La generalización de objetos matemáticos es un proceso opuesto a la especialización. Si los objetos A y B están en fase, B se llama producto generalizado de A bajo D, como de un círculo a una elipse, del diámetro de un círculo a la cuerda de un círculo, de la cuarta ecuación de la forma x4 AX2 B = 0 a x4 A1x3 A2X2 A3X A4 = 0 forma de la cuarta ecuación. De grupos abelianos a anillos, de espacios métricos lineales a espacios topológicos lineales, de grupos a grupos topológicos, etc. Es una generalización bajo estándares no triviales (lo que son los estándares se discutirá más adelante). Para una proposición (o un enunciado general) sobre un objeto X, se puede obtener una proposición generalizada reemplazando X con un objeto más general y ajustando el enunciado apropiadamente.
Por ejemplo, "Existen infinitos números naturales n, tales que 2n 1 y 3n 1 son números cuadrados perfectos" se puede resumir como "Existen infinitos números naturales n, tales que para un número natural dado número m, Mn 1, ( m 1) n 65433.
Cabe señalar que al promover una proposición, la forma de ver los objetos involucrados en la proposición afecta directamente la verdad de la proposición promocionada. Por ejemplo, si la suma de los ángulos interiores de un triángulo es El "tres" en "igual a 180" se reemplaza por un número natural general n (n≥3), entonces la proposición general "la suma de los ángulos interiores de un Un polígono de N lados es igual a 180", obviamente no lo es. Pero si 180 se escribe como (3-2) × 180 y luego se cambia 3 a N, entonces la proposición general "La suma de los ángulos interiores de N polígonos es igual a (n-2) 180" es cierto.
Al igual que la especialización, la generalización también es multidireccional y tiene grados (jerárquica) y condicional, así como la diversidad de caminos específicos desde el objeto especial A hasta objeto general b. Al mismo tiempo, para un objeto matemático, es tanto el punto de partida como el punto final de la generalización. El punto final de la generalización en diferentes direcciones
La generalización es multidireccional y. Proviene del punto de partida multifacético de la generalización del objeto. Los factores objetivos se refieren a todos los aspectos de la composición del objeto. El factor subjetivo se refiere a la interpretación del objeto: cómo ver un objeto determinado, incluido el juego de la iniciativa subjetiva humana. desde diferentes puntos de partida se pueden obtener diferentes productos de generalización.
Ejemplos 1 El objeto A=34 tiene dos componentes básicos: la base es 3 y el exponente es 4. Si 4 se generaliza a la variable Especial. y las relaciones generales son el producto de generalizar A en diferentes direcciones.
Vale la pena señalar que la generalización de componentes no puede conducir a la generalización del objeto en sí. Un objeto puede. En realidad, puede considerarse como un sistema compuesto por algunos componentes de acuerdo con ciertas restricciones. Los cambios de un componente están restringidos por otros componentes hasta cierto punto, y los cambios de componentes no son absolutamente libres. Por ejemplo, 2- Después de 1 se generaliza a. x-1, X está sujeto a las siguientes restricciones del índice -1: La generalización de componentes no solo conducirá a la generalización de objetos, sino también al debilitamiento de la relación entre componentes, y esta es una forma importante de generalización: Hablaremos de esto en detalle más adelante. Explique que esta también es una de las razones de la generalización multidireccional (como sistema, un objeto tiene dos componentes básicos: componentes de elementos y sus conexiones. Los cambios en componentes y conexiones son los dos aspectos objetivos básicos de. cambios de objeto).
2. Aplicación general
La generalización es una forma de pensamiento económico. Cuando se resuelven problemas generales, los problemas especiales a menudo pueden resolverse mediante objetos especiales. Cuando la gente comprende las propiedades de los objetos generales, no es necesario demostrar que los objetos especiales tienen dichas propiedades uno por uno. Siempre que esté claro que estos objetos son especiales, podemos concluir que deben tener esta propiedad. De esta manera, la comprensión de un objeto general (en términos de sus características) en realidad incluye la comprensión de muchos aspectos relacionados de objetos especiales, es decir, uno es equivalente a muchos, salvando así el poder de pensamiento de las personas.
Por ejemplo, después de saber "para el número real A, a2 ≥ 0", no es necesario verificar 22 ≥ 0, 1,52 ≥ 0, (-0,02). ...etcétera. De hecho, es imposible completar este procedimiento de verificación porque el número de números reales es infinito o incluso incontable. Además, si uno se limita a este tipo de trabajo de verificación, al final solo obtendrá algo de experiencia. Sin infinito no habría ciencia del universo (Poincaré). Sin generalización, la gente no pasaría de la pobreza al infinito, no se producirían matemáticas y no se producirían otras ciencias.
