5.1.1 Iteración de Newton y fractal
El método más básico de iteración no lineal es el método de iteración de Newton. Es decir, expandir la función a una serie de Taylor, omitir términos de orden superior y proponer incrementos modificados y matrices jacobianas a partir del primer término para formar un sistema de ecuaciones lineales. El método de iteración de Newton converge rápidamente, pero la convergencia depende de la suposición inicial.
En 1988, Petigen y Saupe publicaron un interesante resultado experimental. Consideró la siguiente ecuación no lineal simple.
z3-1=0 (5.1.1)
Una raíz real de esta ecuación es z=1, y las dos raíces complejas son
z= exp (2πi/3) (5.1.2)
Formato de iteración de Newton
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Para aproximar si son raíces reales o raíces complejas ?
Por supuesto, el valor inicial z0 puede ser cualquier punto del plano complejo z=x iy. Se puede suponer que z0 se puede dividir en varias regiones en el plano complejo. Después de la iteración usando la fórmula (5.1.3), z0 converge a una región y converge a la raíz compleja de otra región. Las personas acostumbradas al pensamiento lineal pensarán que existen límites claros entre estas áreas. Por ejemplo, en la vecindad donde z0 es igual a 1, la iteración de Newton convergerá a la raíz real z=1, cuya área ocupa aproximadamente 1/3 del plano Z, y otras áreas convergerán a la raíz compleja. Este no es el caso. El dominio de convergencia del valor inicial z0 es fractal, como se muestra en la Figura 5.1. Como se puede ver en la Figura 5.1, el área del área negra es de hecho 1/3 del área del valor inicial (-2≤x≤2, -2≤y≤2), pero su límite es fractal, es decir , incluye todas las escalas y es autosimilar. ¿Por qué un formato iterativo simple como la fórmula (5.1.1) produce imágenes fractales tan complejas? ¿Por qué un pequeño cambio en el valor inicial en este límite haría que la iteración converja a una raíz completamente diferente?
Figura 5.1 El área negra del plano complejo Z con los ejes real e imaginario en el rango de (-2, 2) converge al área del valor inicial de la raíz real z=1 Después de la iteración de Newton, el área blanca converge a la raíz compleja.
El problema se reduce a la no linealidad de la ecuación (5.1.1), que es una condición necesaria para que el sistema avance hacia el caos. Para los sistemas no lineales, pequeños cambios en el valor inicial harán que el estado del sistema rebote entre varios "atractores" y su geometría se manifieste como un fractal.
5.1.2 Modelo Terrestre Fractal
Este libro trata los parámetros terrestres como un conjunto de funciones reales, que son elementos del espacio de Hilbert. Este es un modelo determinista. El modelo determinista implica el supuesto de que los materiales de la Tierra se distribuyen de manera ordenada, mientras que el modelo estocástico implica el supuesto de que los materiales de la Tierra se distribuyen aleatoriamente. Suponemos además que la distribución material de la Tierra es autosemejante o autoafín, con una estructura jerárquica de múltiples escalas, lo que conduce al modelo fractal de la Tierra.
La base para describir la Tierra desde una perspectiva fractal es: la Tierra es un objeto complejo sin escala, y su escala puede variar desde microfisuras de unos pocos milímetros hasta el diámetro de la Tierra de decenas de miles. de kilómetros Los fenómenos son similares.
Las personas tienen una medida característica que es la altura, que ronda los 1,6 metros o 5 pies. Por lo tanto, los objetos hechos por el hombre también tienen escalas características. Por ejemplo, la altura de un tren es de unos 2 metros, y la altura media de los barcos y los edificios de gran altura es de decenas de metros. Esta escala característica se llama escala.
Los fenómenos naturales generalmente tienen características multiescala y no tienen escalas características. La geometría fractal relaciona fenómenos a diferentes escalas con leyes de escala.
p(λt)=λαp(t), 0 < α < 1 (5.1.4)
Donde p(t) es la escala de un determinado nivel, p(λt ) es su escala después de ampliar λ veces, y α es el índice de escala. Pero
D0=2-α (5.1.5)
es igual a la dimensión fractal de Mandelbrot.
La dimensión se refiere al número de coordenadas independientes sobre las que se coloca un punto en un objeto geométrico. Por ejemplo, un punto de la superficie terrestre está representado por la latitud y la longitud, y su dimensión es 2.
