Matemáticas III
Temas de prueba
Cálculo, álgebra lineal, teoría de la probabilidad y estadística matemática
Estructura del examen
1. Puntuación total
La puntuación total del examen es 150 y el tiempo del examen es 180 minutos.
En segundo lugar, la proporción de contenido
El cálculo representa aproximadamente el 56 %
El álgebra lineal representa aproximadamente el 22 %
Teoría de la probabilidad y estadística matemática Contabilidad para alrededor del 22%
En tercer lugar, estructura de preguntas
8 preguntas de opción múltiple, cada pregunta vale 4 puntos, con una puntuación máxima de 32 puntos.
Rellena los espacios en blanco de 6 preguntas, cada pregunta vale 4 puntos, * *24 puntos.
Responde 9 preguntas (incluidas preguntas de prueba), con una puntuación máxima de 94 puntos.
Piedras
1. Funciones, límites y continuidad
Contenido del examen
Concepto y representación de funciones, acotación de funciones, Monotonicidad, periodicidad e impar-par, funciones compuestas, funciones inversas, funciones por partes y funciones implícitas, las propiedades y gráficos de funciones elementales básicas, el establecimiento de la relación entre funciones elementales y funciones.
La definición y propiedades de límites de secuencia y límites de funciones, límites izquierdo y derecho de funciones, conceptos y relaciones de infinitesimales e infinitesimales, propiedades y comparaciones de infinitesimales, cuatro operaciones aritméticas de límites, dos criterios para la existencia de límites Según: criterio acotado monótono y criterio de pellizco, dos límites importantes:
,
El concepto de continuidad de función, el tipo de punto de discontinuidad de función, la continuidad de funciones elementales, Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de función, dominar la representación de la función y establecer la relación funcional de las preguntas de aplicación.
2.Comprender la acotación, la monotonía, la periodicidad y la impar-paridad de funciones.
3.Comprender los conceptos de funciones compuestas y funciones por trozos, así como los conceptos de funciones inversas y funciones implícitas.
4. Dominar las propiedades y gráficas de funciones elementales básicas, y comprender los conceptos de funciones elementales.
5. Comprender los conceptos de límites de secuencia y límites de función (incluidos límites izquierdos y límites derechos).
6. Comprender la naturaleza de los límites y los dos criterios para la existencia de límites, dominar los cuatro algoritmos de límites y dominar el método de encontrar límites utilizando dos límites importantes.
7. Comprender el concepto y las propiedades básicas de los infinitesimales, dominar los métodos de comparación de los infinitesimales y comprender los conceptos y relaciones de los infinitesimales.
8. Comprenda el concepto de continuidad de función (incluida la continuidad izquierda y la continuidad derecha) y podrá determinar el tipo de discontinuidad de función.
9.Comprender las propiedades de funciones continuas y la continuidad de funciones elementales, comprender las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados (acotación, teorema del valor máximo, teorema del valor medio) y aplicar dichas propiedades.
2. Diferenciación de funciones de una variable
Contenidos de la prueba
Los conceptos de derivadas y diferenciales, el significado geométrico y económico de las derivadas, diferenciabilidad de funciones y continuidad. relación, tangentes y normales a curvas planas, las cuatro operaciones aritméticas de derivadas y diferenciales, derivadas de funciones elementales básicas, métodos diferenciales de funciones compuestas, funciones inversas y funciones implícitas, derivadas de orden superior, invariancia de formas diferenciales de primer orden, en cálculo diferencial Teorema del valor, regla de Lópida, juicio de monotonicidad de función, valor extremo de función.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de derivados y la relación entre diferenciabilidad y continuidad, y comprender el significado geométrico y económico de los derivados (incluidos los conceptos de margen y elasticidad). Encuentra la ecuación tangente y la ecuación normal de la curva plana.
