Aplicación de los vectores espaciales en geometría sólida.

En cuanto a la aplicación de vectores espaciales en geometría sólida, el cálculo más importante es el vector normal alrededor de un plano. En la mayoría de las preguntas, los vectores espaciales se utilizan como herramientas matemáticas para resolver dos tipos de problemas: primero, problemas verticales, especialmente problemas verticales entre líneas rectas y planos (la verticalidad de los planos es básicamente similar; segundo, problemas de ángulos, centrándose principalmente en los diédricos); ángulos El ángulo plano se convierte a partir del ángulo llamado dos vectores normales planos (el ángulo línea-plano es similar). Los problemas paralelos en geometría sólida generalmente se resuelven utilizando el teorema fundamental.

Concepto básico de vector normal plano. El vector normal se refiere al vector perpendicular al plano conocido. Puede haber muchos dependiendo de las coordenadas seleccionadas, pero en general es más conveniente de calcular.

Cálculo básico del vector normal plano. Establezca un sistema de coordenadas apropiado de acuerdo con la figura, establezca el vector normal del plano conocido en n (x, y, z), encuentre dos líneas rectas A y B que se cruzan en el plano conocido y expréselas con vectores. Dado que el vector normal es perpendicular al plano, debe ser perpendicular a estas dos líneas y la ecuación aparece como el punto multiplicado por cero para el vector normal. Dado que hay tres incógnitas x, Y, z Y y Z, generalmente se supone que una de ellas es un valor especial y se encuentran las otras dos (como se mencionó anteriormente, hay innumerables vectores normales y solo necesitamos encontrar uno de ellos).

Aplicaciones básicas de los vectores normales planos. Después de encontrar el vector normal, si quieres demostrar que la línea recta es vertical, solo necesitas demostrar que la línea recta a demostrar es paralela al vector normal del plano si quieres demostrar que el plano es vertical; , solo necesitas demostrar que los vectores normales de los dos planos son perpendiculares. Si requieres el ángulo entre una recta y un plano, solo necesitas el ángulo entre la recta y el vector normal (se obtiene el valor del coseno del instructor; usando la fórmula del producto escalar vectorial, que es complementaria al ángulo obtenido entre la recta y el plano, si necesita dos El ángulo de la cara solo requiere el ángulo formado por los vectores normales de los dos planos (el valor del coseno de este ángulo); También se obtiene usando la fórmula del producto escalar, que es igual o complementario al ángulo plano del ángulo diédrico, y luego solo necesita juzgar si el ángulo diédrico es un ángulo agudo o un ángulo obtuso).

Ejemplo: Hay dos puntos A y B en el lado del ángulo diédrico Las rectas AC y BD están en los dos planos del ángulo diédrico respectivamente, y ambas son perpendiculares a AB. Se sabe que AB = 4 y AC = 6. BD = 8, CD = doble raíz 17. ¿Cómo encontrar el tamaño del ángulo diédrico?

Solución: ∵AC⊥AB, BD⊥AB, AB=4, AC=6. BD=8, CD=2√17.

Hacer un AE//BD, hacer AE = BD, conectar CE y DE.

∴AB⊥ ACE, ∠CAE es el ángulo plano del ángulo diédrico.

ce=√(cd^2-de^2)=√(68-16)=2√13

Según el teorema del coseno cos ∠ CAE = (AC 2 AE 2- CE 2)/(2ac?AE)=(36 64-52)/(2×6×8)= 1/2

∴El ángulo diédrico es de 60 grados.