El matemático y científico alemán Gauss (1777-1855), junto con Newton y Arquímedes, es conocido como los tres más grandes matemáticos de la historia. Gauss es uno de los fundadores de las matemáticas modernas y ha tenido una gran influencia en la historia. Se le puede clasificar junto a Arquímedes, Newton y Euler y se le conoce como el "Príncipe de las Matemáticas".
En 1828, Gauss publicó "Teoría general de las superficies", que explicaba de forma exhaustiva y sistemática la geometría diferencial de las superficies espaciales y proponía la teoría de las superficies intrínsecas. La teoría de la superficie gaussiana fue desarrollada más tarde por Riemann.
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A partir de 1816, Gauss dedicó la mayor parte de su energía al estudio de la geodesia y la cartografía. En este sentido, publicó numerosos artículos, lo que despertó su interés por la geometría diferencial y dio lugar a su artículo publicado en 1827: Discontinues Generales Circa superficies Curvas. Además de este artículo sobre la geometría diferencial de las superficies en el espacio tridimensional, Gauss también introdujo el concepto completamente nuevo de tratar las superficies mismas como el mismo espacio. Fue este concepto, popularizado por Riemann, el que finalmente abrió una nueva perspectiva para la geometría no euclidiana.
La definición de curvatura de Gauss es la continuación de la curvatura de la superficie exponencial. Gauss también demostró que si dos superficies pueden corresponder uno a uno y los elementos de distancia de los puntos correspondientes en las dos superficies son iguales, entonces las llamamos superficies isométricas y deben tener la misma geometría. En particular, deben tener una curvatura total igual en los puntos correspondientes. Si queremos mover una parte de una superficie (a una distancia determinada) a otra parte, una condición necesaria es que la curvatura de la superficie sea constante. Así una parte de una esfera (donde la curvatura es la recíproca del cuadrado del radio) se puede mover a otra parte sin torcer, pero esto no es posible con una esfera elíptica (en cualquier caso, siempre que la superficie o parte (una parte está correctamente colocada y reflejada en la otra parte).
Otro tema importante estudiado por Gauss en su artículo de 1827 fue: encontrar geodésicas en una superficie curva. También demostró un teorema del triángulo sobre la curvatura y las geodésicas, que puede explicar que el valor integral triangular de la curvatura en una geodésica (línea) es igual al resto de la suma de los ángulos (internos) del triángulo 180 grados, o la suma de los ángulos es menos de 180 grados. Además, Gauss analizó el problema analítico del mapeo conforme de una superficie a otra en su artículo "Geometría diferencial" y ganó un premio de la Real Sociedad Científica Danesa en 1822. Por eso decimos que la originalidad de Gauss en la geometría diferencial es sin duda un hito en la geometría diferencial misma. Es más, los trabajos de Gauss incluyen que cuando la superficie misma se considera espacio, existe una geometría no euclidiana en la superficie. No sabemos si Gauss tuvo alguna previsión para esta interpretación no euclidiana de la geometría de la superficie.
http://www2.emath.pu.edu.tw/s9005153/Gauss-s.htm