La evolución histórica de 1
En 1854, Riemann pronunció un famoso discurso. La conexión Berwald cumple la condición sin torsión pero es incompatible con las mediciones. La contribución de Berwald también radica en: (1) La característica de la curvatura de los terrenos de Berg es el contacto de Berwald. El espacio de Landsberg está definido [3]. (2) Un tipo importante de espacio de Fernsler (1925) (en 1938, V.V. Wagner llamó a este tipo de espacio espacio de Berwald). Los espacios de Riemann y los espacios locales de Minkowski son espacios especiales de Berwald. En 1981, Szabó demostró que, además de los espacios de Riemann y los espacios de Minkowski, hay exactamente 54 espacios de Berwald no riemannianos, irreduciblemente globalmente simétricos. Todos los demás espacios de Berwald completos simplemente conectados se pueden descomponer integralmente en el producto cartesiano de los 56 espacios anteriores [4]. (3) Investigó y desarrolló la teoría espacial bidimensional de Feinsler (1927, 1941). (4) En su artículo publicado posteriormente (1947).
En 1933, el famoso matemático francés Eli Catan (1869-1951) publicó su primer artículo sobre la geometría de Finsler, cuyo tema trataba sobre la métrica de Finsler* * *Algunas notas sobre la transformación de formas, y también predijo su Sistema de axiomas para determinar conexiones espaciales de Finsler. 36666. 4666666666666Cartan introdujo el concepto de espacio de elementos lineales (es decir, paquete tangente proyectivo PTM) y extendió su teoría de la conexión euclidiana al espacio de Fernsler. Las conexiones de Cartan no cumplen la condición de flexibilidad. Sin embargo, es compatible con la métrica de Feinsler. Las conexiones de Cartan y las conexiones de Berwald y sus correspondientes tensores de curvatura tuvieron un impacto importante en la investigación posterior sobre la geometría de Finsler y promovieron la investigación de aplicaciones de la geometría de Finsler en física, biología (estado) y otros campos. En 2008+0941, G. Randers derivó fórmulas como f (x, y) = del estudio de la relatividad general. β(x,y)=bi(x)yi tiene la forma de 1, lo que representa el campo electromagnético. La métrica de Randers tiene importantes aplicaciones en los campos de la microscopía electrónica y la teoría de campos unificados, y también juega un papel muy importante en el estudio de la geometría de Finsler.
Cualquier forma de flujo de Finsler (m, f) en PTM tiene una forma diferencial integral ω:=Fyidxi, que se llama forma de Hilbert. La longitud de la curva en (m, f) viene dada por la integral de ω. En 1943, el matemático profesor Chen Shengshen partió del diferencial externo de la forma de Hilbert y estudió la conexión euclidiana en el espacio de Feinsler. Construyó una conexión importante que ahora llamamos conexión de Chen [6]. La conexión Chen satisface la condición invariante y es casi compatible con la métrica, lo que también le otorga una ventaja única en el estudio de la geometría de Finsler. Desde 65438 hasta 0948, el profesor Chen Shengshen resolvió el problema de equivalencia local de los flujos de Finsler: ¿Cómo determinamos que dos estructuras métricas de Finsler conocidas solo están separadas por una transformación de coordenadas? La solución a este problema pasa nuevamente por la conexión euclidiana y su curvatura en el espacio de Fernsler [7]. Utilizando conexiones de Chern, muchos teoremas importantes de la geometría de Riemann se han extendido a los espacios de Finsler, y muchas propiedades geométricas no riemannianas de los flujos de Finsler también se han obtenido a partir de sus ecuaciones estructurales (por ejemplo, ver [8]).
