Se sabe que son los vértices izquierdo y derecho de la elipse, es decir, el superior vértice. es un punto en movimiento sobre la recta, el otro punto de intersección de y es, el otro punto de intersección de y es.
(1);
(2) Demostrar: Una recta pasa por un punto fijo.
Responde la pregunta 1
Responde primero la pregunta básica 1.
Según el significado de la pregunta, las coordenadas de estos tres puntos son:
La ecuación es:
Análisis de la segunda pregunta
Hay dos rutas (direcciones) básicas para resolver problemas matemáticos en el examen de ingreso a la universidad: primero, acercarse a algunos modelos básicos (preguntas); segundo, analizar desde las ideas y métodos básicos.
Utilizamos la ruta 2 para resolver este problema y mostrar el proceso de análisis de forma "autopreguntante y autorespondedora".
: ¿Cuál es el objeto en esta pregunta? ¿Cuál es la relación entre los objetos?
En este problema, los objetos básicos son elipses, líneas rectas y cuerdas elípticas. Es un punto en movimiento sobre una línea recta; es un punto fijo sobre una elipse.
¿Cómo demostrar que una recta pasa por un punto fijo?
Si las coordenadas de un punto fijo siempre satisfacen la ecuación de una familia de rectas (un conjunto de rectas en movimiento), entonces el punto fijo siempre está sobre estas rectas cambiantes, entonces pasa una recta; a través de este punto fijo.
Si la ecuación se puede escribir como:, el punto fijo está en el eje, y las coordenadas.
Si la ecuación se puede escribir como:, el punto fijo está en el eje, y las coordenadas.
Relativamente hablando, la mayoría de la gente está familiarizada con la primera forma; la segunda forma es un poco desconocida. Los proponentes a veces escriben sobre esto.
¿Qué conclusiones se pueden extraer del análisis geométrico? ¿Puedes adivinar la ubicación aproximada del punto fijo?
Piensa en el problema en términos de simetría. Los ejes son los ejes de simetría de elipses y rectas. Por lo tanto, para cualquier punto en una línea recta, su punto de simetría con respecto al eje también está en esta línea recta.
Siguiendo la línea de pensamiento: si lo cambiamos a , entonces la línea también cambiará. Tenga en cuenta que la suma es una línea recta simétrica con respecto a dos ejes y su punto común debe estar en el eje.
Entonces el punto fijo en este problema debe estar en el eje. Ésta es una conclusión de etapa importante. Puede ayudarnos a simplificar los cálculos posteriores.
¿Qué conclusiones se pueden sacar del análisis algebraico? ¿Qué cantidades se conocen? ¿Qué cantidad se desconoce? ¿Qué cantidad está cambiando? ¿Cuál es la relación entre los cambios?
La ecuación de la elipse es conocida en esta pregunta (la conclusión de la pregunta 1); el punto es un punto fijo conocido;
La recta es; una línea recta fija conocida; es una línea recta en movimiento.
Nota: Todos estos puntos están en la elipse. Entonces, en este problema, puedes encontrar muchas cadenas de elipses:
Las cuerdas de elipses son objetos de investigación importantes en la geometría analítica de la escuela secundaria. Tiene las siguientes propiedades:
Propiedades de la cuerda de una elipse: Existe una relación concisa entre la pendiente de la cuerda de una elipse y las coordenadas de su punto central. Para una elipse con el origen como centro de simetría, se puede expresar de la siguiente manera: o:
En la fórmula anterior, es el punto medio de la cuerda que representa el origen;
Esta propiedad no es un teorema, pero se puede deducir rápidamente utilizando el método de diferencia de cuadrados (también llamado método de diferencia de puntos), que puede denominarse conclusión universal. En el examen de ingreso a la universidad, esta conclusión común aparece muchas veces. Suposición razonable: este atributo también puede desempeñar un papel en la resolución del problema en cuestión.
La relación anterior es cierta para muchas cadenas que aparecen en esta pregunta.
Dado que (es decir) es una cuerda elíptica, el punto medio de la cuerda se puede encontrar en función de su pendiente.
