel que usa habitualmente y preguntó, ¿qué pasaría si lo cortara por la mitad de la cinta de papel? (El maestro comienza a cortar y los estudiantes observan y verifican.) ¿Por favor observen atentamente cómo corta el maestro? (dividido en dos anillos de papel independientes)
(1) 1/2 tira de Möbius cortada
1 Ahora, la profesora saca la tira de Möbius y también usamos unas tijeras para cortarla. Círculo de papel de Möbius a lo largo de la línea central. La maestra nos pidió que adivináramos cómo sería.
2. Verifíquelo usted mismo.
3. Seguimos las instrucciones del profesor y comprobamos el resultado: se convirtió en un círculo más grande.
¿Dijiste magia?
(2) Cortamos 1/3 de la tira de Möbius
1. Tomamos la nota nº 3 y hacemos una tira de Möbius.
2. Si queremos cortar por la bisectriz, adivina: ¿cuántas veces? ¿Cuál será el resultado del corte?
3. Iniciamos la operación y mi compañero de escritorio y yo cooperamos para ayudar.
4. Resultado de la verificación: un círculo grande está cubierto por un círculo pequeño.
3. Aplicación en la vida
La tira de Möbius no sólo es divertida, sino que también se aplica a todos los aspectos de la vida.
1. Montaña rusa: Algunas montañas rusas utilizan el principio de Möbius en la pista.
(Esta imagen proviene de Internet)
2. Escalera de Möbius
El objeto icónico del Museo de Ciencia y Tecnología de China evolucionó a partir de la tira de Möbius. .
(Esta imagen proviene de Internet)
A través de la lección de hoy, sentimos que la tira de Möbius está llena de misterio. Hay algunas preguntas que el profesor no tiene claras. Mi padre me dijo que hay un libro de matemáticas llamado Topología que estudia la cinta de Möbius. Este fenómeno también se puede aplicar a muchos aspectos de la vida.
Utilizamos la analogía de un nudo. Mire la imagen a continuación, si pensamos en ella como un avión.
En la curva, luego parece cruzarse consigo mismo, y luego parece romperse en tres pedazos. Pero
En realidad, es fácil entender que esta figura es en realidad una curva en el espacio tridimensional, y no lo es consigo misma.
Curvas cruzadas y continuas. Naturalmente, las curvas sobre una superficie plana no pueden hacer esto.
Muestra, pero si hay una tercera dimensión, puede pasar a través de la tercera dimensión para evitar cruzarse consigo mismo.
Sólo porque tenemos que dibujar en un plano bidimensional, tenemos que conformarnos con él y dibujarlo en una fase.
Cruzar o romper. Lo mismo ocurre con las botellas de Klein, que en realidad tienen cuatro dimensiones.
La superficie media. En nuestro espacio tridimensional, hasta el mejor artesano debe hacer que se cruce consigo mismo; como el mejor pintor, dibuja las vueltas y vueltas del papel.
Cuando haces nudos, tienes que tirar de ellos hasta sus respectivas intersecciones. La imagen del título es una imagen hecha de vidrio
Una botella de Klein soplada.
Este reloj creativo parece un círculo mágico de Möbius. Consta de tres anillos exteriores, cada lado utilizado para mostrar los números de tiempo. Además del toque creativo único, los diseñadores también prepararon especialmente un cómodo modo siesta. Cuando suene la alarma, simplemente déle la vuelta y apagará la alarma y entrará en modo siesta, lo cual es muy conveniente. El método de operación para configurar la hora del reloj es similar.