a(n 2)=p*a(n 1) q*an
La ecuación característica es x^2-p*x-q=0
i Si tiene dos raíces desiguales (llamadas raíces características) α y β
entonces an=A*α^n B*β^n
donde la constante A, el valor. de B está determinado por los valores de los valores iniciales a1 y a2.
ii. Si tiene dos raíces iguales α
entonces an=(A*n B). )*α ^n
Los valores de las constantes A y B están determinados por los valores de los valores iniciales a1 y a2.
Finalmente podemos obtener :
Cuando {an} tiene dos Dos raíces características desiguales son la raíz α, y cuando β
está dada por
a(n 2)-α *a(n 1)=β^(n-1)*( a2-α*a1)
a(n 2)-β*a(n 1)=α^(n-1) *(a2-β*a1)
Obtener
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-( (a2-β*a1)/(α-β))*β ^(n-1)
O por
A*α B*β=a1
A*α^2 B*β^2=a2
Disponible
A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)
B=(a2-β*a1) /(β^2-α*β)
Obtener
an=((a2-β*a1) /(α-β))*α^(n-1) ((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)
Cuando la raíz característica es una raíz múltiple α
Por
an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α*a(n-1)-α^2*a( n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α^(n-2)*a2-α^(n- 1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)
an-α^(n -1)*a1=(n-1)*α^(n- 2)*(a2-α*a1)
Obtener
an=((a2-a1* α)*n 2*a1*α-a2)*α^(n -2)
O por
(A B)*α=a1
(2*A B)*α^2=a2
Disponible
A=(a2-a1*α)/(α^2)
A= (2*a1*α-a2)/(α^2)
Obtener
((a2-a1*α)*n 2*a1*α-a2)*α ^(n-2)
Porque
p>α β=A
α*β=-B
Basado en los Vedas teorema, se puede construir una ecuación cuadrática de una variable
x^2 -p*x-q=0
Esta es una secuencia de recurrencia lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes
a(n 2)=p*a(n 1) q*an
La ecuación característica
Especialmente, cuando el coeficiente constante de segundo orden es un coeficiente lineal homogéneo secuencia de recurrencia
a(n 2)=p*a(n 1) La raíz característica de q*an
es una raíz múltiple α=1
Es decir, p=2, q=-1
a(n 2)=2* a(n 1)-an
En este momento, el coeficiente constante de segundo orden secuencia de recurrencia lineal homogénea
a(n 2)=2*a(n 1)-an
es una secuencia aritmética