= [f(x)f(y) - f(x)]/y
= f( x)[f(y) - 1]/y
= f(x)[1 + yg(y) - 1]/y
= f(x)g( y)
Porque lim g(x)=1 (x tiende a 0)
Por lo tanto
Para cualquier número real x,
Lim f(x)g(y) (y tiende a 0) existe, y
Lim f(x)g(y) (y tiende a 0) = f(x)
Entonces, para cualquier número real x,
Lim{[f(x+y)-f(x)]/y} (y tiende a 0) existe, y
Lim{[f(x+y)-f(x)]/y }(y tiende a 0) = lim f(x)g(y) (y tiende a 0) = f(x)
Por lo tanto,
F(x) es diferenciable, y
f'(x) = f(x)