En los años cincuenta y principios de los sesenta, había dos matemáticos dignos de mención. Uno de ellos es Herbert Busemann, quien estudió y analizó la forma de volumen del espacio de Finsler, sentando las bases para que las personas estudiaran el teorema de comparación de volúmenes del espacio de Finsler y exploraran las propiedades generales de la forma de flujo de Finsler. También enfatizó la importancia de estudiar a Minkowski, que amplió la comprensión del espacio feinsleriano. Otro fue el matemático sudafricano Hanno Lund. Fue una figura representativa en el campo de la geometría de Finsler durante este período. El trabajo de H. Rund [9] inspiró a muchos jóvenes matemáticos a empezar a estudiar la geometría de Finsler. Durante este período, surgieron dos importantes grupos de investigación en geometría de Finsler: el grupo de investigación húngaro representado por el estudiante de Berwald, Volgao, y el grupo de investigación japonés representado por Katsuya Okada y Matsumoto.
Su trabajo condujo al desarrollo posterior de la geometría de Finsler.
Cuando revisamos el desarrollo de la geometría de Finsler, también debemos señalar que en los casi 70 años transcurridos desde su nacimiento en 1918, la geometría de Finsler no ha sido tan próspera y popular como la geometría de Riemann, y muchos contenidos importantes han no ha sido tomado en serio. Una de las razones principales es que una fórmula simple a menudo se vuelve muy compleja a medida que avanza el cálculo. Restringe objetivamente el desarrollo de la geometría de Finsler. Otra razón principal es que muchos geómetras en ese momento sólo consideraban el espacio de Finsler como una generalización del espacio de Riemann y estaban comprometidos a extender los resultados de la geometría de Riemann a la geometría de Finsler, mientras que no estaban interesados en los resultados de la geometría no Finsler. Las cantidades geométricas de Riemann (es decir, las cantidades que son cero en la variedad de Riemann) no se comprenden suficientemente. El estudio de las propiedades y la estructura de la geometría de Finsler, que es diferente de la geometría de Riemann, ha sido ignorado. Afortunadamente, esta situación ha cambiado fundamentalmente desde principios de los años noventa. En primer lugar, debemos agradecer al maestro de matemáticas, Sr. Chen Shengshen, por su firme defensa y aliento. El Sr. Chen, los matemáticos chino-estadounidenses Shen y Bao y otros publicaron una serie de resultados importantes durante este período con su profundo conocimiento y conocimiento de la geometría de Finsler (ver [8, 10]), lo que llevó a la geometría de Finsler a un período de verdadera prosperidad. . Al mismo tiempo, estamos en una era de ciencia y tecnología, y el uso de computadoras para cálculos simbólicos y cálculos a gran escala se ha convertido en una realidad, lo que ha promovido enormemente la investigación de la geometría de Finsler. Por ejemplo, las personas han construido una gran cantidad de métricas de Fernsler con importantes propiedades de curvatura, que brindan inspiración y apoyo importantes para una investigación en profundidad sobre las métricas de Fernsler. La geometría de Finsler se desarrolló rápidamente. Varias curvaturas (cantidades geométricas riemannianas y no riemannianas) en la geometría de Finsler han recibido amplia atención e investigación, y su impacto en la estructura del espacio de Finsler se comprende cada vez más (ver [11]). Al mismo tiempo, el valor de aplicación de las teorías y métodos geométricos de Finsler en matemáticas y muchas otras ciencias naturales se ha vuelto cada vez más prominente (.
