i. De hecho, algunos matemáticos famosos han propuesto métodos y pruebas relacionados antes. En el apéndice enumeré todos los métodos que se encuentran en la literatura y también intenté hacer lo mismo para ver si hay otras formas de encontrar puntos Fermat:
1. (consulte la Figura 1).
(1) Haz que △ABC tenga uno o tres ángulos interiores menores a 120.
(2) Tomar , como un lado, y formar triángulos equiláteros △ABD y △ACE hacia afuera respectivamente.
(3) Conéctate y paga en el punto P, entonces el punto P es lo que quieres.
2. Propiedades del punto Fermat: L = ++ es el valor mínimo.
~Primero pruebe la existencia del punto Fermat creado por el método anterior:
(Ver Figura 2) Gire △BPC,
Haga y (=) son consistentes,
El punto p cae sobre el punto h.
Entonces ∠ BPC = ∠ BHG = 120.
ピヸBHP = 60 (confirmado en )
∴∠BHG+∠BHP=180
Entonces, a, p, h, g son tres puntos * * *Cable.
ㄇ.*△BHG△BPC
Obtener = =
∠∠2+∠3 = 60 y ∠∠ 1 =∠ 3.
∴∠1+∠2=60 =∠PBH
Por lo tanto △BPH es positivo △, entonces =
Seamos ++= sabiendo que hay un little p +=
~Entonces demuestra que la distancia desde este punto a los tres vértices es la más pequeña.
ㄅ. (Consulte la Figura 3) Tome otro punto en ABC, Q es diferente de P,
Conectar,,
ピ. 1) El método de prueba en también puede probar ++=++.
ㄇ.
Entonces el punto P hace que ++ sea el valor mínimo.
II. La discusión de los puntos de Fermat generalmente se limita al interior de triángulos donde todos los triángulos tienen menos de 120. Si analizamos cualquier triángulo con ángulos mayores o iguales a 120, ¿podemos encontrar la distancia más corta desde un punto hasta tres vértices? (Ver Figura 4)
(1) de △ABC ∠ A > 120, p es cualquier punto en △ABC.
Extender a b', hacer =
Hacer ∠B'AP'=∠BAP, tomar =
Entonces △B'AP' △BAP, obtener =
Entonces ++=++,
(2)Porque ∠ a > 120, ∠ b 'ab < 60,
También ∠PAP ' < 60; entonces el triángulo isósceles P'AP
Medio ∠ AP 'p > 60, entonces>
Entonces ++>++>+, que es +>+
En otras palabras, si hay un punto P que coincide con A, entonces P es el punto donde la suma de las distancias a A, B y C es menor.
(3) Demuestre que si se conoce que el ángulo interior del triángulo es mayor o igual a 120, entonces el punto de Fermat es el vértice del ángulo interior.
Ⅲ Sólo los triángulos con tres ángulos interiores menores de 120 tienen puntos de Fermat, pero en la vida diaria, ¡no son sólo los triángulos los que necesitan encontrar la distancia mínima de cada vértice! En otras palabras, si podemos encontrar un punto P después de cambiar la forma de modo que la suma de las distancias desde el punto P a los vértices sea la más pequeña, analizaremos primero el cuadrilátero más simple (consulte la Figura 5).
(1) Conocido: cuadrilátero ABCD
Encontrar: punto p en ABCD
Ejercicio: en cuadrilátero ABCD
Par Una diagonal es una línea recta
∴Una diagonal es la distancia mínima entre a y c
Del mismo modo, una diagonal es la distancia mínima entre B y d.
Descubre: El punto de intersección p es un punto del cuadrilátero ABCD, por lo que ++ es el valor mínimo.
En otras palabras, la suma de las distancias desde el punto P a los cuatro vértices del cuadrilátero es la más pequeña.
(2) Prueba: (Consulte la Figura 6)
Tome otro punto P ' en el cuadrilátero ABCD, que es diferente de P.
Conecta,,,
△P'BD, △AP'C
+>y +> (la suma de dos lados cualesquiera es mayor que la tercer lado)
∴ + + + > + = + + +
Entonces el punto P hace que ++ sea el valor mínimo.
(2) Utilice métodos físicos para explorar la teoría de los puntos de Fermat. A menudo escucho que "las matemáticas son ciencia".