Del mismo modo, a partir de la pendiente de una recta se pueden encontrar las coordenadas de un punto.
Nota: Todos son puntos de la elipse y hay muchas cuerdas que pasan por estos cuatro puntos. Las coordenadas de los puntos medios de estas cuerdas están relacionadas.
Es el eje mayor de la elipse, y este punto es el origen.
Otros puntos medios se pueden nombrar así: punto medio es, punto medio es, punto medio es; las coordenadas de varios puntos medios tienen la siguiente relación:
Entonces, si tienes las coordenadas de dos puntos, puedes encontrar fácilmente coordenadas de estos dos puntos.
Si calculas las coordenadas de un punto, puedes encontrar la pendiente de una recta y escribir la ecuación punto-pendiente de la recta.
Si resuelves la ecuación de la recta, podrás calcular las coordenadas de los puntos fijos que la atraviesan, completando así la demostración.
Entonces, ¿cuál es la pendiente de la recta? La respuesta es: depende de las coordenadas del punto en movimiento. Esta coordenada es relativamente simple, con una sola variable, que se puede establecer en
Al tomar prestados los símbolos de funciones y asignaciones, la relación anterior se puede resumir de la siguiente manera:
Problema Solución Planificar
Gestión Después de aclarar la relación anterior, el camino (pasos específicos) para resolver este problema quedará claro:
1) Introducir parámetros para representar las coordenadas del punto en movimiento;
2) Encuentra la pendiente de la recta;
3) Encuentra las coordenadas del punto medio
4) Calcula las coordenadas del punto medio
p>
5) Calcular la pendiente de la recta;
6) Escribir la ecuación punto-pendiente de la recta
7) Calcular las coordenadas del fijo; punto;
Responde la segunda pregunta
Porque la ecuación de la elipse es:, si el punto está en la elipse,
Entonces:
Si las coordenadas del punto de ajuste son:, entonces la pendiente de la línea recta es:
1) Cuando, los puntos coinciden respectivamente y las líneas coinciden con los ejes.
2) Cuando:
La ecuación de dos rectas es:
El punto medio es, el punto medio es, el punto medio es:
; p >
Las coordenadas de los dos puntos medios se pueden obtener sustituyendo la ecuación lineal:
Dado que el punto medio es el origen, y los puntos medios son: Por lo tanto:
De manera similar:
p>La ecuación es:
Esta ecuación se puede simplificar a:
Para resumir, sí, una línea recta debe pasar por un punto fijo. La prueba ha terminado.
Guía de micromanipulación
Como pregunta final del examen de ingreso a la universidad, además de examinar las grandes ideas, el interrogador también establecerá algunos pequeños puntos de control y obstáculos para probar las habilidades de los candidatos. fuerza integral.
La característica de este problema es que las coordenadas de los puntos son relativamente complejas, lo que puede hacer que algunas personas se sientan intimidadas y se queden ahí.
Para este nivel, se pueden utilizar las siguientes ideas para resolverlo.
La forma estándar de la ecuación punto-inclinación es la siguiente:
En el análisis anterior, hemos concluido que el punto fijo está en el eje y su forma de coordenadas es
Por lo tanto, adoptamos la siguiente modificación de la ecuación punto-pendiente:
Sustituyendo los resultados del cálculo anterior, podemos obtener los siguientes resultados:
La derivación anterior El proceso tiene cierta complejidad. La clave para completar con éxito una tarea similar es la siguiente: después del análisis preliminar, ya sabemos que el punto fijo está en el eje, por lo que creemos que el denominador y el numerador aparentemente complejos se pueden reducir a una forma simple.
Este "sentido de orientación" debe cultivarse en la vida diaria. Si carece de sentido de dirección y enfatiza ciegamente la competencia, será difícil completar la tarea.
Refinada y mejorada
La pregunta 20 del Examen Nacional de Ciencias y Matemáticas de 2017 también es un "problema de punto fijo", pero las soluciones a las dos preguntas son diferentes. Note el contraste.