Cabe señalar que la sustitución de objetos generales por objetos especiales es en un aspecto determinado, no en ningún aspecto. De hecho, un objeto especial se llama objeto especial porque tiene sus propias características o "personalidad". Por ejemplo, A en a2≥0 solo puede reemplazar a 2 (22≥0), y otras propiedades de 2 (como los números pares) no necesariamente se derivan de A.
La generalización es un camino de investigación académica . Lleva a la gente de lo especial a lo general. Por ejemplo, el teorema hexagonal de Pascal (ahora conocido como) descubierto por el matemático francés Pascal en el siglo 65, 438 07 cuando tenía 65, 438 06, ha pasado por un proceso de generalización (si un hexágono está inscrito en una sección cónica, entonces cada dos lados opuestos se cruzan para formar una línea de tres puntos * * *). Primero, estudió fuerzas especiales. Luego, la generalización de círculos a cónicas se logra mediante proyección y sección, lo que demuestra ser válido para todas las cónicas. Por poner otro ejemplo, a Hilbert, el maestro en matemáticas, la gente suele asociarlo con el formalismo y los métodos axiomáticos, pensando que esa es la esencia de su pensamiento. De hecho, también tiene un camino de investigación muy importante, de lo específico a lo general: la generalización. El famoso matemático Weill dijo en un artículo escrito para la Royal Society: "Hilbert siempre tuvo la suerte de lograr un equilibrio entre dominar un problema específico y formar un concepto abstracto general. Hilbert siempre estuvo interesado en captar los signos que revelaban relaciones generales entre sí". él. Durante su estudio de la teoría de números, Hilbert formuló el teorema general sobre los campos de clases y la ley general de reciprocidad. Esto también explica los factores anteriores. "La teoría de campos logarítmicos de Hilbert... se estudió durante el período 1892-1898. Después de que se publicó el artículo, se desarrolló paso a paso desde lo especial a lo general, involucrando muchos conceptos y métodos útiles, revelando la "conexión interna esencial". Lagrange y Hamilton también descubrieron lo general a partir de lo particular.
Es obvio que la generalización ayuda a potenciar la universalidad de la cognición y ampliar el alcance de la cognición. La encarnación es la expansión de la extensión del objeto, que también es una. de los propósitos de la generalización Debido al aumento en la adaptabilidad de los hechos (o conceptos), sienta las bases para la aplicación de este concepto en una amplia gama, como controlar la existencia de funciones continuas en intervalos cerrados. El teorema y el teorema del valor intermedio se extienden hasta cierto punto, se pueden usar en muchos campos. La fórmula significa que después de resolver la ecuación x2 5x-7 = 0
puedes resolver cualquier problema real con a. coeficiente cuadrático de 1. Coeficientes de ecuaciones cuadráticas (por ejemplo, x2-3x-5 = 0). Entre los medios más concretos de generalización, el simbolismo y la abstracción son dos formas importantes de mejorar la generalidad cognitiva. Es un lenguaje (simbólico) caracterizado por el uso extensivo de diversos símbolos, y con el desarrollo de la historia esta característica se expresa cada vez más (por ejemplo, después de que se presentó el punto de vista formal de Hilbert, esta tendencia tal vez se intensificó aún más). Se puede decir que la lógica matemática es particularmente importante. La generalización del contenido matemático (objetos, proposiciones, etc.) va acompañada de cambios en el lenguaje matemático o en las palabras (como números reales → números complejos; funciones continuas → funciones integrables de Lebesgue; etc.). .), o cambios semánticos (como funciones continuas en cálculo ordinario → funciones continuas en topología, también llamadas funciones continuas, pero la primera es más especial que la segunda. También ha pasado por un proceso de un sentido estricto a un sentido amplio). sentido, es decir, de lo específico a lo general. Hasta cierto punto, se puede decir que la introducción de símbolos ha sentado una base lingüística para la generalización. Por ejemplo, en F. Vieta las letras se utilizan de forma consciente y sistemática. , el álgebra (teoría de sistemas de ecuaciones) era básicamente álgebra expresada en el lenguaje.