Mamá, ¿puedes utilizar métodos científicos para verificar la existencia de los puntos Fermat o algunas propiedades de los puntos Fermat? Después de consultar las opiniones y pensamientos del profesor, hice una serie de experimentos en mecánica:
1. Experimento 1: Demostrar las propiedades de los puntos de Fermat a partir del equilibrio de tres fuerzas: uno de los tres ángulos, el tiempo y el debe. ser 120.
(1) Arma un triángulo equilátero con listones de madera como lados e instala una polea en cada uno de los tres vértices. Tome tres hilos de algodón de igual longitud, cuelgue un bloque de barro W de igual peso en un extremo y conecte los otros extremos para representar el punto P.
(2) Deje que el peso cuelgue naturalmente y alcance un estado estacionario y mida los ángulos ∠APB, ∠APC y ∠BPC (consulte la Tabla 1 para obtener datos).
(3) Dado que los pesos de los tres objetos pesados son iguales, las tensiones de las tres líneas también son las mismas, es decir, el "triángulo cerrado" (consulte la Figura A) formado por la fuerza diagrama (consulte la Figura A) cuando F1=F2=F3=W B)” es un triángulo equilátero, que son los tres ángulos encerrados por tres fuerzas.
Ambos son 120.
(4) Coloque el dispositivo experimental en el paso (2) verticalmente sobre un plano de coordenadas, registre las coordenadas del punto P y luego sume las funciones lineales del punto P obtenidas en el paso (3). programa de computadora para calcular (ver Apéndice 2 para más detalles) si es consistente.
(5) Repite los pasos anteriores 5 veces para cambiar la forma del triángulo y repite la operación.
2. Experimento 2: Se comprueba que el punto de Fermat tiene la energía potencial más baja.
(1) Arma un triángulo equilátero ABC con listones de madera como lados y colócalo sobre la superficie horizontal. Cada uno de los tres vértices está equipado con una polea. Un bloque de barro W de igual peso se cuelga de un extremo de tres hilos de algodón de igual longitud, que están suspendidos por tres poleas. Del Experimento 1 sabemos que el punto P es el punto de Fermat.
(2) Cuelgue un bloque de barro W en el punto P (punto Fermat), de modo que el peso se mueva naturalmente verticalmente hacia abajo para alcanzar un estado estacionario (consulte la Figura C para el dispositivo), y mida la distancia entre punto P y el plano horizontal en este momento la distancia vertical, promedio tres veces, la altura es hP.
(3) Mueva el punto P a cualquier punto de los tres lados, tres lados o tres lados, y luego suelte el peso y descubra que tenderá al punto Fermat en cada lado. Según el principio de que un objeto se moverá libremente hasta el punto de energía más bajo, se puede demostrar que el punto de Fermat tiene la energía potencial más baja.
(4) Registre el proceso experimental del paso (3) y obtenga la altura de energía potencial h '(promedio cúbico), (que representa la situación después de la liberación del punto, etc.),,, (consulte la Tabla 2 para obtener datos)).
(5) Repite los pasos anteriores 3 veces para cambiar la forma del triángulo y repite la operación.
(3) Verificar los resultados experimentales de los puntos de Fermat en el sistema de coordenadas cartesianas: las coordenadas cartesianas se utilizan a menudo en la representación de mapas. ¿Podemos encontrar el punto P en el sistema de coordenadas cartesiano (el punto P es la distancia mínima a cada vértice) y luego usar un programa de computadora para verificar nuestros resultados experimentales?
(1) Triángulo-
A. Por conveniencia, un lado se fija en el eje X con el vértice como origen, utilizando la idea mencionada en (1) arriba. .
b: Analicemos los triángulos especiales uno por uno y luego generalicemos a triángulos generales.
VI.Triángulo (ver Figura 7)
=
= =
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son ()
p>VII. Triángulo isósceles (ver Figura 8)
∵ El cuadrilátero AOBC tiene forma de cometa.
∴
∠OPC=120.
Por lo tanto ∠ OPD = 60.
Por lo tanto = = =
Las coordenadas del punto p son ()
Triángulo rectángulo (ver Figura 9)
Supongamos que pasa a través del punto P La función de es y = ax+b.
Coloca las cuatro coordenadas a, b, cy d.