2. Domina las fórmulas de derivación de funciones elementales básicas, las cuatro reglas aritméticas de derivadas y las reglas de derivación de funciones compuestas. Puedes encontrar la derivación de funciones por partes, la derivación de funciones inversas y funciones implícitas. .
3. Si comprendes el concepto de derivadas de orden superior, encontrarás las derivadas de orden superior de una función simple.
4. Comprenda el concepto de diferencial, la relación entre derivadas y diferenciales y la invariancia de la forma diferencial de primer orden, y encontrará el diferencial de la función.
5. Comprender el teorema de Rolle, el teorema de la media de Lagrange, el teorema de Taylor y el teorema de la media de Cauchy, y dominar las aplicaciones simples de estos cuatro teoremas.
6. Ser capaz de utilizar la ley de Lópida para encontrar límites.
7. Dominar el método para juzgar la monotonicidad de una función, comprender el concepto de valor extremo de función y dominar la solución y aplicación de valor extremo, valor máximo y valor mínimo de función.
8. La concavidad de la gráfica de la función se puede juzgar por la derivada (Nota: en el intervalo (a, b), suponiendo que la función f (x) tiene una derivada de segundo orden, cuando, la gráfica de f(x) es cóncava; cuando la gráfica de f(x) es convexa), se encontrará el punto de inflexión y la asíntota de la gráfica de la función.
3. Cálculo integral de funciones de una variable
Contenido del examen
Los conceptos de funciones originales e integrales indefinidas, las propiedades básicas de las integrales indefinidas, integral básica fórmulas e integrales definidas Conceptos y propiedades básicas, teorema del valor medio de integrales definidas, funciones de límite superior de integrales y sus derivadas, fórmula de Newton-Leibniz, método de integral de sustitución e integral de partes de integrales definidas e indefinidas, integrales anómalas (generalizadas) y Aplicación definitiva de puntos.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de funciones primitivas e integrales indefinidas, dominar las propiedades básicas y las fórmulas integrales básicas de integrales indefinidas y dominar el método integral de sustitución e integración por partes de integrales indefinidas.
2. Comprender el concepto y las propiedades básicas de las integrales definidas, comprender el teorema del valor medio de las integrales definidas, comprender el papel del límite superior de las integrales y encontrar sus derivadas, dominar la fórmula de Newton-Leibniz y la método de sustitución de integrales definidas y método de integración por partes.
3. Puedo utilizar integrales definidas para calcular el área de figuras planas, el volumen de cuerpos giratorios y el valor medio de funciones. Puedo utilizar integrales definidas para resolver problemas sencillos de aplicación económica.
4. Comprender el concepto de integrales generalizadas y calcular integrales generalizadas.
IV.Cálculo de funciones multivariadas
Contenido del examen
El concepto de funciones multivariadas, el significado geométrico de las funciones binarias, los límites y la continuidad de las funciones binarias Conceptos , propiedades de funciones binarias continuas en regiones cerradas acotadas, conceptos y cálculos de derivadas parciales de funciones multivariadas, métodos de derivación de funciones compuestas multivariadas y funciones implícitas, derivadas parciales de segundo orden, diferenciales totales, valores extremos y condiciones Valores extremos, máximo y valores mínimos de funciones multivariadas, el concepto, propiedades básicas y cálculo de integrales dobles, integrales dobles anormales simples en regiones ilimitadas.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de funciones multivariadas y el significado geométrico de las funciones binarias.
2.Comprender los conceptos de límite y continuidad de funciones binarias, así como las propiedades de funciones binarias continuas en regiones cerradas acotadas.
3. Conociendo los conceptos de derivadas parciales y diferenciales totales de funciones multivariadas, podrás calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de funciones compuestas multivariadas, y las diferenciales totales y derivadas parciales de funciones multivariadas implícitas. funciones.
