Se descubrió una nueva estrella en el sistema numérico, los números imaginarios, que está provocando el caos en el mundo matemático. Muchos grandes matemáticos no reconocen los números imaginarios. El matemático alemán Leibniz (1646-1716) dijo en 1702: "Los números imaginarios son un escondite sutil y extraño para los dioses. Bien puede ser un anfibio en el reino de la existencia y la falsedad", dijo el matemático suizo Euler (1707-1783). ; "En todas sus formas, es imposible aprender matemáticas. Imagínese los números, porque representan la raíz cuadrada de un número negativo. Para tales números, sólo podemos afirmar que no son ni nada ni nada." menos que nada. Son puramente ilusorios”. Sin embargo, la verdad puede resistir la prueba del tiempo y el espacio y finalmente ocupa su lugar. El matemático francés d'Alembert (1717-1783) señaló en 1747 que si los números imaginarios se operan de acuerdo con las cuatro reglas aritméticas de los polinomios, entonces su resultado siempre estará en la forma (A y B son números reales) (Nota : En los libros de texto actuales, en lugar de utilizar el símbolo =-I, utilice = uno. El matemático francés Demoivre (1667-1754) descubrió esta fórmula en 1730, que se conoció como el teorema de Demoivre, que fue famoso por Euler en 1748. Fórmula relacional , utilizó I para representar la raíz cuadrada de 1 por primera vez en su artículo "Fórmula diferencial (1777)". Fue pionero en el uso del símbolo I como unidad de números imaginarios. Los "números imaginarios" no son en realidad números imaginarios. , pero existen. 1745-1818 , un topógrafo noruego intentó dar una explicación geométrica intuitiva al número imaginario 1779 y publicó su práctica por primera vez, pero no recibió mucha atención por parte de la comunidad académica. >
El matemático alemán Forrest Gump (1777-1855) publicó la representación gráfica de los números imaginarios en 1806, es decir, todos los números reales se pueden representar mediante un eje numérico. De manera similar, los números imaginarios también se pueden representar mediante puntos en el. plano en el sistema de coordenadas rectangular, tomando el número real correspondiente A en el eje horizontal, el punto A de y el punto B correspondiente al número real B en el eje vertical, dibuje una línea recta paralela al eje de coordenadas a través de estos dos. puntos, y su punto de intersección C representa el número complejo A+Bi De esta manera, el plano cuyos puntos corresponden a los números complejos se llama "plano", más tarde también conocido como "plano de Forrest". Gauss utilizó la matriz real (A, b) para representar el número complejo A+Bi, estableció algunas operaciones con números complejos y realizó algunas operaciones con números complejos tan "algebraicas" como los números reales ". número" en 1832, y también integró dos métodos diferentes para representar el mismo punto en el plano: el método de coordenadas rectangulares y el método de coordenadas polares. La unidad está en forma algebraica y la expresión del mismo número complejo. En forma trigonométrica, el punto en el eje numérico corresponde al número real -1, que se extiende hasta el punto en el plano correspondiente al número complejo -1. Gauss consideraba el número complejo no sólo como un punto en el plano, sino también como un vector. Utilizando la correspondencia entre números complejos y vectores, explicó En este punto, la teoría de los números complejos se ha establecido completa y sistemáticamente.
A través de los esfuerzos incansables y a largo plazo de muchos matemáticos, el número complejo. La teoría se ha discutido y desarrollado profundamente, haciéndola más popular en matemáticas. El fantasma de los números imaginarios que ha estado persistiendo en el campo durante 200 años ha revelado su verdadera cara. Los números imaginarios originales se han convertido en miembros de la familia de los números. el conjunto de números reales se ha extendido al conjunto de números complejos.
Con el avance de la ciencia y la tecnología, la teoría de números complejos se ha vuelto cada vez más importante y no solo tiene una gran importancia para el desarrollo. de las matemáticas en sí, pero también juega un papel importante en la demostración del teorema básico de la sustentación del ala, que se demuestra al resolver el problema de filtración de la presa. Su poder también proporciona una base teórica importante para la construcción de centrales hidroeléctricas gigantes.
