Según la experiencia diaria, el conjunto de números racionales parece estar "densamente empaquetado" en el eje numérico, por lo que los antiguos siempre han creído que los números racionales pueden satisfacer las necesidades prácticas de medición. Tomemos como ejemplo un cuadrado con una longitud de lado de 1 cm. ¿Cuánto mide su diagonal? Con una precisión especificada (por ejemplo, el error es inferior a 0,001 cm), una medida exacta (por ejemplo, 1,414 cm) siempre se puede representar mediante un número racional. Sin embargo, los matemáticos pitagóricos de la antigua Grecia descubrieron que la longitud de esta diagonal no se podía expresar con total precisión utilizando únicamente números racionales, lo que afectó por completo su pensamiento matemático: creían:
La proporción de dos cualesquiera; Los segmentos de recta se pueden expresar como la razón de números naturales.
Por este motivo, el propio Pitágoras llegó a creer que “todo es un número. El número aquí se refiere a los números naturales (1, 2, 3...), y todos los números positivos son números racionales”. todo obtenido por la razón de los números naturales. El hecho de que exista una "brecha" en el conjunto de los números racionales fue un gran golpe para muchos matemáticos de la época: vieron la primera crisis matemática;
Desde la antigua Grecia hasta el siglo XVII, los matemáticos aceptaron lentamente la existencia de los números irracionales y los consideraron como números iguales a los racionales. Más tarde, se introdujo el concepto de números imaginarios, llamados "números reales" para mostrar la diferencia, que significa "números reales". En ese momento, aunque los números imaginarios aparecieron y se usaron ampliamente, la definición estricta de números reales todavía era un problema difícil. hasta que se aclararon las funciones, los límites y la convergencia. Después del concepto de matemáticas, Dedekind, Cantor y otros a finales del siglo XIX se ocuparon estrictamente de los números reales. En las matemáticas elementales actuales no existe una definición estricta de los números reales, pero generalmente se cree que los números reales son decimales (finitos o infinitos). La definición completa de números reales está en geometría, donde los puntos en una línea recta corresponden a números reales; ver eje numérico.
Los números reales se pueden dividir en números racionales (como 42,) y números irracionales (como π, √2), números algebraicos y números trascendentales (los números racionales son números algebraicos), o números positivos, números negativos y cero. Un conjunto de números reales suele representarse con la letra r o. Rn representa un espacio de números reales de n dimensiones. Los números reales son incontables. Los números reales son el objeto central de investigación del análisis real.
Los números reales se pueden utilizar para medir cantidades que cambian continuamente. Teóricamente, cualquier número real se puede expresar como un decimal infinito y el lado derecho de la coma decimal es una serie infinita (cíclica o no cíclica). En la práctica, los números reales suelen aproximarse como un decimal finito (se conservan n dígitos después del punto decimal, n es un entero positivo). En el campo de la informática, dado que las computadoras sólo pueden almacenar un número limitado de decimales, los números reales suelen representarse mediante números de punto flotante.
[editar] Registros históricos
Alrededor del año 500 a.C., los matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dieron cuenta de que los números racionales no podían satisfacer las necesidades de la geometría, pero el propio Pitágoras Lars no admitía la existencia de números irracionales. No fue hasta el siglo XVII que los números reales fueron ampliamente aceptados en Europa. En el siglo XVIII se desarrolló el cálculo a partir de números reales. No fue hasta 1871 que el matemático alemán Cantor propuso por primera vez una definición estricta de los números reales.
[editar]Definición
[editar] Construir números reales a partir de números racionales
Los números reales se pueden construir como números racionales mediante una expansión decimal o binaria que converge a un número real único El complemento de , como {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…}. Los números reales se pueden construir a partir de números racionales de diferentes maneras. Uno de ellos se da aquí. Para otros métodos, consulte la construcción de números reales.
Método axiomático
Supongamos que r es el conjunto de todos los números reales, entonces:
El conjunto R es un campo: puede sumar, restar, multiplicar y dividir, Tiene algunas propiedades comunes como la ley conmutativa y la ley asociativa.
El campo r es un campo ordenado, es decir, para todos los números reales x, y y z, existe una relación de orden total ≥:
Si x ≥ y, entonces x+ z≥y+z ;;
Si x ≥ 0 e y ≥ 0, entonces x'y ≥ 0.
El conjunto r satisface la completitud de Dedekind, es decir, el subconjunto no vacío S (S? r, S ≦?). Si S tiene un límite superior en R, entonces S tiene un límite superior en R. ..