Encontrar la ecuación y resolver las ecuaciones simultáneas.
:y= x+y1
:y= (x-x1)
Las coordenadas del punto p son
Isósceles derechas ángulo Triángulo
El triángulo rectángulo isósceles es un tipo de triángulo isósceles, por lo que las coordenadas del punto P pueden referirse a la solución del triángulo isósceles. De manera similar, las coordenadas del punto P también pueden referirse a la solución de un triángulo rectángulo.
Triángulo arbitrario (consulte la Figura 10)
Supongamos que la función que pasa por el punto P es y = ax+b.
Coloca las cuatro coordenadas a, b, cy d.
Encontrar y resolver ecuaciones simultáneas
:y=
:y=
Las coordenadas del punto p son
(2) Cuadrilátero—
A. Por conveniencia, un lado se fija en el eje X con el vértice como origen, usando la idea mencionada en (3) arriba.
b: Primero analice los cuadriláteros especiales uno por uno y luego generalice a cualquier cuadrilátero.
VI. Cuadrado (consulte la Figura La línea se divide en partes iguales)
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son ()
Forma rectangular (ver. Figura 12)
∵ El cuadrilátero ABCO es un rectángulo.
Suma de bisectrices =
(Las diagonales del rectángulo están divididas en partes iguales)
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son ()
ミ. Paralelogramo (ver Figura 13)
∵ El cuadrilátero ABCO es un paralelogramo.
Suma de bisectrices =
(Las diagonales en el paralelogramo están divididas en partes iguales)
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son ()
リ.Rombo (ver Figura 14)
El cuadrilátero ABCO es un rombo.
Suma de bisecciones =
(Las diagonales en el rombo están divididas equitativamente)
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son ()
Descubre que si la diagonal de un cuadrilátero se divide en partes iguales,
entonces su punto p es el punto medio de la diagonal del cuadrilátero.
ヵ. Trapecio isósceles (ver Figura 15)
////
∵ // //
∴△ABP ~ △OPC
está configurado en, como y-
( )
∴
ABCO es un trapezoide isósceles.
∴
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son ()
12. Hay dos trapecios rectángulos (ver Figura 16).
////
∵ // //
∴△ABP~△OPC
Establecer en, como y-
( ) =
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC
Energía Empieza a hacerlo con determinación; empieza con determinación
∴
Por tanto, las coordenadas del punto P son ()
Cualquier trapezoide (ver Figura 17)
////
∵ // //
∴△ABP~△OPC
Establecer en, como y-
( )=
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC
Empiece con entusiasmo; comience resueltamente
∴
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son ()
(Por conveniencia, los dos vértices están fijos en el eje X .)
p>VI.Forma de cometa (ver Figura 18)
Es una línea diagonal.
El punto ∴P está en el eje x.
El cuadrilátero ABCO tiene forma de cometa.
Igualmente distribuido
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son ()
Cualquier cuadrilátero convexo (ver Figura 19)
. Supongamos que la función que pasa por el punto P es y = ax+b.
Pone las cuatro coordenadas a, b, c, o.
Encontrar la ecuación y resolver las ecuaciones simultáneas.
:y=
:y=0
Las coordenadas del punto p son
Resultados de investigación sobre verbos (abreviatura de verbo)
p>
Utiliza coordenadas rectangulares y experimentos físicos para analizar los datos requeridos por la física y las matemáticas uno por uno según las diferentes formas de los gráficos para descubrir su correlación.
(1) Funciones lineales del punto P de triángulos equiláteros, triángulos rectángulos, triángulos isósceles, triángulos rectángulos isósceles y cualquier triángulo de ángulos agudos (consulte el diagrama de coordenadas rectangulares antes mencionado):
1. Triángulo equilátero: ()
2. Triángulo isósceles: ()
3. Triángulo rectángulo:
4. -triángulo angular: () o
5. Cualquier triángulo:
(2) Cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo, trapecio isósceles, trapezoide con dos ángulos internos formando ángulos rectos, cualquiera. trapezoide, forma de cometa, cualquier cuadrilátero Función lineal del punto P (consulte el diagrama de coordenadas rectangular antes mencionado);
1. Cuadrado, rectángulo, paralelogramo y rombo: ()
2. Trapecio isósceles: ()
3. Trapezoide con dos ángulos rectos dentro: ()
4. Cualquier trapezoide: ()
5. )
6. Cuadrilátero arbitrario:
(3) Datos del experimento 1 (Tabla 1):
Triángulo igual A (2, 2) B (4 , 0) C (0 , 0)
Multiplicar por 1 2 3 4 5
Ángulo ∠APC 120 120,5 118 120,5 120.