2 Algunos desarrollos importantes en la geometría de Finsler
Finsler The La curvatura de la bandera en geometría es una extensión natural de la curvatura de la sección transversal en la geometría de Riemann. Dada una métrica de Fernsler f en la variedad M, la curvatura de la bandera es una función del plano tangente P y la dirección y en P, K=K(. P, y), si la curvatura de bandera es simplemente una función escalar K = K(x, y) en el paquete tangente TM\{0}, decimos que f tiene curvatura de bandera escalar. En particular, si K = constante, decimos que f tiene curvatura de bandera escalar. decir que f tiene una curvatura de bandera constante. Un tema importante en la geometría de Finsler es el estudio y la caracterización de la métrica de Finsler con curvatura de bandera escalar (constante), que también es un tema candente que preocupa mucho a los geómetras de Finsler. esto en la geometría de Finsler es el estudio y caracterización de la planitud proyectiva. La métrica de Finsler es el cuarto problema de Hilbert en el caso regular. Un hecho básico importante es que la métrica proyectiva plana de Fernsler debe tener una curvatura de bandera escalar. Una métrica de Mann es plana proyectiva si y solo si tiene curvatura constante. Sin embargo, podemos encontrar métricas de Feinsler infinitas con curvatura de bandera escalar (constante) que son métricas de Fernsler no proyectivas, sus curvaturas de bandera no son constantes. El trabajo de caracterizar y clasificar las métricas de Fernsler con curvatura de bandera escalar (constante) es mucho más complicado que la geometría de Riemann, y su contenido es mucho más rico que la geometría de Riemann debido a la relativa complejidad de los cálculos, es muy importante estudiar casos especiales y. Ejemplos en geometría de Finsler Los geómetras de Finsler primero investigaron en profundidad la métrica de Randers. En 2003, el matemático chino-estadounidense Shen completó la clasificación de Randers utilizando la proyección plana y la curvatura de bandera constante. y ecuaciones algebraicas para describir la estructura métrica local de la métrica de Fernsler con proyección plana y curvatura de bandera constante. Sobre esta base, Shen y D. Bao et al completaron la navegación en la clasificación de la métrica de Randers con curvatura de bandera constante (. ver [11]). El matemático japonés M. Matsumoto y otros también han trabajado mucho en la clasificación de la métrica de Randers con curvatura de bandera constante (ver [13] métrica de Fernsler - (α, β)-métrica, que es). más común que la métrica de Randers y tiene una importante formación en biología, física y otros campos.
La (α,β)-métrica es una métrica de Finsler computable muy rica y juega un papel muy importante en la geometría de Finsler. En los últimos años, se han estudiado mejor varias curvaturas en la geometría de Finsler. Esto se debe en parte al estudio de las métricas (α,β). En la actualidad, se han determinado por completo algunas estructuras locales importantes y especiales de métricas planas (α, β) proyectadas con curvatura de bandera constante, lo que proporciona un fuerte apoyo para la determinación de la estructura local de métricas Fernsler planas proyectadas con curvatura de bandera constante en general. , enriqueciendo el contenido de la investigación en este campo.
Hay varias cantidades geométricas importantes en la geometría de Finsler (como el tensor de Cartan (promedio), la curvatura S, la curvatura de Landsberg (promedio), la curvatura de Berwald (promedio), etc.), que son iguales a cero en Espacio de Riemann, por eso se le llama cantidad geométrica no riemanniana. Decimos que las cantidades geométricas de Riemann (como la curvatura de la bandera, la curvatura de Ricci, etc.) describen la forma del espacio. Las cantidades geométricas no riemannianas describen el "color" del espacio. Las investigaciones existentes muestran que la curvatura de la bandera de la métrica de Fernsler está estrechamente relacionada con cantidades geométricas no riemannianas. Por lo tanto, al estudiar la estructura y las propiedades de la métrica de Fernsler con curvatura escalar (constante), las personas naturalmente tienen que considerar algunas propiedades de curvatura (cantidad geométrica) no riemannianas que satisface la métrica. Los matemáticos chinos han conseguido una serie de resultados importantes en este campo: han caracterizado la curvatura de la bandera escalar y es isotrópica. De manera más general, la clasificación de las métricas de Randers con curvatura de bandera escalar y curvatura S mal dirigida se logra utilizando la teoría de navegación de Zermelo. Además, se completa la clasificación de las métricas de Fernsler con proyección localmente plana y curvatura en S mal dirigida. La gente también ha investigado mucho sobre las métricas de Fernsler con otras propiedades de curvatura no riemannianas (como la curvatura de Landsberg relativamente isotrópica (promedio)) y ha obtenido una serie de resultados significativos. Se puede hacer referencia al trabajo en esta área [11, 14, 15]. La investigación en esta dirección está en auge y es de gran importancia para el estudio en profundidad de la estructura y las propiedades de las métricas de Fernsler con curvatura de bandera escalar (constante), y tendrá un profundo impacto a la hora de revelar los misterios de este tipo de métricas.
