Fundamentos de la teoría algebraica moderna 27: campos primos

Definición: si el dominio F es un subdominio del dominio E, entonces E se llama dominio extendido (expansión) de F, y este par de dominios se denota como

Nota: Cualquiera Un dominio es una expansión de su subdominio, y cualquier dominio se puede obtener mediante la expansión de su subdominio

Definición: si un dominio no contiene un subdominio verdadero, se llama dominio principal

Ejemplo:

1. Si F es un subcampo de , , está incluido en F y también está incluido en F, por lo que es un campo primo

2 . Supongamos que p es un número primo, entonces es un campo primo. Si F es un subcampo de , , entonces, entonces

Teorema: Sea E un campo, si, entonces E contiene un subcampo isomorfo a Field. , si , entonces E contiene un subcampo isomorfo a

Prueba:

Nota: Un campo es un campo primo, ya sea isomorfo al campo de números racionales o isomorfo a

Si E es un dominio extendido del dominio F, y S es un subconjunto de E, denotemos el subdominio más pequeño de E que contiene F y S, que se llama dominio extendido obtenido sumando el conjunto S a F

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Obviamente existe, es igual a la intersección de todos los subdominios de E que contienen F y S

Está compuesto por todos los elementos de la forma, donde es cualquier número finito de elementos en S , y la suma es F El polinomio anterior, y

Si es un conjunto finito, se escribirá como

Teorema: Supongamos que E es una extensión del campo F, y y son dos subconjuntos de E, entonces

Prueba:

Nota: , es decir, la expansión obtenida sumando un conjunto finito es igual a la expansión obtenida sumando elementos individuales uno después another

Definición: Agregar un elemento al dominio F da como resultado La expansión de se llama expansión única del dominio F

Nota: La expansión simple es la expansión más simple

> Ejemplo: Sea, donde , es un dominio y es una expansión única de