De la notación al campo de números complejos: el desarrollo histórico de la teoría del sistema numérico
Autor: Ji Zhigang
Resumen: El desarrollo histórico de la teoría del sistema numérico muestra que Toda ampliación de conceptos marca un progreso en matemáticas, pero este progreso no sigue los pasos lógicos de los libros de texto de matemáticas. El descubrimiento de los números irracionales por parte de los griegos expuso los defectos del sistema de números racionales, y la integridad del sistema de números reales no se completó hasta el siglo XIX. Los números negativos han sido reconocidos por los matemáticos chinos ya en "Nueve capítulos de aritmética". Sin embargo, los europeos del siglo XV todavía se mostraban reacios a reconocer la importancia de los números negativos. La invención de los "cuaterniones" abrió la puerta al álgebra abstracta y al mismo tiempo declaró que los números complejos eran el punto final de la expansión del sistema numérico en el sentido de mantener las reglas operativas tradicionales. El método de notación inventado por los seres humanos no ha restringido su imaginación. La antigua idea china de "los números cambian cuando los números son limitados" todavía tiene un significado positivo para la filosofía matemática contemporánea.
Cita
El número es un concepto básico en matemáticas y una parte importante de la civilización humana. Cada ampliación del concepto de números marca un salto en las matemáticas. El grado de perfección de la comprensión y aplicación de los números y la teoría de los sistemas numéricos por parte de las personas en una época refleja el nivel de desarrollo de las matemáticas en ese momento. Hoy en día, el sistema digital que utilizamos ha sido construido de forma tan completa y minuciosa que se ha convertido en un lenguaje básico y una herramienta indispensable en todos los campos de la ciencia, la tecnología y la vida social. Cuando disfrutamos de esta riqueza común de la civilización humana, ¿hemos pensado en los giros y dificultades que la sabiduría humana ha experimentado en el proceso histórico de formación y desarrollo del sistema numérico?
Símbolos, sistemas posicionales y puntos cero
En el período ignorante de la evolución, los humanos tenían una "capacidad de reconocer números", lo que los psicólogos llaman "la percepción de los números". Los conductistas animales creen que esta "percepción numérica" no es exclusiva de los humanos. Lo destacable de la inteligencia humana es que han inventado varios métodos de contar. El "Libro de los cambios Neiju Li Xia" registra que "en la antigüedad, los nudos se usaban para gobernar, y las generaciones posteriores de santos eran libros fáciles de usar de la dinastía Han del Este, que decían: "Las cosas grandes son nudos grandes; las pequeñas". cosas, los secretos se resumen. El número de nudos depende del número de cosas". De hecho, los nudos se utilizan para hacer nudos. El método de contar y escribir escrituras se puede encontrar en varias partes del mundo, como en Grecia, Persia, Roma, Palestina, Islam y países mesoamericanos, donde existen registros documentados y ejemplares físicos. No fue hasta 1826 que el Tesoro británico decidió dejar de utilizar la escritura como recurso legal. Con el progreso de la sociedad humana, el lenguaje digital también se desarrolla y mejora constantemente. Apareció el primer hito en el desarrollo de los sistemas numéricos: el sistema de notación posicional. La llamada notación posicional utiliza una pequeña cantidad de símbolos para representar diferentes números mediante la disposición de diferentes números. Lo que interesa a los historiadores y a los historiadores de las matemáticas es que diferentes civilizaciones crearon métodos de conteo completamente diferentes bajo la influencia del entorno natural y las condiciones sociales. Como el sistema de numeración cuneiforme babilónico, el sistema de numeración jeroglífico egipcio, el sistema de numeración alfabético griego, el sistema de numeración maya, el sistema de numeración indoárabe y el sistema de numeración chino.
El primer sistema numérico desarrollado debería ser un sistema de agrupación simple. Por ejemplo, los jeroglíficos egipcios del 3400 a. C. están en decimal 10, pero no son posicionales. Entre el 3000 a. C. y el 2000 a. C., los babilonios desarrollaron un sistema numérico posicional de base 60 y adoptaron el sistema posicional, pero no el sistema de base 10. La notación más importante y apasionante es la notación posicional decimal.