Los logros de Finsler en la caracterización de la estructura local de la métrica de Fernsler sentaron una base importante para estudiar las propiedades generales de la métrica de Fernsler y proporcionaron una gran cantidad de ejemplos para el análisis general de la métrica de Fernsler. En los últimos diez años, los geómetras de Finsler han investigado mucho sobre las propiedades generales de las métricas de Fernsler y han obtenido una serie de resultados importantes (ver [8, 16, 17]). Por ejemplo, con respecto a la estructura general del espacio de Fernsler con curvatura de bandera constante, el matemático iraní-francés Akbar Zadeh demostró que en variedades compactas, cualquier métrica de Fernsler con curvatura de bandera negativa debe ser una métrica de Riemann, y cualquier métrica de Fernsler con curvatura de bandera cero Debe ser una métrica local de Minkowski. Además, Mo Xiaohuan y Shen demostraron que en un flujo compacto de Finsler con dimensión mayor que 2, si la métrica de Finsler tiene una curvatura de bandera escalar y su curvatura de bandera es negativa, entonces la métrica de Finsler debe ser una métrica de Randers [18] (esto también muestra que estudiar la importancia de la métrica de Randers). Por otro lado, como base importante para estudiar las propiedades generales de las métricas de Finsler, se han realizado investigaciones en profundidad sobre algunos teoremas de comparación importantes en la geometría de Finsler. Sabemos que en la geometría de Riemann, el teorema de comparación de volúmenes de BishopGromov juega un papel muy importante en la geometría diferencial general de las variedades de Riemann. En 1997, Shen introdujo la curvatura S (es decir, la covarianza media), estableció el teorema de comparación de volúmenes en la métrica de Fernsler y amplió el teorema de comparación de volúmenes de BishopGromov en la geometría de Riemann a los flujos de Finsler. Se obtienen algunos teoremas sobre la cuasicompacidad y finitud de los patrones de flujo de Finsler. Además, estudió las importantes propiedades del radio del yugo del patrón de flujo completo de Finsler con curvatura S de 0. Por otro lado, en comparación con las propiedades locales de las medidas de Finsler, la investigación popular sobre las propiedades generales de las medidas de Finsler está lejos de ser suficiente y la comprensión de las propiedades generales de las medidas de Finsler no es lo suficientemente rica. Eso es seguro, Finsler.
La geometría de la subvariedad de Finsler es una parte importante de la geometría de Finsler y una de las preocupaciones a largo plazo de los geómetras de Finsler.
Se ha trabajado arduamente para explorar los resultados locales y globales de las subvariedades de Finsler, promoviendo así una mejor comprensión de la estructura y propiedades de los flujos de Finsler, y se han logrado algunos resultados importantes. Por ejemplo, Shen introdujo los conceptos de curvatura media y curvatura normal de las subvariedades de Fernsler en 1998. Se obtuvieron algunos resultados generales de subvariedades en el espacio de Minkowski y se construyó una métrica de Finsler basada en el espacio euclidiano N-dimensional, lo que hace imposible que el flujo de Finsler correspondiente esté incrustado equidistantemente en cualquier espacio de Minkowski. Al mismo tiempo, también se han llevado a cabo fructíferos trabajos de investigación sobre otras cuestiones importantes relacionadas con las variedades de neutrones en el espacio de Minkowski. Sin embargo, en general, la investigación sobre la geometría de las subvariedades de Fernsler no está sincronizada con la investigación sobre la geometría de las subvariedades de Riemann, y muchas cuestiones importantes no han recibido la debida atención.
