Zeno, el antiguo filósofo griego Elías, era un personaje muy interesante. Es famoso por sus paradojas de la "dicotomía" y de "Aquiles no puede alcanzar al conejo". Entre estas paradojas, Zenón negaba la existencia del movimiento material. Era absurdo, pero sus razones eran tan elocuentes e impecables que nadie pudo refutarlo antes del siglo XIX.
En La paradoja de la dicotomía, Zenón quería demostrar que un hombre que caminaba nunca podría llegar a su destino, por lo que el movimiento era imposible. Ahora analicemos las opiniones de Zenón con nuestras propias palabras. Mire primero la imagen de la derecha:
La persona que camina parte de un lugar y se dirige al lugar x. Primero, debe pasar por el punto B marcado 1/2, que resulta ser el punto central de A-X. Luego, debe pasar por el punto C marcado 3/4, que es el punto central de B-X. C, tiene que pasar por un punto central, es decir, el punto D marcado 7/8, antes de poder llegar al punto X. A partir del punto D, tiene que pasar por el punto central E de D-X, y así sucesivamente. No importa qué tan cerca esté de X, primero debe pasar por el punto central. Sin embargo, sabemos que estos puntos centrales son infinitos. Incluso si es una distancia pequeña, siempre hay un lugar que es el punto central de esta distancia. Debido a que el punto central es infinito, el viajero se acerca cada vez más al punto final, pero aún no puede llegar al punto final.
El argumento de Zenón es una paradoja clásica. ¿Puedes analizarlo?
Estas paradojas tienen esta característica. Muchas veces en la historia, la gente pensó que estaba resuelto, pero luego descubrió que no era así en absoluto. La llamada solución se ha convertido en la prueba más poderosa del establecimiento de la paradoja. Actualmente se cree generalmente que la paradoja de la dicotomía ha sido resuelta por la teoría del límite, pero ¿es realmente así?
¿Se puede resolver la paradoja de Zenón mediante sumatoria de series infinitas?
Peng Zheye (Jing Tian Man)
Existe la idea de que este problema se puede resolver mediante la suma de series infinitas (dicotomía y Aquiles persiguiendo a la tortuga).
Asumimos que la distancia espacial recorrida por un objeto después de que finalmente llega a su destino es 1, y la distancia recorrida en el tiempo es 1. Primero, supongamos que el objeto no tiene un último punto medio, entonces la distancia S que recorre el objeto en el espacio después de pasar por infinitos puntos medios es:
S = 1/2+1/2 2+ ...1/2n =(2n-1)/2n = 1-1/2.
Podemos ver que S es la distancia espacial real 1 alcanzada por aproximación infinita. Sin embargo, la proximidad infinita no significa que el objeto finalmente no llegue.
Ahora supongamos que hay un punto medio final.
Entonces
s=1/2+1/2^2+1/2^2
s=1/2+1/2^ 2 +1/2^3+1/2^3
.............
s=1/2+1/2^ 2 +1/2^3+.........1/2^n+1/2^n
=(2^n-1)/2^n+1/ 2 ^n=1
Es decir, la distancia recorrida por el objeto después de pasar la distancia entre el último punto medio y el punto final es consistente con la distancia real recorrida por el objeto.
Del cálculo anterior, podemos ver simplemente que si un objeto llega al punto final, entonces ha pasado el último punto medio. Si no pasa el último punto medio, no puede llegar al punto final.
De manera similar, podemos calcular el tiempo que tarda un objeto en pasar por un punto medio infinito. Suponga que la hora de llegada real es 1. Si el objeto no tiene un último punto medio por el que pasar, el tiempo t necesario para que el objeto pase por el punto medio infinito es:
t=1/2+1/2^2+..... .1 /2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n
Se puede ver que aquí está el tiempo real requerido para el objeto infinitamente cercano. llegar al punto final, pero infinitamente cerca no es igual.
Si algo tiene un punto medio final, es
t=1/2+1/2^2+1/2^3+..... .... 1/2^n+1/2^n
=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1
Además, es decir, el El tiempo que tarda el objeto en recorrer la distancia entre el último punto medio y el punto final es el mismo que el tiempo que realmente tarda en llegar.
Se puede ver claramente en el cálculo anterior que si un objeto aún tiene el último punto medio por recorrer, entonces el tiempo que tarda es el mismo que el tiempo de llegada real. Si un objeto no tiene un punto medio final al que llegar, el tiempo que tarda sólo puede ser el tiempo que tarda un objeto infinitamente cercano en llegar al punto final, no igual a él.
Entonces el resultado de la suma de series infinitas es que si algo puede llegar al punto final, debe pasar por el último punto medio. Pero, ¿cómo se supera ese último punto medio? No hay base para esto. En otras palabras, la paradoja de la dicotomía persiste. En otras palabras, este método de sumar series infinitas profundiza la lógica de esta paradoja. La paradoja de la dicotomía y la paradoja de Aquiles persiguiendo a la tortuga son en realidad dos manifestaciones de la misma paradoja. La dicotomía no puede resolverse, pero la persecución de la tortuga por parte de Aquiles persiste.