En respuesta a la primera pregunta, para poder obtener la cantidad de movimiento de tierras necesaria para cavar la zanja, este artículo lo divide en tres secciones a modo de comparación.
Interpolación de Hermite e interpolación spline cúbica y, finalmente, realice un ajuste de interpolación cúbica de Hermite por partes en los puntos de datos conocidos para obtener la ecuación de la curva y f x sobre el canal. , la integral de la ecuación de la curva del canal es
La longitud del canal es 14550 7650 21 dx yL y la longitud del canal es m 5,7522 a través de MATLAB.
Por lo tanto, la solución final es que la cantidad total de movimiento de tierras para cavar la zanja sea: 3 m135405LSV? .
En respuesta a la segunda pregunta, basándose en la primera pregunta, este artículo establece un modelo de función de límite superior de la integral: sea 7650 a? ,
1x satisface 1 2 1.
Seis
x
a
V
S y dt? ¿Después de encontrar i x, 1 ix? Conoce 1 2 1
Seis
Yo
Yo
x
x
V
Esto
dividirá el movimiento de tierras total en seis partes, dando 7 .8736x 1? ,2.9862x2? , 10956x3? , 12116x4? ,
13353x5? Luego determina las coordenadas y y x del sextante.
En respuesta al tercer problema, hay tres variables en las carreteras a lo largo del canal, a saber, k ji x, x, x. Para minimizar la
carga de trabajo de transporte, esto. artículo establecido El modelo de programación sin restricciones se resolvió utilizando MATLAB para obtener el volumen mínimo de transporte.
¿La cantidad es 4 81027,7 m? . Las coordenadas de posición del canal durante la construcción de las dos carreteras fueron 7.5167, 9296B y 4.311683c respectivamente.
Palabras clave: interpolación hermitiana MATLAB función de límite superior integral programación sin restricciones
1. Replanteo del problema
Se cavó un canal en un área determinada, usted lo sabrá. varios puntos por los que pasa el canal.
El primer problema es resolver la cantidad total de piedra para la construcción del canal;
Pregunta 2: Si el canal se divide en seis secciones, y la cantidad de movimiento de tierras en cada sección es Lo mismo, ¿dónde se debe tomar el punto de segmentación?
Configuración;
Problema 3: Construir un camino paralelo al canal. El movimiento de tierras para excavación del río será transportado a A (9500, 4000).
Para facilitar el transporte, se planea seleccionar dos puntos en el camino a lo largo del canal para construir un camino temporal que conduzca a A, de modo que
la carga de trabajo total del transporte de movimiento de tierras se minimiza.
2. Análisis del problema
Para la primera pregunta, este problema requiere la cantidad total de movimiento de tierras para cavar la zanja. El objetivo principal es conocer el área de la sección transversal. la zanja.
El objetivo es encontrar la longitud del canal. Se conocen las posiciones de varios puntos por los que pasa el canal. Para obtener la longitud del canal, este artículo
cree que la curva del canal se puede obtener mediante ajuste de interpolación y se puede obtener la longitud del canal. mediante integración de curvas. Existen muchos métodos de interpolación y ajuste
La interpolación spline será más suave, pero es posible que no mantenga la forma original, considerando que debería conservarse mejor.
La forma del canal, por lo que este artículo elige el método de Hermite para el ajuste por interpolación.
Para la segunda pregunta, el canal debe dividirse en seis partes iguales, y la cantidad de movimiento de tierras en cada sección es la misma. Este problema es el problema inverso de una función.
Por lo tanto, para resolver este problema, cuando se conoce la función de curva del canal, este artículo puede considerar el uso de la función de límite superior integral.
Resuélvelo para determinar el punto x y luego obtén el punto y.
Para resolver el tercer problema, se deben construir carreteras para transportar los movimientos de tierra y minimizar la carga de trabajo del transporte. Esta pregunta
Para fines de planificación, en la segunda pregunta, este artículo sabe que Por lo tanto, este artículo adopta un modelo de programación sin restricciones para minimizar la carga de trabajo.
Solo valor.
En tercer lugar, supuestos del modelo
1. Los dos caminos temporales construidos son líneas rectas.
2. La curva de función de la carretera a lo largo del canal es aproximadamente la misma que la función de curva del canal.
Cuatro. Descripción simbólica de la ecuación de la curva del canal xf
5. Volumen de movimiento de tierras
s área de sección transversal del canal l longitud del canal
La abscisa del punto del noveno canal
La ordenada del punto en el Canal de Erie.
IW carga de trabajo de transporte de movimiento de tierras
1L camino temporal 2L camino temporal
Establecimiento y solución del modelo verbal (abreviatura de verbo)
5.1 Pregunta 1
5.1.1 Interpolación y ajuste
Dibuje un diagrama de dispersión a partir de los puntos conocidos por donde pasa el canal (Figura 1).