En los últimos años, los matemáticos chinos también han logrado algunos avances importantes en el estudio del mapeo armónico de los flujos de Finsler. Al mismo tiempo, los problemas de análisis global (a menudo no lineal) de la geometría de Finsler también desafían a los matemáticos involucrados en el análisis geométrico.
3 Outlook
Debido a los cálculos relativamente complejos en la geometría de Finsler, el trabajo de utilizar la curvatura de bandera escalar para caracterizar las métricas de Fernsler está lejos de estar completo, y muchas métricas de Fernsler de curvatura de bandera escalar aún no han sido clasificados. Incluso para la métrica de Fernsler con curvatura de bandera invariante, la gente está lejos de completar su clasificación. Por lo tanto, estudiar y caracterizar las propiedades y la estructura de las métricas de Finsler con curvatura de bandera escalar (constante) sigue siendo un punto clave en el desarrollo de la geometría de Finsler. De acuerdo con la tendencia de desarrollo actual de la geometría de Finsler, es previsible que en un futuro próximo la gente construya más ejemplos de métricas de Finsler que cumplan ciertas condiciones de curvatura y completen algunas mediciones (α, β)-(α, β) con Importantes antecedentes de aplicación y propiedades especiales de curvatura. Clasificación de medidas. Sobre esta base, la gente completará gradualmente la clasificación de la métrica de Fernsler con curvatura de bandera escalar y algunas propiedades de curvatura especiales, y el misterio de la métrica de Fernsler con curvatura de bandera escalar también se revelará gradualmente.
Las propiedades geométricas y topológicas globales de la métrica de Finsler serán otro punto importante de investigación en la geometría de Finsler. La investigación en esta dirección incluye: revelar aún más la influencia de cantidades geométricas no riemannianas en la estructura general y la curvatura de la bandera de la métrica de Fernsler, un estudio en profundidad de la estructura general de la métrica de Fernsler con curvatura de bandera escalar, un análisis general de la métrica de Fernsler y el estudio la rigidez de la métrica de Fernsler, explore la relación entre la curvatura de Ricci y la topología de flujo de Finsler. En particular, estudiamos y revelamos la estructura topológica del espacio métrico de Einstein. Las propiedades locales actualmente conocidas de las métricas de Fernsler y una gran cantidad de ejemplos valiosos brindarán un fuerte apoyo para la investigación en este campo. Podemos esperar una serie de novedades importantes en este ámbito.
La geometría de subvariedades de Finsler es de gran valor para enriquecer la teoría geométrica de Finsler. Es deseable el contenido de investigación en esta área. Por ejemplo, la geometría de los haces tangentes y los haces esféricos tangentes unitarios de las variedades de Riemann, los campos vectoriales unitarios mínimos o armónicos en las variedades de Riemann, etc., se han estudiado y discutido ampliamente, y siguen siendo uno de los puntos calientes en la investigación de vanguardia. . Sin embargo, en el caso de la geometría de Finsler, el contenido correspondiente no ha recibido suficiente atención y hay pocos resultados relevantes. Por lo tanto, en el futuro, los geómetras de Finsler llevarán a cabo investigaciones en profundidad sobre la geometría de haces tangentes y haces esféricos tangentes de variedades de Finsler, campos vectoriales unitarios mínimos o armónicos en variedades de Finsler, y discutirán la relación entre subvariedades mínimas y mapas armónicos y sus Geometría características variacionales, discute la estabilidad del mapeo armónico bajo ciertas condiciones de curvatura. Estos son temas muy importantes e interesantes.
Por supuesto, es muy difícil hacer predicciones precisas y completas sobre el futuro de la geometría de Finsler. Aquí también podríamos terminar este artículo tomando prestado un comentario del Sr. Chen Shengshen: "Toda la geometría riemanniana se ha desarrollado enormemente en la segunda mitad del siglo XX. Creo que en el siglo XXI, la mayor parte de geometría diferencial Debería ser geometría de Riemann-Finsler."
Referencia
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