El famoso matemático francés Laplace (1749–1827) escribió una vez:
Utilice diez símbolos para representar todos los números, cada símbolo no solo tiene un valor absoluto, así como el valor de posición . Este ingenioso método proviene de la India. Esta es una idea profunda e importante. Parece tan simple hoy que pasamos por alto su verdadera grandeza. Pero es precisamente su sencillez y su gran comodidad para todos los cálculos lo que sitúa a nuestra aritmética en primer lugar entre todos los inventos útiles. Cuando prestamos atención al genio de Ronios, sentimos aún más la grandeza de este logro;
Los comentarios de Laplace son maravillosos, pero es una lástima que fuera arrogante y culpara a la India por este invento. Hay datos históricos suficientes y concluyentes para demostrar que el sistema de notación de 10 dígitos surgió por primera vez en China. Esto también lo defienden algunos historiadores de las matemáticas occidentales. Joseph Needham señaló una vez: "Detrás de los 'números indios' que Occidente luego dio por sentado, el sistema de posiciones existe en China desde hace dos mil años. Sin embargo, la aparición de la notación posicional de 10 decimales no puede atribuirse simplemente a". la sabiduría del genio.
Los avances en notación están relacionados con mejoras en las herramientas computacionales. Las investigaciones muestran que el sistema de notación de 10 decimales se originó en China, lo que es inseparable del uso de los cálculos y la evolución del sistema de cálculo.
Como vacante en notación, el "0" es indispensable en la civilización de la notación posicional. La notación cuneiforme babilónica temprana y la notación china antes de la dinastía Song dejaban espacios y ningún símbolo. Inicialmente, los indios también usaban espacios para representar el cero, luego lo registraban como puntos y finalmente se convertían en números redondos. La tecnología digital india se introdujo en los países árabes en el siglo VIII. A principios del siglo XIII, el comerciante italiano Leonardo Fibonacci (1175-1250) compiló el Libre Abbachi (1202), que introdujo en Europa los números indios completos, incluido el cero. Los números indios y la notación decimal han jugado un papel importante en el avance de la ciencia y la civilización en Europa desde que fueron generalmente aceptados por los europeos.
En segundo lugar, la notación de números grandes
Los antiguos griegos una vez hicieron una pregunta: Pensaban que la arena en el mundo era infinita. Incluso si no fuera infinita, la habría. Nadie puede escribir más que arena. Arquímedes, BC287-212+02) Respuesta: No, en la Miríada, Arquímedes estableció un nuevo sistema de notación basado en la miríada para que se pueda representar cualquier número grande. Su enfoque es: de 1 a 100 millones (el texto original es 100 millones, rebautizado como 100 millones según la costumbre china), que se denomina serie 1 con 100 millones (108) como unidad, de 100 millones a; 100 millones (108) 2 se llama segunda secuencia; en miles de millones, hasta mil millones (108) 3 se llama tercera secuencia. Hasta los últimos 100 millones de la serie de 65438+ mil millones. Arquímedes calculó que la cantidad de arena que llenaba el universo era sólo de 1.051. Incluso si se expande al "universo estelar", es decir, la esfera celeste con la distancia del sol a las estrellas como radio, ¡sólo puede acomodar 1063 granos de arena!
El mismo problema también apareció en la antigua China. El número antes de la dinastía Han era 10, que era 65438+100 millones. Wei explicó el artículo 16 de "Guoyu·Zheng Yu": "Cosas que involucran cientos de millones de cosas, cosas que se pueden predecir con materiales, cosas que se pueden lograr siguiendo las escrituras y entrando en el Tao, y haciendo cosas extremas. " Tenga en cuenta: "Calcular significa contar; material significa cortar. Tang Jia dijo que todo es mil millones, y Zheng Hou Sinong dijo: Cien mil millones son mil millones, y mil millones es un símbolo. Se ha contado desde la antigüedad". El Libro de Numerología" "" registra un conjunto completo de nombres y tres métodos para llevar números grandes. "Numerología" dice:
El método del Emperador Amarillo tiene diez niveles y tres formas de uso. La décima categoría es Yi, Zhao, Jing, Yi, Yi, Tu, Ditch, Liu, Zheng y Zai; la tercera categoría es superior, media e inferior; Los próximos. Diez cambios, si dices cien mil, mil millones, diez millones, Beijing. Los que están en medio de los números nunca lo cambiarán. Si dicen 100 millones, 100 billones, 100 billones, dirán Beijing. Cambia cuando seas pobre. Usted dice cien millones, cien millones significa un billón y un billón significa Beijing. De 100 millones a la carga, finalmente es genial.