0,8 0,9 1.1.1.2 1,3 1,4 x 10 4
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
X/m
Y/m
Diagrama de dispersión del canal
Figura 1. Gráfico de dispersión de canal
Método 1. Los puntos de datos conocidos se interpolan mediante el método de Hermite. 3. Supongamos que se conoce el número de funciones xfy. En 1 n? ¿Valores de función ii xfy n 10 x, L, x, x en diferentes nodos? n,L,1,0i? ¿Y el valor de la derivada i' i' x fy? , requiriendo que el polinomio xH sea como máximo 2 n +1 veces, tal que i i yxH? ¿Soy xH? n, 1, 0i el polinomio de interpolación hermitiana es:? ? 2' i i i i i H x h x x a y y y?
Entre ellos,
2
n
ij 0j j i
j i x x xx h,? n ij 0j j i i x x 1 a .
Utilice MATLAB para obtener la curva de interpolación (Figura 2).
0,8 0,9 1.1.1.2 1,3 1,4 x 10 4
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
Curva de interpolación hermitiana y puntos de datos originales
X/m
Y/m
Angstrom Puntos de datos originales de la curva de interpolación hermitiana
Figura 2. Curva de interpolación hermitiana y puntos de datos originales
Método 2. Interpolación de diferencia spline de puntos de datos conocidos. 3
Definición de función spline:
Matemáticamente, un polinomio por partes con cierto grado de suavidad se llama función spline. Específicamente, se da la división de los intervalos A y b.
0 1 1nn :a x x x x b
Si la función ()sx satisface:1. Entre cada celda, 1, (0, 1, 1) xin? ()sx es un polinomio de grado k;
2. ()sx tiene 1 k en a y b? orden derivada continua.
¿Entonces se llama ()sx sobre división? La función k-spline se llama curva k-spline. 01,,,n x x x significa
es un nodo spline, 1 2 1,,,n x x x? Se llama nodo interno y 0, n xx se llama punto límite, por lo que toda la función spline se escribe como (,)p Sk? , llamado espacio funcional k-spline.
Evidentemente, la polilínea es un spline lineal.
Si () (,)p sx S k, ¿entonces ()sx se trata de particionar? Función spline polinómica de k grados.
Polinomio de grado k
La forma general de una función spline es
1
01 ( ) ( ) !! ¿Sé de qué estás hablando?
¿Dónde (0, 1,,)i ik y (1, 2, 1) jjn? es una constante arbitraria, y
(), (), (1, 2, 1) 0, KJJJK JXXXXXXNXX Este artículo utiliza 3 k? Caso: es una función spline cúbica. Función spline cúbica: Para la partición 0 1 1nn: a x x x x b está en a, b, entonces
1 2 3 3 32
3 0 1
1 ( ) ( ) ( ,3) 2!3!3!n j jp j aa s x x x x x x S?
En...
3 3( ), (), (1, 2,, 1) 0, jj j j x x x x x x j n xx
Función spline cúbica Diferencia :
¿Porque 3()(,3) ps x S contiene 3 n? Un coeficiente indeterminado, por lo que ¿debería requerirse 3n? Condiciones de interpolación, ya conocidas
El nodo de interpolación i x y el valor de función correspondiente () (0, 1, 2,) IIF X Y I N, ¿aquí está 1 n? También se requieren una condición,
dos condiciones de contorno.
Hay tres condiciones de contorno para las funciones spline cúbicas comúnmente utilizadas:
(1) 3 0 3(), ()n s a y s by . La función de interpolación spline establecida por esta condición de contorno intermedia es. llamado para()fx.
Función de interpolación spline cúbica completa.
Especial, 0'0 n yy? , la spline es horizontal en los puntos finales.
Si () fx? No lo sé, ¿puedes pedir 3() sx? y()fx? Aproximadamente iguales en los puntos finales. En este momento
0 1 23,,,x x x x se utilizan como nodos para hacer un polinomio de interpolación de Newton cúbico ()a Nx, usando 1 23,,,N N N N N X X X? Zuo Yi
Un polinomio de interpolación de Newton cúbico ()b Nx requiere
( ) ( ), ())ab s a N a s b N b
Este límite El La spline cúbica establecida por la condición se denomina función de interpolación de spline cúbica lagrangiana de ()fx.
(2) 3 0 3 3(), ()s a y s by . La especial 0 nn yy se llama condición de frontera natural.
(3)3333(0)(0)(0)(0)SASB, (33 (0)(0) s a s b ¿se requiere aquí?)
Esta situación se llama is una condición periódica.
Utilice MATLAB para realizar una interpolación spline cúbica para obtener la curva de interpolación (Figura 3).
