A(α1+kα3)+B(α2+lα3)=0, donde A=B= 0,
∴Aα1+Akα3+Bα2+Blα3=0, es decir, Aα1+Bα2+(Ak+Bl)α3=0,
∫a = b = 0, ∴ α1, α2, α3, los coeficientes anteriores son todos 0
∴α1, α2, α3 son linealmente independientes.
Supongamos que el grupo de vectores α1, α2, α3 son linealmente independientes y sea la matriz p (α1, α2, α3).
Entonces la matriz p es una matriz de rango completo, es decir, el rango r(α1, α2, α3)=3,
Porque el rango de la matriz original no cambia cuando la matriz sufre una transformación elemental,
Luego multiplica k en la tercera columna de P por la primera columna y multiplica l en la tercera columna por la segunda columna, es decir,
r(α1+kα3,α2+lα3 , α3)=3,
La matriz ∴ también es linealmente independiente
∴Los grupos vectoriales α1+kα3 y α2+. lα3 compuesto por las dos primeras columnas de esta matriz también son linealmente independientes.
Conclusión: La independencia lineal del grupo de vectores α1+kα3 y α2+lα3 es condición necesaria y suficiente para la independencia lineal del grupo de vectores α1, α2 y α3.