La importancia matemática del "Método de los números grandes" en "Notas de numerología" no es sólo que construye tres métodos de conteo, sino que, lo que es más importante, revela el difícil proceso de comprensión de los números de finitos a infinito. Las necesidades objetivas y el desarrollo de las matemáticas impulsan a las personas a comprender y dominar números cada vez más grandes. Inicialmente, para algunos números grandes, la gente podía entenderlos y expresarlos en las unidades de conteo existentes. Sin embargo, con el desarrollo de la comprensión de la gente, estos grandes números también se están expandiendo rápidamente, lo que dificulta el uso de las unidades de conteo originales. La gente no puede evitar preguntarse:
¿Son malos los números?
Esta es una propuesta importante que necesita respuesta en el desarrollo de sistemas numéricos. La conversación entre Xu Yue y su maestro Liu Hong registrada en "Numerology Legacy" explica de manera incisiva el profundo principio de "si eres pobre, cámbialo":
Xu Yue preguntó: ¿Es este número una persona pobre?
Hui Ji (Liu Hong) respondió: Una vez viajé a la montaña Tianmu y cuando vi a un ermitaño, no sabía su nombre. Lo llamé Sr. Tianmu y le pregunté esto. El Sr. Wang dijo: Las cosas en el mundo no se pueden comparar entre tres y dos, así que ¿por qué molestarse en comparar con la cuarta dimensión? Si no sabes tres, hablemos de diez. Sin distinguir el tamaño, conocemos decenas de miles de millones. El Emperador Amarillo tiene diez leyes. .....De miles de millones a miles de millones, y finalmente la grandeza.
Hui Ji preguntó: Señor, si hay menos personas en la lista, cambiará. Dado que la nube es finalmente grande y su extensión es limitada, ¿cómo puede ser infinita?
El Sr. Wang respondió: Use números, cambie el tamaño de las palabras, agrande las palabras pequeñas y agregue bucles. ¡Circulación y pobreza!
El enfoque del Sr. Tianmu es comprender el infinito con la ayuda de la "teoría de la circulación" de "usar lo pequeño para hacer lo grande", y la idea importante que guía este enfoque es "énfasis en el hecho de que las palabras. puede cambiar."
Incluso hoy en día, todavía vale la pena reflexionar sobre la profunda filosofía contenida en el simple pensamiento dialéctico de que "la pobreza conduce al cambio".
En tercer lugar, el sistema de números racionales
La aparición de la notación posicional marca que el lenguaje digital dominado por los humanos ha evolucionado desde una pequeña cantidad de caracteres hasta un sistema numérico con reglas de operación completas. El primer sistema numérico conocido por la humanidad fue el "sistema numérico natural". Sin embargo, con el desarrollo de la comprensión humana, los defectos del sistema numérico natural quedan gradualmente expuestos. En primer lugar, el sistema numérico natural es un sistema numérico discreto y no denso [2]. Por lo tanto, como representación de una cantidad, solo puede limitarse a múltiplos enteros de la cantidad unitaria, pero no a sus partes. Al mismo tiempo, como medio de cálculo, en el sistema de números naturales solo se pueden realizar operaciones de suma y multiplicación, pero sus operaciones inversas no se pueden realizar libremente. Estas deficiencias se compensan con la presencia de fracciones y números negativos.
Curiosamente, estas puntuaciones también tienen fuertes características regionales. Las fracciones babilónicas eran decimales 60, Egipto usaba fracciones simples y las fracciones árabes eran más complejas: fracciones simples, fracciones unitarias y fracciones compuestas. Esta compleja representación de fracciones conduce inevitablemente a métodos complejos de operación de fracciones, por lo que la teoría de fracciones europea se estancó durante mucho tiempo, y no fue hasta el siglo XV que se formaron gradualmente los algoritmos de fracciones modernos. En marcado contraste, China hizo contribuciones destacadas a la teoría de fracciones en la antigüedad.
El concepto original de fracciones proviene de la división de cantidades. Por ejemplo, "Shuowen Babu" explica "fen": "Fen, no. Desde la perspectiva de ocho espadas, las espadas también están separadas". Y las fracciones en "Nueve capítulos de aritmética" se introducen a partir de la operación de división. Hay un dicho en "División y encabezado": "La verdad es lo mismo que la ley. Aquellos que no estén satisfechos con la ley serán castigados por la ley. Divida el dividendo por el divisor". Si no es separable, defina una fracción. La brillantez de la antigua teoría de fracciones china es que utiliza la "homología" para capturar la esencia de los algoritmos de fracciones: fracciones generales. Liu Hui dijo en "Nueve capítulos de notas aritméticas":
Muchos puntos están mezclados y no detallados. Tómalo y espárcelo, así que pásalo. Una vez pasado, se puede fusionar. La multiplicación de madres comunes se llama Qi y la multiplicación de madres grupales se llama unidad. La misma persona, la misma apariencia, la misma madre. El Qi, el niño y la madre son Qi y no se puede perder el impulso.