∠APB 120 119.5 122 121 124
∠BPC 120 119 19 120 117
Las coordenadas del punto P son (1.96, 0.91) (2.00, 1.34 ) (2,06, 1,40) (2,05, 1,44) (2,03, 65438)
El valor calculado es aproximadamente (2, 1,154701).
Triángulo isósceles A(1.5,)B(3,0) C(0,0)
Multiplicar por 1 2 3 4 5
Ángulo ∠ APC 123 118 19 122 120.
∠APB 119 120 119.5 120 120
∠BPC 121 120 121 121 119
Las coordenadas del punto P se miden como (1.50, 1.08) (1.51 .92)(1.61.89)(1.60, 0.98).
El valor calculado es aproximadamente (1,5, 0,866025)
Triángulo rectángulo A (0, 4) B (3, 0) C (0, 0)
Multiplica por 1 2 3 4 5
Ángulo ∠APC 119 1122 121,5 121.
∠APB 120 121 120.5 121 120
∠BPC 120 12119.5 118 120
Las coordenadas del punto P son (0.66, 0.84) (0.69, 0.65) (0,79, 0,55) (0,71, 0,58) (0,84, 0,56).
El valor calculado es aproximadamente (0,75117, 0,789).
Triángulo rectángulo isósceles A(0,3) B(3,0) C(0,0)
Multiplicar por 1 2 3 4 5
Angulo ∠APC 121 120 19 118,5 120.
∠APB 119 119.5 121 119 119.5
∠BPC 118 18 119.5 119.5 19.5 118
La medida de coordenadas del punto P es (0.58, 0.61) (0.72 , 0,58) (0,62, 0,59) (0,50, 0,80) (0,66, 0,56).
El valor calculado es aproximadamente (0.633975, 0.633975)
Cualquier triángulo A (2.2, 3.6) B (4.8, 0) C (0, 0)
Multiplica por 1 2 3 4 5
Ángulo ∠APC 121,5 119,5 120 1120.
∠APB 119.5 120 120.5 120 122
∠BPC 119 120.5 120 119 120
Las coordenadas del punto P son (1.96, 0.91) (2.00, 1.34 ) (2,06, 1,40) (2,05, 1,44) (2,03, 65438)
El valor calculado es aproximadamente (2,257189, 1,5438+0958).
Resultado: El valor medido está muy cerca del valor calculado, lo que demuestra que el punto P obtenido en el experimento es el punto Fermat, pero se verá afectado por la fricción y otros factores durante el experimento, lo que resultará en errores.
(4) Datos del Experimento 2 (Tabla 2):
Triángulo igual A(2,2) B(4,0) C(0,0)
Multiplicar por 1 2 3
Las coordenadas del punto P son P (2.12, 1.31) (1.92, 1.31) (1.96, 1.30).
(2.08,1.33) (2.15,1.10) (1.95,1.09)
(1.98,2.06) (1.94,1.13) (1.86,1.13)
(2.31,1.13) (2.15,1.17) (1.98,0.97)
La altura vertical original (hP) es 35,3 cm.
La altura del punto Fermat (h') es 32,25 cm
32,35 cm 31,6 cm 32,1 cm
32,25 cm 31,8 cm 32,5 cm
32.4 cm 31.75 cm 32.0 cm
Triángulo isósceles A(1.5,)B(3,0) C(0,0)
Multiplicar por 1 2 3
Las coordenadas del punto P son P (1,54, 0,90) (1,56, 0,97) (1,72, 0,91).
(1.44,0.69) (1.52,0.80) (1.51,0.92)
(1.50,0.66) (1.61,0.74) (1.64,0.68)
(1.46,0.77) (1.48,0.65) (1.43,0.74)
La altura vertical original (hP) es de 35 cm.