0,8 0,9 1.1.1.2 1,3 1,4 x 10 4
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
X/m
Y/m
Curva de interpolación de spline cúbico y puntos de datos originales
Spline cúbico original puntos de datos de la curva de interpolación
Figura 3. Curva de interpolación spline cúbica y puntos de datos originales
Comparación de la interpolación de Hermite y la interpolación spline cúbica
Cinco
:
proporcionada por SPLINE El método de construcción de la función s(x) es exactamente el mismo que el de la función p(x) en PCHIP, excepto que
O x
y
0 en punto de la mañana?
1M
2M
1nM?
¿nBM?
Figura 4
Sin embargo, el método de selección de la pendiente en X(j) es diferente.
La segunda derivada d 2s(x) de la función spline s(x) en X(j) también es continua, lo que lleva a lo siguiente.
Resultados:
(1) El spline es más suave, es decir, D 2s (x) es continuo.
(2) Si los datos son el valor de una función suave, el spline es más preciso.
(3) Si los datos no son fluidos, PCHIP no se sobrepasa y la fluctuación no es grande.
(4) Es menos difícil establecer PC HIP.
(5) La dificultad de estimación de estas dos funciones es la misma.
El spline cúbico es más suave que la interpolación de Hermite. La segunda derivada del spline es continua, mientras que la interpolación de Hermite es de primer orden.
Continuidad derivada. Una segunda derivada discontinua significa una curvatura discontinua. El ojo humano puede detectar discontinuidades en la curvatura de una figura
. Por otro lado, la interpolación de Hermite es conforme, mientras que la interpolación spline no es necesariamente conforme.
Al comparar la interpolación de Hermite y la interpolación spline cúbica, no hay una diferencia obvia en este problema. Mejorar.
Para garantizar la forma de los gráficos y reducir errores, este artículo utiliza la interpolación de Hermite.
5.1.2 Resolver la longitud del canal
Cuando el número de lados aumenta infinitamente, la circunferencia del círculo se puede determinar por el límite de la circunferencia del polígono regular inscrito en el círculo.
Se puede utilizar un método similar para establecer la longitud del arco de una curva plana continua y calcular la longitud del arco utilizando integrales definidas.
Sean AB los dos extremos del arco de la curva. Elija puntos en el arco AB:
0 1 21 1,,,,,,,I N N A M M M M M M M M B y conecte las polilíneas de los puntos adyacentes (Figura
4).
¿Cuando los puntos aumentan infinitamente y cada segmento mide 1ii MM? Cuando todos se reducen a un punto, si la longitud de esta polilínea
1
1
n
dos
Yo
¿Eh? Existe un límite, entonces este límite se llama longitud de arco del arco curvo AB, y este arco curvo AB se llama
Puede ser muy largo.
Dado que la longitud del arco de una curva suave se puede calcular, la longitud del arco se puede calcular utilizando integrales definidas.
Dejemos que el arco de la curva pase por la ecuación paramétrica:
(), ()xt t yt? ? ?
Dado, donde (), ()tt es,
En la derivada continua, y ()()tt, ahora no son cero al mismo tiempo.
Calcula la longitud del arco de la curva. Tome el parámetro t como una variable entera y su rango de variación es
. Corresponde a,
cualquier intervalo pequeño
, t t dt? ¿La longitud s del segmento de arco pequeño? ¿Aproximadamente igual a la longitud ()()xy de la cadena correspondiente 22? , porque
()()()x t dt t dx t dt? ?
()()()y t dt t dy t dt? ?
Entonces, ¿sí? El valor aproximado de (diferencia de longitud de arco), es decir, el elemento de longitud de arco es
2 2 2 2 2 2 2 2 2()()()()()()()() ds dx dy t dt t dt t dt
Entonces, ¿la longitud del arco es
22 ( ) ( ) s t t dt?
Cuando el arco de la curva está compuesto por ecuaciones de coordenadas rectangulares
()()y f x a x b?
Dado que ()fx tiene una derivada continua de primer orden con respecto a ab, entonces el arco de la curva está definido por una ecuación paramétrica.
()
()xx
a x b
y f x?
¿Entonces la longitud del arco es
21b a s y dx? ?
La longitud del canal se obtiene integrando la función curva del canal obtenida tras la interpolación. 14550 7650 21 dx yL se resuelve usando MATLAB para obtener m 5.7522? L
5.1.3 Resolución del volumen de tierra
Se conoce la longitud y el área de sección transversal del canal.
Entonces:
2m 1822810?
3m135405LSV?
5.2 Pregunta 2
Supongamos que la función ()fx es continua en el intervalo ab, y sea x un punto en ab.
Observe que la integral definida de () fx sobre ax está entre divisiones.
()
x
a f x dx?