Usando la misma técnica, puedes dividir fracciones en tipos iguales, disfrazados y opuestos. Liu Hui conocía el secreto y dijo: "Pero debe ser la misma habilidad. ¿Aún admiras el grado de complejidad y armonía dinámica? Desata el nudo e ignóralo. Multiplicar y dispersar se trata de reunión, unión y armonía". una disciplina.”
Es fácil demostrar que el sistema de fracciones es un sistema de números secreto y está cerrado para la suma, la multiplicación y la división. Para que la resta funcione sin problemas en un sistema numérico, la presencia de números negativos es inevitable. El excedente y la deficiencia, los ingresos y los gastos, el aumento y la disminución, son todos ejemplos del concepto de números negativos en la vida. Los libros de texto suelen seguir este camino cuando enseñan a los estudiantes números negativos. Esto lleva a un malentendido: parece que los humanos introdujeron los números negativos a partir de esta comprensión de cantidades con significados opuestos. Los hechos históricos muestran que los números negativos fueron introducidos por primera vez por matemáticos chinos, que fueron determinados por algoritmos altamente desarrollados y cálculos mecanizados en las antiguas matemáticas tradicionales chinas. El concepto y algoritmo de números negativos apareció por primera vez en las "Ecuaciones" de "Nueve Capítulos de Aritmética" porque al sumar, restar, multiplicar y dividir entre dos líneas de la "Ecuación", es necesario introducir números negativos para establecer un algoritmo. para números positivos y negativos. La anotación de Liu Hui ilustra profundamente este punto:
Las ganancias y pérdidas de hoy son relativas y la respuesta positiva es la rectificación del nombre. Los positivos son rojos, los negativos son negros, en caso contrario los oblicuos son diferentes. Las ecuaciones tienen sus propias técnicas para obtener fases roja y negra y derivar números izquierdo y derecho. Sin embargo, la tendencia a la baja no se puede comunicar ampliamente, por lo que se eliminan las fases roja y negra. ..... Entonces la mezcla de rojo y negro es suficiente para determinar el curso superior e inferior. Aunque la pérdida de ganancias es suficiente para exceder los números izquierdo y derecho, la diferencia es suficiente para alcanzar el margen. Pero no tiene nada de malo y tampoco tienen nada de malo sus tarifas.
Aunque los números negativos llegaron a Europa a través de escritos árabes, la mayoría de matemáticos de los siglos XVI y XVII no los reconocían como números o, si lo hacían, no los consideraban raíces de ecuaciones. Por ejemplo, Nicholas Churchet (1445-1500) y Stiefel (1486-1567) describieron los números negativos como números absurdos, "cero negativo absurdo". Cardan (1501-1576) consideraba los números negativos como raíces de ecuaciones, pero los consideraba soluciones imposibles, sólo algunos signos a las raíces negativas las llamaba raíces imaginarias; Veda (Vieta, 1540-1630) no quería números negativos en absoluto, y Pascal (1623-1662) pensaba que 0 menos 4 era pura tontería.
Los números negativos son la primera vez que el ser humano cruza el rango de los números positivos. Toda experiencia previa es completamente inútil ante los números negativos. En el proceso histórico de desarrollo de los sistemas numéricos, la experiencia práctica a veces no sólo es inútil, sino también un obstáculo. Como veremos, los números negativos no son el único ejemplo.
En cuarto lugar, la perfección de la teoría de los números reales
El descubrimiento de los números irracionales hizo añicos el sueño de los pitagóricos de que “todo tiene un número”. Al mismo tiempo, también expuso los defectos del sistema de números racionales: aunque los números racionales en línea recta están "densamente empaquetados", hay muchos "poros" que se filtran y hay muchos "números incontables". De esta manera, los antiguos griegos creían que los números racionales eran un continuo aritmético continuamente conectado. La hipótesis quedó completamente destrozada. Su colapso tendría profundas consecuencias para el desarrollo de las matemáticas durante los próximos dos milenios. ¿Cuál es la naturaleza de la inconmensurabilidad? Durante mucho tiempo ha habido muchas opiniones diferentes. La proporción de dos cantidades inconmensurables también se considera un número ilegítimo porque no puede interpretarse correctamente. Leonardo da Vinci (1452-1519) los llamó "números irracionales", y aunque J. Kepler (1571-65438) utilizó gradualmente estos "números irracionales" y números "indescriptibles" en cálculos posteriores, al final resultaron ser reales. Los números siempre han sido una cuestión desconcertante.
