La programación no lineal es una disciplina emergente que recién comenzó a tomar forma en la década de 1950. El artículo sobre las condiciones de optimización (más tarde llamado condiciones de Kuhn-Tucker) publicado por H.W Kuhn y A.W Tucker en 1951 fue un símbolo importante del nacimiento oficial de la programación no lineal. En la década de 1950, también se derivaron n soluciones para la programación separable y la programación cuadrática, la mayoría de las cuales se basaron en el método simplex para resolver la programación lineal propuesto por G.B. Desde finales de los años cincuenta hasta finales de los sesenta, aparecieron muchos algoritmos eficaces para resolver problemas de programación no lineal, y se desarrollaron aún más en los años setenta. La programación no lineal se usa ampliamente en ingeniería, administración, economía, investigación científica, ejército y otros campos, y proporciona una herramienta poderosa para un diseño óptimo.
Modelo matemático Para realizar un análisis cuantitativo de problemas de planificación reales, se debe establecer un modelo matemático. Para establecer un modelo matemático, primero debemos seleccionar las variables objetivo y las variables de decisión apropiadas, y establecer una relación funcional entre las variables objetivo y las variables de decisión, que se denomina función objetivo. Luego se abstraen varias restricciones y se derivan algunas ecuaciones o desigualdades que las variables de decisión deben satisfacer, que se denominan restricciones. El modelo matemático general de problemas de programación no lineal se puede expresar como encontrar las variables desconocidas x1, x2,..., xn, de modo que se satisfagan las restricciones:
gi(x1,...,xn) ≥0 i=1,..., m
hj(x1,…,xn)=0 j=1,…,p
y hacer la función objetivo f(x1 ,…,xn) alcanza el valor mínimo (o valor máximo). Entre ellas, f, gi y hj son todas funciones de valor real definidas en un determinado subconjunto D (dominio) del espacio vectorial n-dimensional Rn, y al menos una de ellas es una función no lineal.
El modelo anterior se puede abreviar como:
min f(x)
s.t gi(x)≥0 i=1,…,m
hj(x)=0 j=1,…,p
Donde x=(x1,…,xn) pertenece al dominio D, el símbolo min significa “encontrar el valor mínimo ”, y el símbolo s.t. significa "sujeto a".
Los puntos del dominio D que satisfacen las restricciones se denominan soluciones factibles del problema. Al conjunto de todas las soluciones factibles se le llama conjunto factible del problema. Para una solución factible x*, si hay una vecindad de x*, el valor f(x*) de la función objetivo en x* es mejor (es decir, ni mayor ni menor que) que cualquier otra solución factible en la vecindad Valor de la función, entonces x* se denomina solución óptima local del problema (denominada solución local). Si f(x*) es mejor que el valor de la función objetivo en todas las soluciones factibles, entonces x* se denomina solución óptima general del problema (denominada solución general). Los problemas prácticos de programación no lineal requieren soluciones globales, pero la mayoría de los métodos de solución existentes solo encuentran soluciones locales.