Primero, yuxtaponemos las dos ecuaciones para encontrar la curva donde se cruzan las dos superficies. Al eliminar z, obtenemos:
2-x?=2y?
Es decir
x? y?=1
Entonces, esta curva está ubicada en un cilindro con un radio de 1. Entonces los límites integrales de x e y pueden ser se encuentra fácilmente: x? y?=1
Para encontrar el límite de integración de z, necesitas saber cuál de las dos superficies está arriba y cuál está abajo porque el volumen contenido está dentro. cilindro, x? y?lt;1 .Usando esta condición, encontramos que 2-x?gt;x? 2y?, es decir, z=2-x?
Basándonos en la discusión anterior, podemos escribir la integral de volumen:
V=∫∫dxdy∫_(x? 2y?)^(2-x?)dz p>
El símbolo _(x? 2y?) se usa aquí para expresar el límite inferior de la integral z, y ^(2-x?) expresa el límite superior de la integral z (Recuerde que el símbolo _(x? 2y?) se usa aquí para expresar el límite inferior de la integral z. El límite de la integral xy es el círculo x? y?=1 .)
La integral sobre z es fácil:
∫_(x? 2y?)^(2-x?) dz=(2-x?)-(x? 2y?)=2-2x?-2y?
Lo que queda es la integral doble de xy.
V=∫∫(2-2x?-2y?)dxdy
Esta integral es más fácil de hacer en coordenadas polares. Cuando se transforma a coordenadas polares, x?=r. ?, dxdy=rdrdφ. El límite integral es r de 0 a 1, φ de 0 a 2π.
V=∫∫(2-2x?-2y?)dxdy=∫_0^1(2 - 2r?)rdr∫_0^(2π)dφ
Las dos integrales son cada una:
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0 ^ 1(2-2r?)rdr=r?-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2π=π
Entonces el volumen es π.
Información ampliada:
Según las diferentes normas de clasificación, existen muchos métodos diferentes de clasificación de superficies.
1) Clasificación según el modo de movimiento de la barra colectora
(1) Superficie de revolución: superficie curva formada por la rotación de la barra colectora alrededor de un eje;
(2) No superficie de revolución: una superficie formada por el movimiento de una generatriz de acuerdo con otras restricciones.
2) Clasificación según la forma de las barras colectoras
(1) Superficies regladas: cualquier superficie que pueda formarse mediante el movimiento de barras colectoras rectas, como cilindros o conos. y cilindros elípticos, cono elíptico, paraboloide hiperbólico, cono y superficie cilíndrica, etc.;
(2) Superficie hiperbólica: una superficie que solo puede formarse mediante el movimiento de una generatriz curva, como una esfera, un toroide, etc.
Una misma superficie curva puede estar formada por varias formas diferentes de movimiento. Por ejemplo, una superficie cilíndrica puede verse como una línea recta que gira alrededor de un eje paralelo a ella, o puede verse como un círculo que se traslada a lo largo del eje.