4. Comprender los conceptos de valores extremos y valores extremos condicionales de funciones multivariadas, dominar las condiciones necesarias para los valores extremos de funciones multivariadas, comprender las condiciones suficientes para los valores extremos. de funciones binarias y encuentre los valores extremos de funciones binarias usando lager. El método multiplicador de Lange encuentra valores extremos condicionales, encuentra los valores máximos y mínimos de funciones multivariadas simples y resuelve problemas de aplicación simples.
5. Comprender el concepto y las propiedades básicas de las integrales dobles, dominar el método de cálculo de integrales dobles (coordenadas rectangulares, coordenadas polares), comprender y calcular integrales dobles anormales simples en áreas ilimitadas.
5. Series infinitas
Contenido del examen
El concepto de convergencia y divergencia de series constantes, el concepto de suma de series convergentes, las propiedades básicas y la necesidad. de condiciones de convergencia, series geométricas y series P y su convergencia, determinación de convergencia de series positivas, convergencia absoluta y convergencia condicional de cualquier serie, series escalonadas y teorema de Leibniz, series de potencias y su radio de convergencia, Intervalos de convergencia (refiriéndose a intervalos abiertos ) y regiones de convergencia, funciones de suma de series de potencias, propiedades básicas de las series de potencias en sus intervalos de convergencia, sumas simples de series de potencias.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de convergencia y divergencia de series y suma de series convergentes.
2. Comprender las propiedades básicas de las series y las condiciones necesarias para la convergencia de las series, dominar las condiciones de convergencia y divergencia de las series geométricas y las series P, y dominar los métodos de comparación y discriminación de razones de la convergencia de series positivas.
3.Comprender los conceptos de convergencia absoluta y convergencia condicional de cualquier serie, así como la relación entre convergencia absoluta y convergencia, y comprender el criterio de Leibniz de series escalonadas.
4. Ser capaz de encontrar el radio de convergencia, el intervalo de convergencia y el dominio de convergencia de series de potencias.
5. Conociendo las propiedades básicas de la serie de potencias en su intervalo de convergencia (continuidad de la función suma, derivación término por término, integración término por término), podemos encontrar la potencia simple. serie en su intervalo de convergencia La función suma dentro del intervalo de convergencia, y luego se encuentra la suma de varios términos de alguna serie.
6. Comprender las expansiones de Maclaurin de , , y .
6. Ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en diferencias
Contenido del examen
Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales de variables separables, ecuaciones diferenciales homogéneas, Primera- ordenar ecuaciones diferenciales lineales, propiedades y teoremas estructurales de soluciones a ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes y ecuaciones diferenciales lineales simples no homogéneas, conceptos de diferencias y ecuaciones en diferencias, soluciones generales y soluciones especiales de ecuaciones en diferencias , Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes, aplicaciones simples de ecuaciones diferenciales.
Requisitos del examen
1. Comprender ecuaciones diferenciales y conceptos como orden, solución, solución general, condiciones iniciales y solución especial.
2.Dominar los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales homogéneas y ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con variables separables.
3. Saber resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.
4. Comprender las propiedades de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales y los teoremas estructurales de las soluciones, y podrá utilizar polinomios, funciones exponenciales, funciones seno y funciones coseno para resolver diferenciales lineales no homogéneos de segundo orden. ecuaciones con coeficientes constantes.
5.Comprender los conceptos de diferencias y ecuaciones en diferencias y sus soluciones generales y específicas.
6.Entender el método de solución de la ecuación en diferencias lineales de coeficientes constantes de primer orden.
7. Ser capaz de utilizar ecuaciones diferenciales para resolver problemas sencillos de aplicación económica.
Álgebra lineal
1. Factores determinantes
Contenido de la prueba
El concepto y las propiedades básicas de los determinantes, los determinantes se dividen en filas ( columnas) ) teorema de expansión
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de determinante y dominar sus propiedades.
2. Para calcular el determinante se aplicarán las propiedades de los determinantes y el teorema de expansión de determinantes.
