Tomamos como ejemplo la simetría de integrales triples e integrales de superficie de primer tipo. Las integrales dobles son similares a las integrales de curva del primer tipo.
1. Principio de simetría de paridad
Cuando la región de integración es simétrica con respecto al plano xOy, se puede examinar la paridad de Z.
Cuando la región integral es simétrica con respecto al plano xOz, se puede examinar la paridad de y;
Cuando la región integral es simétrica con respecto al plano yOz, la paridad de x puede ser examinado;
Por ejemplo, el área integral de este problema es una esfera. Obviamente se cumplen los tres elementos anteriores, por lo que se puede ver la paridad de cualquier variable. xy es una función impar con respecto a X y una función impar con respecto a Y, por lo que puedes saber que el resultado integral es 0 independientemente de X o Y;
2. Principio de simetría rotacional
Cuando se giran las tres letras x, y, z (o dos de ellas) en el área integral, si el área no cambia, el Se obtiene la integral. X, y, z en la función también se pueden rotar en consecuencia.
Por ejemplo, el área integral de este problema es una esfera. Es obvio que esta esfera no tiene cambios después de la rotación en f(z,x,y)dS
Esto también lleva a una pregunta: ∫∫ x? dS=∫∫y? dS=∫∫z? DS esta conclusión.
Para otro ejemplo, si se agrega una condición a la superficie integral en la pregunta: x? +y? +z? =¿R? , z≥0
En este punto podemos ver que si se giran x, y, z, la superficie cambiará, por lo que la conclusión anterior no se cumple.
Pero cabe señalar que dado que la superficie no cambia después de que x e y se intercambian, ∫∫ x? dS=∫∫y? DS sigue siendo válido.
Finalmente, le recordamos que la conclusión anterior no es cierta para el segundo tipo de integral de curva y el segundo tipo de integral de superficie.
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