La fórmula básica de la desigualdad del valor absoluto: |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
Derivación de la desigualdad del valor absoluto: Primero, considere dos números a y b, donde a≥b. Según la definición de valor absoluto, |a|=a, |b|=b. Por lo tanto, hay |a|-|b|=a-b≥0. De la misma manera, si a≤b, entonces tenemos |a|-|b|=a-b≤0. Por lo tanto, obtenemos la siguiente desigualdad: |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
Esta desigualdad muestra la forma de desigualdad de valor absoluto. Nos dice que el valor absoluto de la diferencia entre dos números es menor o igual al valor absoluto de su suma. Esta desigualdad tiene una amplia gama de aplicaciones en matemáticas. Puede usarse para estimar el rango de soluciones de una ecuación, estimar el tamaño de un valor, etc.
Supongamos que hay dos puntos A y B, y sus coordenadas en el eje numérico son a y b respectivamente. La longitud de AB en la recta numérica se puede medir mediante |a-b|. Si consideramos la distancia entre A y B, esta distancia se puede medir mediante |a±b|. Según la desigualdad del valor absoluto, tenemos |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
Esta desigualdad nos dice que la distancia entre A y B es mayor o igual a la diferencia de sus distancias al origen, y menor o igual a la suma de sus distancias al origen. Finalmente, veamos una aplicación práctica de las desigualdades de valor absoluto. Supongamos que hay un rectángulo cuyo largo y ancho son a y b respectivamente, y a>b. Sabemos que el área de este rectángulo se puede calcular usando ab.
Si cortamos este rectángulo en un cuadrado y un rectángulo, entonces el área del cuadrado se puede calcular mediante (a-b)?/4, y el área del rectángulo se puede calcular mediante (a-b)b/2 . Según la desigualdad del valor absoluto, tenemos (a-b)?/4≥ab≥(a-b)b?. Esta desigualdad nos dice que la suma de las áreas del cuadrado cortado y del rectángulo es mayor o igual al área del rectángulo original.
El significado geométrico de la desigualdad del valor absoluto
1 Cuando a y b tienen el mismo signo, están ubicados en el mismo lado del origen. a y -b es igual a su distancia desde el origen.
2. Cuando a y b tienen signos diferentes, se ubican a ambos lados del origen. En este momento, la distancia entre a y -b es menor que la suma de sus distancias al origen. (|a-b| representa la distancia entre a-b y el origen, y también representa la distancia entre ay b).
3. |a|<|b| deriva reversiblemente |b|>|a|, ||a| - |b|| El signo igual de la izquierda es válido cuando y sólo si ab≤0, y el signo igual de la derecha es válido cuando ab≥0.