La altura del punto Fermat (h') es 32,3 cm
31,9 cm 32,1 cm 32,0 cm
32,1 cm 32,2 cm 32,15 cm
32.2 cm 32.3 cm 32.25 cm
Triángulo rectángulo A (0, 4) B (3, 0) C (0, 0)
Multiplicar por 1 2 3
Las coordenadas del punto P son P (0.84, 0.74) (0.86, 0.64) (0.74, 0.69)
(0.96,0.68) (1.00,0.62) (1.06,0.67)
(0.84,0.68) (0.79,0.85) (0.84,0.80)
(0.78,0.54) (0.73,0.74) (0.86,0.79)
Original La altura vertical (hP) es de 35,2 cm.
La altura del punto Fermat (h') es 32,4 cm
32,2 cm 32,25 cm 32,3 cm
32,4 cm 32,6 cm 32,55 cm
32.15 cm 32.5 cm 32.4 cm
Triángulo rectángulo isósceles A(0,3) B(3,0) C(0,0)
Multiplicar por 1 2 3
Punto P coordenada P (0.64, 0.61) (0.66, 0.53) (0.62, 0.66)
(1.12,0.59) (1.06,0.54) (0.95,0.58)
(0.75,0.74) (0.87,0.68) (0.84,0.88)
(0.76,0.66) (0.92,0.57) (0.78,0.82)
Altura vertical original (HP) es de 35,3 cm.
La altura del punto Fermat (h') es 32,5 cm
32,4 cm 32,2 cm 32,5 cm
32,4 cm 32,6 cm 32,45 cm
32.65 cm 32.5 cm 32.6 cm
Cualquier triángulo A (2.2, 3.6) B (4.8, 0) C (0, 0)
Multiplicar por 1 2 3
Las coordenadas del punto P son P (2.20, 1.49) (2.42, 1.37) (2.11.65).
(2.55,1.57) (2.65,1.40) (2.46,1.27)
(2.26,1.43) (2.47,1.41) (2.44,1.29)
(2.55,1.40) (2.49,1.48) (2.46,1.23)
La altura vertical original (hP) es 35.5 cm
La altura del punto Fermat (h') es 31.5 cm
31.5 cm 31.35 cm 31.65 cm
31.3 cm 31.6 cm 31.5 cm
31.55 cm 31.4 cm 31.5 cm
Resultados de esto Experimento: hay un error en los valores calculados del punto P obtenido y del punto Fermat, que se debe a la influencia de factores como la fricción en el experimento.
Discusión y aplicación de verbos intransitivos
(1) En un triángulo con un ángulo mayor o igual a 120, es imposible utilizar el método del diagrama para encontrar la posición de los Punto de Fermat como un triángulo equilátero, porque el punto P usado para graficar quedará fuera del triángulo, y los tres ángulos formados por las líneas que conectan el punto P y los tres vértices son todos iguales a 120. Según la prueba, la suma de. Los puntos Fermat son mayores o iguales a 120. Entonces hay un triángulo con un ángulo mayor que 120 o igual, del cual no se hablará aquí.
(2) Aunque el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero cóncavo está en el exterior, su diagonal y el punto P son los mismos que los de un cuadrilátero convexo. El método y las coordenadas son las mismas, por lo que. se omiten y no se repiten.
(3) En el Experimento 2, descubrimos una propiedad física del punto de Fermat: "El punto de Fermat es el punto con la energía más baja en el triángulo". Porque en el segundo experimento, no importa dónde se mueva el punto P, siempre se moverá al origen P después de la liberación. Se puede demostrar que el origen P es la posición con la energía más pequeña del triángulo.
(4) Los valores medidos obtenidos en el experimento son muy cercanos a los valores calculados. Se puede demostrar que el punto P obtenido en el experimento es el punto de Fermat. Se verá afectado por la fricción y otros factores, lo que provocará errores.
(5) Las puntas Fermat también son muy utilizadas en la vida diaria. Siempre que exista entre tres puntos y la suma de distancias sea mínima, se puede aplicar a las propiedades de los puntos de Fermat. Por ejemplo, cómo instalar subestaciones en tres ciudades, cómo instalar torres de energía de alto voltaje para reducir el desperdicio de electricidad o cómo cavar un pozo entre tres casas son ejemplos de aplicaciones de puntos Fermat.