Segundo, matriz
Contenido de la prueba
El concepto de matriz, operaciones lineales de matriz, multiplicación de matriz, potencia de matriz, determinante del producto matricial, transposición de matriz, concepto y propiedades de matriz inversa, condiciones necesarias y suficientes para la invertibilidad de la matriz, matriz adjunta, transformación elemental de matriz, matriz elemental, rango de matriz, equivalencia de matriz, matriz de bloques y sus operaciones.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de matrices, comprender las definiciones y propiedades de las matrices unitarias, cuantitativas, diagonales y triangulares, y comprender las matrices simétricas y antisimétricas. y matrices positivas. Definición y propiedades de las matrices de intersección.
2.Dominar las operaciones lineales, multiplicación, transposición y reglas de operación de matrices, y comprender las propiedades determinantes de las potencias de matrices cuadradas y de los productos de matrices cuadradas.
3. Comprender el concepto de matriz inversa, dominar las propiedades de la matriz inversa y las condiciones necesarias y suficientes para la reversibilidad de la matriz, comprender el concepto de matriz adjunta y utilizar la matriz adjunta para encontrar la matriz inversa.
4. Comprender los conceptos de transformaciones elementales de matrices y matrices elementales y equivalencia de matrices, comprender el concepto de rango de matriz y dominar el método de uso de transformaciones elementales para encontrar la matriz inversa y el rango de una matriz.
5. Comprender el concepto de matriz de bloques y dominar el algoritmo de matriz de bloques.
Tercero, vectores
Contenido de prueba
El concepto de vectores, combinaciones lineales y representaciones lineales de vectores, correlación lineal e independencia lineal de grupos de vectores, grupos de vectores El grupo linealmente independiente máximo, el grupo de vectores equivalente, el rango del grupo de vectores, la relación entre el rango del grupo de vectores y el rango de la matriz, el producto interno del vector, el método de normalización ortogonal del vector linealmente independiente grupo.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de vectores y dominar las operaciones de suma y multiplicación de vectores.
2. Comprender los conceptos de combinación lineal y representación lineal de vectores, dependencia lineal e independencia lineal de grupos de vectores, y dominar las propiedades de correlación y los métodos de discriminación de la dependencia lineal y la independencia lineal de grupos de vectores.
3. Comprender el concepto de grupo linealmente independiente máximo del grupo de vectores y encontrar el grupo linealmente independiente máximo y el rango del grupo de vectores.
4. Comprender el concepto de equivalencia de grupos de vectores y la relación entre el rango de una matriz y el rango de su grupo de vectores de fila (columna).
5.Comprender el concepto de producto interno y dominar el método de Schmidt de normalización ortogonal de grupos de vectores linealmente independientes.
Cuarto, Sistema de Ecuaciones Lineales
Contenidos del Examen
Regla de Clem del Sistema de Ecuaciones Lineales, Determinando la Existencia o Inexistencia de un Sistema de Ecuaciones Lineales , Homogeneidad El sistema de solución básica y la solución general del sistema de ecuaciones lineales, la relación entre la solución del sistema de ecuaciones lineales no homogéneas y la solución correspondiente del sistema de ecuaciones lineales homogéneas (grupo derivado) y la solución general del sistema de ecuaciones lineales no homogéneas.
Requisitos del examen
1. Ser capaz de utilizar la regla de Clem para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
2. Dominar el método para juzgar si un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas tiene solución o no.
3.Comprender el concepto de sistema de solución básico de ecuaciones lineales homogéneas, y dominar las soluciones y métodos generales de solución del sistema de solución básico de ecuaciones lineales homogéneas.
4. Comprender la estructura de las soluciones de ecuaciones lineales no homogéneas y el concepto de soluciones generales.