En geometría fractal, las dimensiones pueden ser fracciones y las dimensiones de las fracciones se denominan dimensiones fractales.
Para el caso bidimensional, si cada lado de un cuadrado se amplía 3 veces (ampliado), se convertirá en 9 cuadrados originales, con
2=l n9/ l n3
Para un objeto geométrico con dimensión entera d, amplíe L veces en cada dirección, lo que da como resultado N objetos originales, incluidos
d=lnN/lnL
Ampliar L veces en cada dirección equivale a reducir la escala de medición (o unidad de medida) en esta dirección a los tiempos originales ε=1/L. Por lo tanto, en general, al estudiar los cambios de escala de un objeto con una unidad de medida pequeña ε, podemos definir
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Esta es la Dimensión fractal de Mandelbrot.
En 1992, Korvin compiló un libro llamado "Fractal Models in Earth Science", que enumera muchos modelos fractales relacionados con las ciencias de la tierra. Se menciona que en 1984, el Servicio Geológico de Estados Unidos envió docenas de camiones de bomberos para limpiar los afloramientos rocosos en Nevada y luego realizó un mapeo detallado de sus fracturas. La dimensión fractal promedio del sistema de fracturas en el área fue de 1,744. Utilizando un mapa de estructura de fallas regional a gran escala, el valor de la dimensión fractal del sistema de fallas en esta área es 1,773, lo que demuestra que existe autosimilitud entre los diferentes niveles del sistema de fallas terrestres. Las monografías de Chen Qing y Turcotte también contienen maravillosas descripciones de esto.
Discusión de la geometría fractal y otras dimensiones fractales (como la dimensión de correlación D2, la dimensión de información D1, etc.). ), consulte las monografías pertinentes. A continuación solo se presenta el método de cálculo de la dimensión fractal de serie temporal D0. El método tradicional para introducir la dimensión fractal D0 utiliza principalmente el cálculo del espectro de potencia de series temporales. Dado que el espectro de potencia de los datos geofísicos contiene mucho ruido en bandas de alta frecuencia, este método de cálculo es casi imposible de utilizar. Solo estudiamos el siguiente algoritmo, que ha logrado buenos resultados en el procesamiento de datos sísmicos de reflexión.
Para una curva plana, la longitud total es
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Donde: ε es la unidad de medida (pies); de pies medidos; f es la longitud restante después de medir la regla (f 0), la pérdida de información en cada iteración es mayor que cero y la entropía del sistema continúa aumentando, lo que genera caos. de λ con R en la segunda iteración, y se compara con la bifurcación y el caos del sistema. Se puede ver en la figura que cuando λ <0, el sistema correspondiente es estable, el sistema se bifurca en λ = 0 y λ. > 0 corresponde al caos. Por lo tanto, Lyapunov es un parámetro escalar importante que indica la regularidad del comportamiento general. Aunque el estado futuro específico del sistema es incierto e impredecible, puede parecer una locura en la superficie, pero en realidad es así. tiene sus propias reglas” (Shakespeare). En el patrón de espacio de fase formado por las trayectorias de todas las evoluciones del sistema, hay varios espacios pequeños (llamados atractores) que atraen las trayectorias, haciendo que las trayectorias se contraigan continuamente o salten a las proximidades de él. otro atractor. Este fenómeno muestra que el comportamiento general sigue siendo holístico.
La regularidad del comportamiento general también se refleja en la similitud de los movimientos en diferentes niveles (Fagan demostró que no importa qué tipo de). El movimiento caótico es xn 1=f(xn), las características de escala de su transformación en caos están controladas por dos constantes universales, lo que ilustra aún más la regularidad general de la teoría del caos.
La forma es cíclica y la forma. La aparición de estados caóticos a veces ocurre repetidamente, pero esta recurrencia es incierta. Por ejemplo, los grandes terremotos ocurren con frecuencia, incluidas las recurrencias de alta frecuencia, y no hay un período preciso.
El desarrollo integral de la investigación científica no lineal fue. en la década de 1990. El marco teórico de la ciencia lineal se estableció en el siglo XIX y se convirtió en un sistema completo en el siglo XX. Sin embargo, el marco teórico de la ciencia no lineal se establecerá en el siglo XXI. Lo mismo, y la investigación sobre problemas no lineales es relativamente esporádica. A continuación, se presentan algunos ejemplos de inversión no lineal basados en la teoría del caos.