En esa época, las ecuaciones se describían con palabras en lugar de escribirse en formas concisas como AX2 BX C = 0. Las ecuaciones con las que trabajaba la gente eran simplemente varias ecuaciones muy específicas expresadas en palabras. Después de que David introdujo los símbolos, la situación cambió sustancialmente. Usó letras para representar cantidades desconocidas y sus poderes. Las letras también se utilizan hoy en día para representar los llamados coeficientes generales (variables constantes). Generalmente usa consonantes para representar cantidades conocidas y vocales para representar cantidades desconocidas. Con la ayuda de símbolos se puede dar la fórmula general AX2 BX C = 0 de una ecuación cuadrática, que es una * * * homofonía de un tipo de ecuación. Es un elemento general, no una ecuación específica. Cuando la ecuación se generaliza, se puede considerar su solución general y encontrar soluciones a la ecuación cuadrática. Esto ha llevado a la sublimación de la comprensión de la gente sobre la resolución de ecuaciones. Aquí resulta obvio que la transformación del álgebra literal al álgebra simbólica, del estudio de ecuaciones individuales al estudio de ecuaciones generales, se basa en la introducción de símbolos. Por otro lado, a veces se introducen símbolos para ampliar específicamente el alcance del conocimiento existente, y los símbolos introducidos son elementos nuevos agregados al formulario. Esto ocurre a menudo en aplicaciones donde el principio de agregar elementos está completo. Por ejemplo, para los números naturales {65438, en el rango de 2,...,n,...}, la suma y la multiplicación son cerradas y sin obstáculos, pero sus operaciones inversas, la resta y la división, no. Para eliminar o superar esta limitación, las personas introducen los símbolos 0, -1, -2, ..., -n, ..., de modo que A x = b siempre se pueda resolver, es decir, la resta es cerrada (eliminando no) de modo que la suma y La ley original de la multiplicación es la solución formal de la ecuación correspondiente. Por supuesto, los símbolos no se pueden introducir casualmente y los elementos generales del intervalo correspondiente están generalizados. Aquí, los símbolos introducidos son implementadores directos de la generalización, una forma importante de popularización de las matemáticas.
El principal medio para ampliar el alcance del conocimiento en forma de abstracción es la axiomática (los axiomas pueden considerarse como el producto de separar y generalizar las características de cosas específicas), incluida la axiomatización formal moderna. Después de que la gente estudia el sistema de axiomas, las propiedades correspondientes de varios sistemas específicos (que satisfacen los axiomas) quedan claras. Las estructuras algebraicas suelen ser axiomáticas. El objeto dado por los axiomas, independientemente de sus elementos constitutivos específicos, siempre que la relación entre los elementos satisfaga los axiomas, este objeto es abstracto porque está definido por la naturaleza (no es que el objeto restrinja la naturaleza, sino todo lo contrario) . Las conclusiones de un sistema axiomático son aplicables a cualquier sistema específico que satisfaga estos axiomas, mientras que las conclusiones extraídas por un sistema específico solo son aplicables a sí mismo (es necesario verificar si también son válidas para otros sistemas), por lo que las conclusiones del axioma son más universales.
La generalización ayuda a mejorar la profundidad de la comprensión (la universalidad y la profundidad son dos características básicas de la ciencia). La gente generaliza no sólo por generalizar, sino también para comprender mejor y más profundamente las particularidades.
La precisión y la claridad son signos importantes de una cognición más profunda. La generalización facilita la precisión cognitiva. Por ejemplo, con respecto al rango rk de una matriz, existe el siguiente teorema en álgebra avanzada:
Para las matrices An×m1, Bn×m2, existen
max{rk( A), rk(B )}≤rk(A,B)
≤min{n,rk(A) rk(B)}.
Es imposible dar la expresión de rk(A, b) usando los métodos comunes del álgebra avanzada, pero con la ayuda de la generalización de la matriz inversa, la matriz inversa generalizada, podemos hacerlo. y lograr la precisión de la fórmula rk(A, b):
rk(A,B)=rk(A) rk[(I-AA)B]
=rk (B) rk[(I-BB )A].
Donde I es la matriz identidad, A y B son las inversas de Moore-Penrose de A y B respectivamente. Aquí, la generalización de conceptos conduce a la precisión y cuantificación de proposiciones.
La generalización es una forma de aprendizaje sistemático. Si las personas enumeran los conceptos y proposiciones de un determinado tema o libro de texto, y los enumeran en orden de especial a general, les ayudará a recordar y aprender sistemáticamente. En teoría, esta tabla también tiene un cierto papel rector en la investigación científica. Los explicaremos en detalle en la siguiente sección.