Pregunta 1:
Obviamente el determinante es un polinomio de n 1 grado con respecto a x.
Cuando x=a1, la primera fila y la segunda fila son iguales y el determinante es 0.
De manera similar, cuando x=ak (1lt; =klt; =n), la k-ésima fila es la misma que la k-ésima fila y el determinante es 0.
Esto muestra que el determinante contiene factores como (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an).
Además, suponiendo que x = -a1-a2-...-an, la suma de todas las columnas es igual al vector 0, lo que significa que estas n 1 columnas están relacionadas linealmente en este momento, entonces el determinante sigue siendo 0.
Así que encontramos todos los factores del determinante.
D=(x-a1)(x-a2)...(x-an)(x a1 a2 ... an) es un polinomio de n 1 grado alrededor de x
>Segunda pregunta
Escribe esta forma cuadrática en la forma de x'Sx, donde S es la matriz. Luego encuentre los valores propios y los vectores propios de S. Dado que S es una matriz simétrica real, los vectores propios de S que pertenecen a diferentes raíces propias son mutuamente ortogonales, y la matriz cuadrada compuesta por estos vectores propios es la matriz ortogonal buscada.
Pregunta 3
Escribe el sistema de ecuaciones en la forma Ax=b.
Existe solución única, siempre y cuando el determinante de la matriz de coeficientes A no sea 0
El resto de casos corresponden a det(A)=0, y se puede encontrar lambda , Existen hasta tres raíces diferentes.
a) Hay innumerables soluciones, entonces b debe estar en el espacio columna de A
b) No hay solución, entonces b no está en el espacio columna de A
Entonces simplemente discuta si estas tres raíces pertenecen al caso a o al caso b.
Pregunta 4
Es fácil descubrir que el polinomio característico de A es (lambda-1)(lambda-5), que también es el polinomio ceroizador de A, que es, (A-I) (A-5I)=0.
Por lo tanto A^(10)-5*A^(9)
=(A-5I)*A^9
=(A-5I )*(A^9-A^8 A^8-A^7 A^7-A^6 ... A^2-A A-I I)
=(A-5I)*( A-I)*A^8 (A-I)*A^7 ... (A-I)*A A-I I
=(A-5I)*I
=(A-5I )=[-2 -2; -2 -2]
Pregunta 5
(1) La forma típica de AXB=C, y tanto A como B son invertibles, X= Simplemente convierta A^(-1)*C*B^(-1)
(2) al tipo estándar. Después de una mirada superficial, parece que la línea tiene el rango completo, rango=4