El vector que se analiza en el libro de texto es una cantidad con propiedades geométricas. Además del vector cero, siempre es posible dibujar flechas para indicar la dirección. Sin embargo, hay muchos más vectores en matemáticas superiores. Por ejemplo, si todos los polinomios de coeficientes reales se ven como un espacio polinómico, el polinomio aquí puede verse como un vector. En este caso, es imposible encontrar el punto inicial y el punto final, o incluso dibujar una flecha para indicar la dirección. Los vectores en este espacio son mucho más anchos que los vectores en geometría. Puede ser cualquier objeto matemático o físico. Esto puede guiar la aplicación de métodos de álgebra lineal a áreas amplias de las ciencias naturales. Por tanto, el concepto de espacio vectorial se ha convertido en el concepto más básico de las matemáticas y en el contenido central del álgebra lineal, y sus teorías y métodos se han utilizado ampliamente en diversos campos de las ciencias naturales. Los vectores y sus operaciones lineales también proporcionan un modelo concreto para el concepto abstracto de "espacio vectorial".
Desde la perspectiva de la historia del desarrollo de las matemáticas, durante mucho tiempo en la historia, los matemáticos no reconocieron la estructura vectorial del espacio. No fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que se conectaron las propiedades del espacio con las operaciones vectoriales, haciendo de los vectores un sistema matemático con una excelente universalidad operativa.
Para que los vectores entren en matemáticas y se puedan desarrollar, primero debemos comenzar con la representación geométrica de los números complejos. A finales del siglo XVIII, el topógrafo noruego Wiesel utilizó por primera vez puntos en el plano de coordenadas para representar el número complejo A Bi y definió las operaciones de los vectores mediante operaciones geométricas complejas. Los puntos en el plano de coordenadas están representados por vectores y la representación geométrica de vectores se utiliza para estudiar problemas geométricos y trigonométricos. La gente aceptó gradualmente los números complejos y aprendió a usarlos para representar y estudiar vectores en el plano.
Pero el uso de números complejos es limitado porque sólo pueden usarse para representar planos. Si hay fuerzas que no están en el mismo plano actuando sobre el mismo objeto, necesitamos encontrar los llamados "números complejos" tridimensionales y el sistema de operación correspondiente. A mediados del siglo XIX, el matemático británico Hamilton inventó los cuaterniones (incluidas la parte cantidad y la parte vector) para representar vectores en el espacio. Su trabajo sentó las bases para el álgebra vectorial y el análisis vectorial. Posteriormente se estableció la teoría electromagnética.
Gubbs y Hiveside completaron de forma independiente el inicio del análisis vectorial tridimensional y la división formal de cuaterniones en el Reino Unido en la década de 1980. Propusieron que un vector es sólo la parte vectorial de un cuaternión, pero no es independiente de ningún cuaternión. Introdujeron dos tipos de multiplicación, el producto de cantidades y el producto cruzado, y generalizaron el álgebra vectorial al cálculo vectorial con vectores variables. Posteriormente, se introdujeron métodos vectoriales en el análisis y la geometría analítica.