Derivación bilateral: tomar x0 y f(x0) como constantes;
f'(x)=-1/(2+x0)+2a(x-x0)
Obviamente, x0 tiene valores diferentes, f'(x) es diferente y la función no es diferenciable.
Debería ser correcto.
No importa qué valor tome x0, f(x) debe tener un valor determinado y único.
Cuando x0 toma -1:
f(x)=1-(x+1)+a(x+1)^2
f ( x0)=xa(x1)^2
f(x)-f(x0)=x-xa[(x+1)^2-(x1) ^ 2]
=(x-x0)+a(x-x0)(x+x2)
=(x-x0)(1+ax+ax 2a) =(x0-x)/(2+x0)+a(x-x0)^2=(x0-x)[1/(2+x0)+a(x0-x)]
1+ax+ax2a = 1/(2+x0)+ax0-ax
1+2ax+2a=1/(2+x0)
2+ x 4ax+2axx4a+2ax0=1
1+x4ax+2 axx 4a+2 axx 0 = 0
(1+x4a+2ax 0) +(4a+2ax 0)x = 0
1+x4a+2ax0=0
4a+2ax0=0
a=0
1+x0=0, x0=-1
a≠0
2a=x0
a=x0/2
1+x4a+2ax 0 = 1+x2x x0 2 = x(1+x0)2, que no es un valor constante igual a 0.
Multiplica ambos lados por ×(-1)
f(x0)-f(x)=-(x0-x)/(2+x0)-a(x0- x)^2
Dividir ambos lados entre (x0-x)
[f(x0)-f(x)]/(x0-x)=-1/(2 + x0)-a(x0-x)
Toma el límite x0->x, definido según la derivada:
f'(x)=-1/(2 +x)
Integral: f (x) =-ln (2+x)+c = ln [e c/(2+x)]
c es una constante entera.
f(-1)=ln[e^c/(2-1)]=c=1
f(x)=-ln(2+x)+C =ln[e/(2+x)]
Pero f(x)-f(x0)= 1-ln(2+x)-[1-ln(2+x0)]= ln [(2+x0)/(2+x)] es una función trascendental y no puede ser igual a una función polinómica.
d también es incorrecto.
Cabe decir que la definición de la función es problemática. Por definición, es imposible encontrar un valor definido para un punto. En otras palabras, el tema describe un conjunto de funciones, no una sola función.