Cuando las matemáticas chinas antiguas se ocupan de problemas de raíz, es inevitable encontrar raíces irrazonables. Con respecto a este número "ineagotable", "Nueve capítulos sobre aritmética" acepta directamente que "encontrar la diferencia" en la nota de Liu Hui es en realidad usar decimales de 10 para aproximar infinitamente números irracionales. Esta es una forma correcta de completar el sistema de números reales, pero las ideas de Liu Hui excedieron con creces su tiempo y no lograron atraer la atención de las generaciones futuras. Las matemáticas tradicionales chinas se centran en el cálculo de cantidades y tienen poco interés en las propiedades de los logaritmos. (Li) Los griegos, que eran buenos haciendo preguntas, no pudieron superar este obstáculo. Como no se puede superar, hay que evitarlo. A partir de entonces, matemáticos griegos como Eudoxo y Euclides evitaron estrictamente equiparar en su geometría los números con cantidades geométricas. La teoría de las proporciones de Eudoxo (ver Volumen 5 de Elementos) permitió a la geometría sortear lógicamente obstáculos inconmensurables, pero durante mucho tiempo formó la relación entre geometría y aritmética.
El desarrollo del cálculo en los siglos XVII y XVIII atrajo la atención de casi todos los matemáticos, y fue la atención de la gente a los fundamentos del cálculo lo que hizo que la continuidad del campo de los números reales volviera a ser prominente. Porque el cálculo es matemática variable basada en operaciones de límite, y las operaciones de límite requieren un campo numérico cerrado. Los números irracionales son la clave de la continuidad en el campo de los números reales.
¿Qué son los números irracionales? El matemático francés A. Cauchy (1789-1875) dio la respuesta: Los números irracionales son el límite de la secuencia de números racionales. Pero según la definición de límite de Cauchy, el llamado límite de una secuencia de números racionales significa que hay un cierto número por adelantado, de modo que la diferencia entre él y los números de la secuencia puede ser arbitrariamente pequeña cuando la secuencia se acerca al infinito. ¿Pero de dónde viene este “número” preexistente? Según Cauchy, el límite de la secuencia racional parecía existir a priori. Esto muestra que, aunque Cauchy fue un gran analista en ese momento, todavía no pudo deshacerse de la influencia de las ideas tradicionales basadas en la intuición geométrica durante más de dos mil años.
La tarea histórica de construir independientemente un cuerpo numérico completo a partir de matemáticas variables fue finalmente completada en la segunda mitad del siglo XIX por Weierstrass (1815-1897) y Dedekind (r. dede kind 1831-65438).
1872 es el año más memorable en la historia de las matemáticas modernas. Este año F. Kline (1849-1925) propuso el famoso programa de Erlanger y Wilstras dio un famoso ejemplo de una función que es continua en todas partes pero no diferenciable en todas partes. También fue en este año que surgieron en Alemania tres escuelas principales de teoría de números reales: la teoría de la "división" de Dedekind; la teoría de la "secuencia básica" de Cantor y la teoría de la "secuencia monótona acotada" de Weierstrass.
El propósito de intentar establecer números reales es dar una definición lógica formal que no dependa del significado geométrico y evite el error lógico de usar límites para definir números irracionales. Con estas definiciones como base, la derivación del teorema fundamental de los límites en cálculo no implica ciclos teóricos. Por lo tanto, las derivadas y las integrales pueden basarse directamente en estas definiciones, sin propiedades relacionadas con el conocimiento perceptivo. Los conceptos de geometría no pueden entenderse completamente ni ser precisos, como se ha demostrado durante los largos años de desarrollo del cálculo.
Por lo tanto, el rigor necesario sólo puede alcanzarse a través del concepto de número, una vez cortada la conexión entre el concepto de número y el concepto de cantidades geométricas. Aquí, el trabajo de Dedekind es muy apreciado porque los números reales definidos por la "división de Dedekind" son creaciones intuitivas de la inteligencia humana que son completamente independientes del espacio y el tiempo.