En primer lugar, debido a que ()fx sigue siendo continua en ax, la integral definida existe. Aquí, x significa
El límite superior de la integral definida es la variable integral. Debido a que la integral definida no tiene nada que ver con el signo de la variable integral, es
Para mayor claridad, la variable integral se puede reemplazar con otros símbolos, como T, entonces la integral definida anterior se puede
escribir Enter
()
x
a f t dt?
Si el límite superior x cambia arbitrariamente dentro del intervalo ab, la integral definida tiene un valor correspondiente para cada valor dado de x, por lo que se define una función en ab, registrada como ()x? ：
()()()x a x f t dt a x b?
()x? Es una función integral superior.
Este artículo establece un modelo integral de función de límite superior para el segundo problema:
21
Seis
x
a
V
S y dt? Tomando el punto de partida a como límite inferior de integración, se obtiene el primer límite superior de integración, es decir, la primera bisectriz.
La bisectriz es el límite inferior de la integral, y se obtiene el segundo límite superior de la integral, que es la segunda bisectriz, y así sucesivamente. Cambiar el producto
Dividir los límites superior e inferior, determinar cinco partes iguales y dividir el canal en seis partes iguales, con la misma cantidad de movimiento de tierras en cada tramo.
Usando MATLAB para resolver (ver Apéndice 8.2), las coordenadas de la bisectriz son: 4.5214, 7.8736, 2.4797, 2.9862, 6.419710956, 2.3730, 1265438+.
La cantidad de movimiento de tierras en cada tramo es: 3 m8.1253.
5.3 Pregunta 3 Se puede ver en la pregunta 2 que el volumen de la tierra V está relacionado con la función de curva del canal. ¿Construir xFV primero? Modelo.
Hay tres variables k ji x, x, x en los caminos a lo largo del canal. Los caminos temporales que se construirán deben garantizar el transporte de trabajadores.
La cantidad de trabajo es la más pequeña, por lo que la tierra excavada en el lado izquierdo del punto D se transporta al punto B, y el canal se excava en el lado derecho del punto D.
Toda la tierra y la piedra serán transportadas a la ubicación C, y finalmente la tierra y la piedra serán transportadas desde las ubicaciones B y C a la ubicación A (consulte la Figura 4 para ver un diagrama esquemático).
y = f(x)
(xk)
(Xu Ji)D
(xi)
L2
L1
A
C
B
Figura 4. Diagrama esquemático de la construcción de camino temporal en el acueducto
La carga de trabajo de transporte es igual a la cantidad de movimiento de tierras multiplicada por la distancia de transporte, por lo que para la carga de trabajo de transporte en la curva del canal se aplica el modelo establecido en este artículo
es:
Tomar la sección i 0 x ~ >
SL
n V V, V i 0i0 i0?
,
Entonces:
)LnL(V)L2L(V)LL(VW i0 i0 i0
)n21(LVVLn i0?
n2 1n
Boleto para cenar
¿Cuándo? >x
x
2 i0 dx y 1 dxy 1S 2 1 LV 2 1 W, n
De la misma manera, se puede obtener 1kjkijw, w, w.
Entonces:
iji01kjk1 WWWWW
14550 14550 2 2 2 2 11111122 kk J k k xx x x x x x S y dx y y dx y y dx J ii x 2x x 7650 2x 7650 2d xy 1 dxy 65438
2 0k 2 0k 14550 x 22 0i 2 0i
x
7650
2 2y yxxdxy 1 syyxxdxy 1 SW
j
j
Para minimizar la carga de trabajo de transporte, es decir, la suma de 1 W y 2 W, este trabajo establece un límite no restringido.
Modelo de lotería: kj2kji1x, x, xwx, x, xwmin?
Es decir:
? ? ? ? 2 0i 2 0i x 7650 2 2x 2 2x 7650 2y yxxdxy 1 dxy 1 2 1 dxy 1 2 1Min j j j I I
Shachihoko
? 2 0k 2 0k 14550 x 2 214550 x 2 2 x 2y yxxdxy 1 dxy 1 2 1 dxy 1 2 1 jkk j
Utilice MATLAB para resolver: (consulte el Apéndice 8.3 para ver el código del programa)
La carga mínima de trabajo de transporte es: 4 81027,7 m? Las coordenadas de B y C son: 7.5167, 9296B y 4.388811683C respectivamente.
Las ventajas y desventajas de este modo de verbos intransitivos
Ventajas:
1. Al comparar la interpolación de Hermite y la interpolación spline cúbica, se obtiene la puntuación de la longitud del canal. .
No 7522,5 my 7524,438+0 m, no hay una diferencia obvia en este problema.
2. Para problemas de planificación de transporte, reflejar con precisión la solución óptima.
Desventajas:
1. Para la integral de curva de la función de interpolación, la derivada de la curva es aproximada y existe un cierto error.
2. Los problemas de planificación son intensivos en términos computacionales. Las ventajas de utilizar algoritmos de MATLAB no son obvias.