5. Dominar el método de resolución de ecuaciones lineales mediante transformaciones de filas elementales.
Verbo (abreviatura de verbo) Valores propios y vectores propios de matrices
Contenido del examen
Conceptos y propiedades de valores propios y vectores propios de matrices, matrices similares Los conceptos y propiedades de , condiciones necesarias y suficientes para diagonalización similar de matrices y matrices diagonales similares, valores propios y vectores propios de matrices simétricas reales y matrices diagonales similares.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de valores propios y vectores propios de matrices, dominar las propiedades de los valores propios de matrices y dominar los métodos para encontrar valores propios y vectores propios de matrices.
2. Comprender el concepto de similitud matricial, dominar las propiedades de matrices similares, comprender las condiciones necesarias y suficientes para que las matrices sean similares a diagonales y dominar el método de conversión de matrices en matrices diagonales similares.
3. Dominar las propiedades de los valores propios y vectores propios de matrices simétricas reales.
Sexto, forma cuadrática
Contenido del examen
Forma cuadrática y su representación matricial, transformación de contrato y matriz de contrato, rango de forma cuadrática, teorema de inercia, forma estándar y forma estándar de formas cuadráticas, definición positiva de formas cuadráticas y sus matrices mediante transformación ortogonal y método de colocación.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de forma cuadrática, expresar la forma cuadrática en forma matricial y comprender los conceptos de transformación de contrato y matriz de contrato.
2. Comprender el concepto de rango de forma cuadrática, forma estándar y forma estándar de forma cuadrática, así como el teorema de inercia, y utilizar el método de transformación y colocación ortogonal para transformar la forma cuadrática en forma estándar.
3.Comprender los conceptos de formas cuadráticas definidas positivas y matrices definidas positivas, y dominar sus métodos de discriminación.
Probabilidad y estadística matemática
1. Eventos aleatorios y probabilidad
Contenido del examen
Eventos aleatorios y espacio muestral, la relación entre eventos y Operaciones, grupos completos de eventos, concepto de probabilidad, propiedades básicas de la probabilidad, probabilidad clásica, probabilidad geométrica, probabilidad condicional, fórmulas básicas de probabilidad, independencia de eventos, pruebas repetidas independientes.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de espacio muestral (espacio de eventos básico), comprender el concepto de eventos aleatorios y dominar la relación y operación de los eventos.
2. Comprender los conceptos de probabilidad y probabilidad condicional, dominar las propiedades básicas de la probabilidad, calcular la probabilidad clásica y la probabilidad geométrica, y dominar la fórmula de suma, resta, multiplicación, probabilidad total y bayesiana. de probabilidad.
3. Comprender el concepto de independencia de eventos y dominar el cálculo de probabilidad con independencia de eventos; comprender el concepto de experimentos repetidos independientes y dominar el método de cálculo de la probabilidad de eventos relacionados.
2. Variables aleatorias y su distribución
Contenido del examen
Variables aleatorias, concepto y propiedades de funciones de distribución de variables aleatorias, distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas. , La densidad de probabilidad de variables aleatorias continuas, la distribución de variables aleatorias comunes y la distribución de funciones de variables aleatorias.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de variables aleatorias y funciones de distribución.
Los conceptos y propiedades de calcularán la probabilidad de un evento asociado a una variable aleatoria.
2.Comprender los conceptos de variables aleatorias discretas y sus distribuciones de probabilidad, y dominar la distribución 0-1, distribución binomial B(n, p), distribución geométrica, distribución hipergeométrica, distribución de Poisson y sus aplicaciones.
3. Dominar la conclusión y las condiciones de aplicación del teorema de Poisson y utilizar la distribución de Poisson para aproximar la distribución binomial.
4. Comprender los conceptos de variables aleatorias continuas y su densidad de probabilidad, y dominar la distribución uniforme U(a, b), la distribución normal, la distribución exponencial y sus aplicaciones, entre ellas, la distribución exponencial con parámetro. () La densidad de probabilidad es
5. Encuentra la distribución de la función de variable aleatoria.
En tercer lugar, la distribución de variables aleatorias multidimensionales
Contenido del examen
Variables aleatorias multidimensionales y sus funciones de distribución, distribución de probabilidad y distribución marginal de dos variables aleatorias discretas dimensionales y distribución condicional, la densidad de probabilidad, la densidad de probabilidad marginal y la densidad condicional de variables aleatorias continuas bidimensionales, la independencia e irrelevancia de variables aleatorias, la distribución de variables aleatorias bidimensionales comunes y la distribución de funciones de dos o más variables aleatorias.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto y las propiedades básicas de la función de distribución de variables aleatorias multidimensionales.
