Aquí debería faltar una condición: todos los valores propios de A son números reales.
Tu comprensión es correcta. Una matriz normal no es necesariamente simétrica.
A es una matriz normal si y sólo si A tiene n vectores propios ortogonales.
Por ejemplo
A=
1 -1
1 1
Tiene dos vectores propios ortogonales:
x1=(1?i)'? (correspondiente al valor propio 1-i)
x2=(i?1)' (correspondiente al valor propio 1 i)
Además, la matriz ortogonal es de hecho una matriz normal ! !