(6) Se espera que en el futuro se utilicen otros métodos físicos y químicos para demostrar las propiedades de las primeras puntas Fermat. Estos métodos son los siguientes:
1. Intente probar el punto de Fermat utilizando métodos eléctricos;
En electricidad, el tamaño de la resistencia es proporcional a la longitud del cable.
Si las distancias desde el punto Fermat a los tres vértices del triángulo se utilizan para medir cables de resistencia de tres longitudes, si la resistencia después de la conexión en paralelo es menor que la resistencia después de la conexión en paralelo en puntos que no son Fermat, intente descubrir la diferencia. entre las tres resistencias paralelas y la relación del punto de Fermat.
(1) Tome un cable y un cable de resistencia en serie y luego conecte los tres dispositivos en paralelo al mismo dispositivo de suministro de energía.
(2) Tome la intersección de los cables del dispositivo y el cable de resistencia como el vértice del triángulo y móntelo en un triángulo equilátero con tiras de madera.
(3) Conecte los extremos de los tres cables de resistencia al punto P en el triángulo y luego conecte un amperímetro en serie nuevamente al dispositivo de suministro de energía para formar un camino.
(4) Encienda la alimentación, mueva la posición del punto P, encuentre el lugar donde el valor actual del punto P es mayor, luego coloque el dispositivo experimental verticalmente sobre un plano de coordenadas, registre las coordenadas del punto P, y luego La suma de las funciones lineales del punto P obtenida en (3) se calcula usando un programa de computadora (ver Apéndice 2 para más detalles) para ver si es consistente.
(5) Cambia la forma del triángulo y repite la operación.
2. Intente discutir la esencia del punto de Fermat desde la perspectiva de la química teórica:
En el desarrollo de la química teórica, se pueden utilizar programas de computadora para simular el estado estructural de los pequeños. moléculas químicas para obtener la disposición molecular estable óptima (energía mínima). Para algunas moléculas triangulares (como cicloetileno, éter cíclico, cicloetilamina), la disposición de estas moléculas y átomos externos debe mantener un estado estable con energía mínima en el estado natural, y si las posiciones relativas de estos átomos son consistentes con la estructura molecular triangular. configuración En cuanto a los puntos Fermat, quería usar algo más simple.
Siete. Conclusión
Existen bastantes pruebas sobre los puntos Fermat. Esta vez, además de encontrar algunos resultados relevantes en matemáticas, también utilizamos experimentos y coordenadas rectangulares para discutir el significado físico de los puntos de Fermat, lo que demostró plenamente que las "matemáticas" son realmente la "madre de la ciencia" nuevamente. !
(1) El punto de Fermat tiene dos propiedades en matemáticas: "los tres ángulos incluidos son todos 120" y "la suma de los tres vértices es la más pequeña". Además, en física, también tenía la propiedad de que el punto de Fermat es el punto de menor energía en un triángulo.
(2) Para un triángulo isósceles con un ángulo de vértice menor que 120, el punto de Fermat debe estar a la altura de la base. Cuando las longitudes de las bases son iguales, los puntos de Fermat son los mismos. punto. El "punto de Fermat" de un cuadrilátero es el punto de intersección de sus diagonales.
(3) Según la teoría, los tres ángulos contenidos en los segmentos de línea desde el punto de Fermat hasta los tres vértices son todos 120, que son exactamente iguales a los tres ángulos de fuerza cuando las tres fuerzas están equilibradas. , por lo que puede usarse en física. El experimento de equilibrio de tres fuerzas encontró la ubicación del punto Fermat.
Ocho. Referencias y otros
Bibliografía
1. Autor Qiao Xiong Sakai, (1992) Interesting Experiments in Mechanics, publicado por Yadong Bookstore.
2. Zhang Jingzhong (1990), "La visión del matemático", publicado en nueve capítulos.
3. Zhang Dianzhou y Dai Zaiping (1996), "Middle School Mathematics in Life", publicado en nueve capítulos.
4. Huang Jiali (1997), “La Perla de la Geometría”, publicado en nueve capítulos.
5. Anónimo (1984), La historia de las matemáticas y los matemáticos (Parte 2), Six Arts Publishing.
6. Anónimo (1991), “El encanto de las matemáticas”, publicado por Fan Yi.
(2) Sitio web de referencia
1 Laboratorio del profesor Tao Jianying
/Generalización/Fermat-point html
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