La última es la clave para distinguir los números reales de los números racionales. Por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales cuyo cuadrado es menor que 2 tiene un límite superior para los números racionales, como 1,5, pero no existe un límite superior para los números racionales (porque no son números racionales);
Los números reales están determinados únicamente por las propiedades anteriores. Más precisamente, dados dos campos ordenados completos de Dedekind R1 y R2, existe un isomorfismo de campo único de R1 a R2, es decir, pueden considerarse algebraicamente idénticos.
[Editar]Ejemplo
15 (entero)
2.121 (decimal finito)
1.3333333 ... (decimal de bucle infinito)
π = 3.1415926 ...(decimal infinito no recurrente)
(número irracional)
(fracción)
[editar ] Propiedades
[Editar]Operaciones básicas
En el campo de números reales, las operaciones básicas que se pueden implementar incluyen suma, resta, multiplicación, división, cuadrado, etc. Para números no negativos, también se puede realizar la operación de raíz cuadrada. Los resultados de la suma, resta, multiplicación, división (el divisor no es cero) y cuadrado de números reales siguen siendo números reales. Cualquier número real se puede elevar a potencias impares y el resultado seguirá siendo un número real; sólo los números reales no negativos se pueden elevar a potencias pares y el resultado seguirá siendo un número real.
Completitud Editorial
Como espacio métrico o espacio consistente, el conjunto de los números reales es un espacio completo, que tiene las siguientes propiedades:
Todo Cauchy Las sucesiones de números reales tienen un límite real.
Un conjunto de números racionales no es un espacio completo. Por ejemplo, (1, 1.4, 1.41.414, 1.4142, 1.41438. De hecho, tiene un límite real. Los números reales son la compleción de los números racionales: esta también es una forma de construir el conjunto de los números reales.
La existencia limitada es la base del cálculo. La integridad de los números reales equivale a la ausencia de "espacios" en las líneas rectas en la geometría euclidiana.
[editar] Completa el campo ordenado
El conjunto de números reales. A menudo descrito como un "campo completamente ordenado", esto se puede interpretar de varias maneras.
Primero, un campo ordenado puede ser una red completa. Sin embargo, lo es. Es fácil ver que ningún campo ordenado es una red completa. Esto se debe a que no hay un elemento más grande en el dominio ordenado (para cualquier elemento z, z+1 será más grande), por lo que "completo" aquí no significa completo. celosía.
Además, el campo ordenado satisface la integridad de Dedekind, que se ha definido en los axiomas anteriores. La unicidad anterior también muestra que la "integridad" aquí es la integridad de Dedekind. muy cercano al método de construcción de números reales usando la división de Dedekind, es decir, comenzando desde el campo ordenado (número racional), utilizando métodos estándar para establecer la integridad de Dedekind.
Estos dos conceptos de integridad ignoran la estructura de. el campo y el grupo de orden (el campo es un grupo especial) se pueden definir como espacio consistente. El espacio consistente tiene el concepto de espacio completo. La descripción de integridad anterior es solo un caso especial (se utiliza el concepto de integridad del espacio consistente). Aquí, en lugar de la conocida integridad del espacio métrico, porque la definición del espacio métrico depende de las propiedades de los números reales. Por supuesto, R no es el único campo ordenado consistente y completo, pero sí el único consistente y completo. De hecho, se puede demostrar que el "campo de Arquímedes completo" es más común que el "campo de Arquímedes completo". El significado de esta integridad es muy cercano. al método de construir números reales a partir de la secuencia de Cauchy, es decir, a partir del campo de Arquímedes de números racionales, utilizando el método estándar para establecer la integridad consistente
El "campo de Arquímedes completo" fue propuesto por primera vez. Hilbert también quería expresar algo diferente a lo anterior. Creía que los números reales constituyen el dominio de Arquímedes más grande, es decir, todos los demás dominios de Arquímedes son subdominios de R, por lo que decir que R es "completo". que agregarle cualquier elemento dejará de ser un dominio de Arquímedes. El significado es muy cercano al método de construir números reales a partir de números hiperreales, es decir, a partir de una clase pura que contiene todos los campos ordenados (números hiperrealistas), y encontrar el campo de Arquímedes más grande a partir de sus subcampos
[Editar] Propiedades avanzadas
El conjunto de los números reales es incontable, es decir, el número de números reales es estrictamente mayor que el número. de números naturales (aunque ambos son infinitos). Esto se puede hacer usando el método diagonal de Cantor. De hecho, el potencial del conjunto de números reales es 2ω (ver el potencial del continuo), que es el potencial del conjunto de potencias. del conjunto de números naturales Debido a que sólo los elementos contables en el conjunto de números reales pueden ser números algebraicos, la mayoría de los números reales son números trascendentales. Entre los subconjuntos del conjunto de números reales, no existe ningún conjunto cuyo potencial sea estrictamente mayor que el conjunto de. números naturales y estrictamente más pequeños que el conjunto de números reales. Esta es la hipótesis del continuo. No se puede demostrar que esta hipótesis sea correcta porque es independiente del sistema de axiomas ZFS de la teoría de conjuntos.