2. Comprender la distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas bidimensionales y la densidad de probabilidad de variables aleatorias continuas bidimensionales, y dominar la distribución marginal y la distribución condicional de variables aleatorias bidimensionales.
3. Comprender los conceptos de independencia e irrelevancia de variables aleatorias, dominar las condiciones de independencia mutua de variables aleatorias y comprender la relación entre irrelevancia e independencia de variables aleatorias.
4. Dominar la distribución uniforme bidimensional y la distribución normal bidimensional, y comprender el significado de los parámetros.
5. La distribución de la función se encontrará en función de la distribución conjunta de dos variables aleatorias, y la distribución de la función se encontrará en función de la distribución conjunta de múltiples variables aleatorias independientes.
4. Características numéricas de variables aleatorias
Contenido del examen
La expectativa matemática (media), varianza, desviación estándar y propiedades de variables aleatorias, funciones de variables aleatorias. Expectativas matemáticas, desigualdades de Chebyshev, momentos, covarianzas, coeficientes de correlación y sus propiedades.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de características numéricas de variables aleatorias (expectativa matemática, varianza, desviación estándar, momento, covarianza, coeficiente de correlación) y utilizar las propiedades básicas de Características numéricas, domina las características numéricas de distribuciones comunes.
2. Conocer la expectativa matemática de la función de variable aleatoria.
3. Entender la desigualdad de Chebyshev.
Ley de los grandes números y teorema del límite central
Contenido del examen
Ley de los grandes números de Chebyshev, Ley de los grandes números de Bernoulli, Ley de los grandes números de Chinchin, Demerville -Teorema de Laplace, teorema de Levy-Lindberg.
Requisitos del examen
1. Comprender la ley de grandes números de Chebyshev, la ley de grandes números de Bernoulli y la ley de grandes números de Hinchin (la ley de grandes números para secuencias aleatorias independientes e idénticamente distribuidas). variables).
2. Comprender el teorema del límite central de Moivre-Laplaciano (la distribución binomial toma la distribución normal como distribución límite) y el teorema del límite central de Levi-Lindbergh (el teorema del límite central de distribución aleatoria independiente e idéntica). secuencias variables) y utilizan teoremas relacionados para aproximar la probabilidad de eventos aleatorios.
Conceptos básicos de verbos intransitivos y estadística matemática
Contenido del test
Población, individuo, muestra aleatoria simple, estadística, función de distribución empírica, media muestral, varianza muestral y momento muestral, distribución, distribución t, distribución f, cuantil, distribución muestral común de la población normal.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de población, muestra aleatoria simple, estadística, media muestral, varianza muestral y momento muestral, donde se define la varianza muestral.
2. Comprender los patrones típicos de las variables generadas, variables T y variables F; comprender los cuantiles superiores de la distribución normal estándar, la distribución t y la distribución f, y consultar las tablas numéricas correspondientes.
3. Dominar la distribución muestral de la media muestral de la población normal, la varianza muestral y el momento muestral.
4. Comprender el concepto y las propiedades de la función de distribución empírica.
Siete. Estimación de parámetros
Contenido del examen
El concepto de estimación puntual, estimadores y valores estimados, método de estimación de momento, método de estimación de máxima verosimilitud.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de estimaciones puntuales, estimadores y estimaciones de parámetros.
2. Dominar el método de estimación de momentos (momento de primer orden, momento de segundo orden) y el método de estimación de máxima verosimilitud.