El álgebra lineal surgió esencialmente en el siglo XVII gracias al trabajo de Fermat y Descartes. Hasta finales del siglo XVIII, el campo del álgebra lineal se limitaba a planos y espacios. La teoría de la matriz de transferencia al espacio vectorial N-dimensional se completó en la primera mitad del siglo XIX, iniciada por Gloria, y alcanzó su punto máximo en la segunda mitad del siglo XIX gracias al trabajo de Jordan. Peano definió espacios vectoriales de dimensiones finitas o infinitas de forma axiomática 6438+0888. Toplitz generaliza los principales teoremas del álgebra lineal al espacio vectorial más general de cualquier objeto. La mayoría de las veces, el concepto de mapeo lineal puede escapar de los cálculos matriciales, lo que lleva a una inferencia intrínseca, es decir, no dependiente de la elección de la base. En lugar de cuerpos conmutativos, utilizamos cuerpos o anillos que no son necesariamente conmutativos como dominio del operador. Esto conduce al concepto de módulos, que amplía significativamente la teoría de los espacios vectoriales y reordena la situación estudiada en el siglo XIX.
La palabra "álgebra" apareció relativamente tarde en China y fue introducida en China durante la dinastía Qing. En ese momento se tradujo como "Alghbara". No fue hasta 1859 que Li, un famoso matemático y traductor de la dinastía Qing, lo tradujo al "álgebra", que todavía se utiliza en la actualidad.
El álgebra lineal se originó a partir del estudio de sistemas de coordenadas rectangulares bidimensionales y tridimensionales. Aquí, un vector es un segmento de línea direccional, representado por longitud y dirección. Estos vectores se pueden utilizar para representar cantidades físicas, como fuerzas, y también se pueden sumar y multiplicar con escalares. Este es el primer ejemplo de un espacio vectorial real.
El álgebra lineal moderna se ha ampliado para estudiar espacios de dimensiones arbitrarias o infinitas. Un espacio vectorial con dimensión n se llama espacio n-dimensional. Las conclusiones más útiles en espacios 2D y 3D se pueden generalizar a estos espacios de alta dimensión. Aunque para muchas personas no es fácil imaginar vectores en un espacio N-dimensional, dichos vectores (es decir, N-tuplas) son muy eficaces para representar datos. Debido a que, como n-tupla, un vector es una lista "ordenada" de n elementos, la mayoría de las personas pueden agregar y manipular datos de manera eficiente dentro de este marco. Por ejemplo, en economía se puede utilizar un vector de ocho dimensiones para representar el producto nacional bruto (PNB) de ocho países. Al organizar el orden de todos los países, como (China, Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Australia), puede utilizar vectores (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8). , v6, V7 , V8) para mostrar el PNB de estos países en un año determinado. Aquí el PNB de cada país está en su propia posición.
El espacio vectorial (espacio lineal), como concepto puramente abstracto utilizado para demostrar teoremas, forma parte del álgebra abstracta y se ha integrado bien en este campo. Algunos ejemplos famosos son: mapas lineales irreversibles o grupos de matrices y anillos de mapas lineales en espacios vectoriales. El álgebra lineal también juega un papel importante en el análisis matemático, especialmente en la descripción de derivadas de orden superior en el análisis vectorial y en el estudio de productos tensoriales y asignaciones conmutativas.
Los espacios vectoriales se definen sobre dominios, como números reales o números complejos. Los operadores lineales asignan elementos de un espacio lineal a otro espacio lineal (o al mismo espacio lineal), manteniendo la coherencia de la suma y la multiplicación escalar en espacios vectoriales. El conjunto de todas estas transformaciones es en sí mismo un espacio vectorial. Si se determina la base del espacio lineal, todas las transformaciones lineales se pueden expresar como una tabla llamada matriz. Un estudio en profundidad de las propiedades de las matrices y los algoritmos de las matrices (incluidos los determinantes y los vectores propios) también se considera parte del álgebra lineal.
Podemos decir simplemente que los problemas lineales en matemáticas, aquellos que exhiben linealidad, son los más fáciles de resolver. Por ejemplo, el cálculo diferencial estudia muchos problemas de aproximación lineal de funciones. En la práctica, la distinción con los problemas no lineales es muy importante.
El método de álgebra lineal se refiere al método de ver los problemas desde un punto de vista lineal y utilizar el lenguaje del álgebra lineal para describirlos y resolverlos (se pueden utilizar operaciones matriciales si es necesario). Esta es una de las aplicaciones más importantes en matemáticas e ingeniería.