Las raíces cuadradas de todos los números reales no negativos pertenecen a r, pero esto no es válido para los números negativos. Esto muestra que el orden en R está determinado por su estructura algebraica. Además, todos los polinomios impares tienen al menos una raíz que pertenece a R. Estas dos propiedades hacen de R el ejemplo más importante de un campo cerrado real. Demostrar esto es la primera mitad de la demostración del teorema fundamental del álgebra.
El conjunto de los números reales tiene una medida canónica, la medida de Lebesgue.
El axioma del límite supremo del conjunto de números reales se aplica a subconjuntos del conjunto de números reales y es un enunciado de lógica de segundo orden. El conjunto de los números reales no se puede describir utilizando únicamente lógica de primer orden: 1. ¿yo? El teorema de Wenhai-Schollum muestra que existe un subconjunto contablemente denso del conjunto de números reales, que satisface exactamente la misma proposición que el conjunto de números reales en lógica de primer orden 2. El conjunto de números hiperreal es mucho mayor que R, pero; también satisface la misma proposición lógica de primer orden que R. Un dominio ordenado que satisface la misma proposición lógica de primer orden que R se denomina modelo no estándar de R, que es el contenido de investigación del análisis no estándar. Utilice modelos no estándar (tal vez más simples que en R) para probar proposiciones lógicas de primer orden, asegurando así que estas proposiciones también sean verdaderas en R.
[editar]Propiedades topológicas
El conjunto de los números reales Se forma un espacio métrico: la distancia entre xey se establece en el valor absoluto |x-y|. Como conjunto totalmente ordenado, también tiene una topología ordenada. Aquí, la topología obtenida de relaciones métricas y ordinales es la misma. El conjunto de números reales también es un espacio contraíble (por lo que también es un espacio conexo), un espacio localmente compacto, un espacio separable y un espacio de Bailey unidimensional. Pero el conjunto de los números reales no es un espacio compacto. Estos pueden estar determinados por propiedades específicas, por ejemplo, una topología separable infinitamente continua debe ser homeomorfa al conjunto de números reales. La siguiente es una descripción general de las propiedades topológicas de los números reales:
Haz un número real. La vecindad de es un subconjunto del conjunto de números reales que contienen segmentos de recta.
Se trata de un espacio desmontable.
Todo el medio es denso. El conjunto abierto de
es la unión de intervalos abiertos. El subconjunto compacto de
es un conjunto cerrado acotado. En particular, todos los segmentos de línea finitos con puntos finales son subconjuntos compactos.
Toda secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente.
Está conectado y simplemente conectado.
Los subconjuntos conectados son los segmentos de recta, los rayos y ellos mismos. A partir de esta propiedad, se puede derivar rápidamente el teorema del valor intermedio.
Teorema del conjunto de intervalos: Supongamos que es una secuencia de conjuntos cerrados acotados y su intersección no está vacía. La representación estricta es la siguiente:
.
[editar]Extensiones y generalizaciones
El conjunto de números reales se puede ampliar y generalizar de varias formas diferentes:
Quizás la extensión más natural sea compleja números. El conjunto de los números complejos contiene las raíces de todos los polinomios. Sin embargo, los conjuntos complejos no son dominios ordenados.
El campo ordenado del conjunto extendido de números reales es un conjunto de números superreales, incluidos los infinitesimales y los infinitesimales. Este no es el dominio de Arquímedes.
A veces los elementos formales +∞ y -∞ se suman al conjunto de números reales para formar un eje de números reales extendido. Es un espacio compacto, no un dominio, pero conserva muchas propiedades de los números reales.
Los operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert generalizan los conjuntos de números reales de muchas maneras: pueden ordenarse (aunque no necesariamente ordenarse completamente) y completar todas sus características. Los valores son todos números reales; Forman un álgebra asociativa real.