Tome un espacio bidimensional como ejemplo, hay un conjunto de vectores base. Cualquier vector en este espacio bidimensional puede representarse mediante este conjunto de vectores base, por lo que este espacio bidimensional es un espacio expandido por este conjunto de vectores base. El rendimiento específico es:
donde está cualquier número real, que también es el valor de.
Cualquier vector en el espacio se puede obtener escalando y sumando los vectores base. Esto también ilustra la especial importancia de la suma de vectores y la multiplicación de números.
Por lo tanto,
Existen naturalmente innumerables conjuntos de tales vectores base. En el espacio bidimensional, normalmente elegimos lo anterior como vector base.
La transformación es en realidad equivalente a una función. En este caso, la función toma un vector como entrada y genera un vector.
Las dimensiones del vector de entrada y salida pueden ser diferentes.
La razón por la que se define como transformación en lugar de función es porque la transformación enfatiza un proceso de movimiento. Por ejemplo, en un espacio bidimensional, podemos imaginar que el vector se mueve a otras posiciones en el espacio después de una transformación lineal.
Existen dos tipos de transformaciones: transformación lineal y transformación no lineal. Esta sección habla de transformaciones lineales y su relación con matrices.
Imagina un vector como una flecha, entonces la transformación lineal se refiere al movimiento del vector comenzando en el origen en diferentes espacios, manteniendo la invariancia de la multiplicación y suma del número del vector.
Este espacio diferente puede entenderse como
Por ejemplo, un vector tridimensional se convierte en un vector tridimensional mediante transformación lineal.
O convertir el vector tridimensional en un vector bidimensional mediante transformación lineal.
El 1 mencionado anteriormente es en realidad un caso especial de 2. Si las dimensiones espaciales son diferentes después de la transformación, los vectores base que definen el espacio deben haber cambiado.
Intuitivamente, podemos usar
para representar las dos condiciones de la transformación lineal.
Sabemos que la transformación lineal consiste en mover todos los vectores en el espacio a una nueva posición. Durante este proceso, el punto inicial del vector permanece sin cambios. Entonces, ¿cómo se puede realizar un seguimiento de cualquier vector transformado?
Sabemos por la sección anterior que los vectores son en realidad combinaciones lineales de vectores base, y cualquier vector puede representarse mediante vectores base.
¿Cómo saber la transformación de vectores base? En el espacio bidimensional, sólo necesitamos observar este conjunto de vectores base. Los coeficientes del vector base después de la transformación lineal son los coeficientes del vector base antes de la transformación lineal, es decir, las coordenadas antes de la transformación lineal.
Conocido
Es decir, después de la transformación lineal, se convierte, es decir, en este momento, la transformación correspondiente se convierte en, y
Prueba
De acuerdo con la definición anterior de transformación lineal:
Por lo tanto...
Así que, siempre que conozcas las coordenadas del vector base transformado, puedes realizar una transformación lineal.
Ahora supongamos que se conocen los vectores base después de la transformación lineal.
Toma prestadas las condiciones conocidas en la prueba anterior.
,
Luego "empaquetamos" las coordenadas en una nueva cuadrícula, a la que llamamos matriz.
Después de ver esto, todos deberían comprender que la matriz original es el empalme de vectores base después de una transformación lineal.
En las aplicaciones diarias se suelen dar matrices, por lo que esta sección comienza asumiendo que se sabe que los vectores base transformados son verdaderos y son elementos de la matriz.
Entonces cualquier vector de transformación en el espacio puede representarse mediante un vector base.
Mira el siguiente ejemplo:
Hay una matriz y un vector. Bajo la "acción" de la matriz, las nuevas coordenadas vectoriales (movidas a la nueva posición) son las siguientes:
Lea y siga el artículo detenidamente.
Esta forma es similar, equivalente al coeficiente del vector base.
Es el vector base después de la transformación lineal.
Por lo tanto, la explicación intuitiva de la multiplicación de matrices y vectores es la siguiente:
Dado que la matriz representa la transformación lineal del espacio, la multiplicación de matrices significa que el vector base transformado se transforma linealmente nuevamente. , es decir, el original El espacio sufre dos transformaciones lineales.
El efecto de dos transformaciones es equivalente al efecto de una transformación de una matriz obtenida al multiplicar dos matrices.
El contenido principal proviene de la esencia del álgebra lineal de Bilibili Upmaster @3Blue1Brown.