◆Contribución a la geometría analítica
Fermat descubrió los principios básicos de la geometría analítica independientemente de René Descartes.
Antes de 1629, Fermat comenzó a reescribir el libro "Plane Locus", que había sido perdido por el antiguo geómetra griego Apolonio en el siglo III a.C. Usó métodos algebraicos para complementar algunas pruebas perdidas de la trayectoria de Apolonio, resumió y organizó la geometría griega antigua, especialmente la teoría de la sección cónica de Apolonio, y realizó un estudio general de las curvas. En 1630, escribió un artículo de 8 páginas "Introducción a las trayectorias planas y sólidas" en latín.
Fermat comenzó a mantener correspondencia con los grandes matemáticos Mersenne y Robert Wahl en 1636, y habló un poco sobre su trabajo matemático. Sin embargo, "Introducción a las trayectorias planas y sólidas" se publicó después de la muerte de Fermat hace 14 años, por lo que antes de 1679 pocas personas conocían el trabajo de Fermat, pero ahora parece que el trabajo de Fermat fue innovador.
El descubrimiento de Fermat fue revelado en "Introducción a las trayectorias planas y sólidas". Señaló: "Una ecuación determinada por dos incógnitas corresponde a una trayectoria y puede describir una línea recta o una curva". El descubrimiento de Fermat precedió en siete años al descubrimiento de René Descartes de los principios básicos de la geometría analítica. Fermat también analizó las ecuaciones de líneas rectas y círculos generales, hipérbolas, elipses y parábolas.
Descartes buscó sus ecuaciones a partir de trayectorias, mientras que Fermat buscó trayectorias a partir de ecuaciones. Estos son dos aspectos opuestos de los principios básicos de la geometría analítica.
En una carta de 1643, Fermat también habló de sus ideas en geometría analítica. Habló de cilindros, paraboloides elípticos, hiperboloides y elipsoides, señaló que una ecuación que contiene tres incógnitas representa una superficie curva y la estudió más a fondo.
◆Contribución al Cálculo
En los siglos XVI y XVII, el cálculo fue la perla más brillante después de la geometría analítica. Como todos sabemos, Newton y Leibniz fueron los fundadores del cálculo. Antes de ellos, al menos decenas de científicos realizaron trabajos básicos para la invención del cálculo. Pero entre los muchos pioneros, aún vale la pena mencionar a Fermat, principalmente porque proporcionó la forma moderna más cercana de inspiración para la derivación de conceptos de cálculo, de modo que en el campo del cálculo, siguiendo a Newton y Leibniz, Fermat como fundador, Ma también ser reconocido por la comunidad matemática.
La tangente de una curva y el valor mínimo de una función son uno de los orígenes del cálculo. Esta pieza es relativamente antigua y se remonta a la antigua Grecia. Arquímedes utilizó el método exhaustivo para encontrar el área de cualquier figura encerrada por una curva. Debido a que el método de agotamiento era engorroso y torpe, fue gradualmente olvidado y no se tomó en serio hasta el siglo XVI. Cuando Johannes Kepler estaba explorando las leyes del movimiento planetario, se encontró con el problema de cómo determinar el área y la longitud del arco de una elipse. Se introducen los conceptos de infinitesimal e infinitesimal, reemplazando el engorroso método exhaustivo. Aunque este método no es perfecto, ha abierto un espacio de pensamiento muy amplio para los matemáticos desde que Cavalieri llegó a Fermat.
Fermat creó el método de la tangente, el método del máximo, el método del mínimo y el método de la integral definida, e hizo grandes aportaciones al cálculo.
◆Contribución a la teoría de la probabilidad
Ya en el período griego antiguo, la relación entre contingencia e inevitabilidad ha despertado el interés y el debate de muchos filósofos, pero se describe y procesa utilizando métodos matemáticos Fue después del siglo XV. A principios del siglo XVI, matemáticos italianos como Cardano estudiaron el juego de azar en dados y exploraron la división de las apuestas en puntos del juego. En el siglo XVII, los franceses Pascal y Fermat estudiaron las abstracciones del italiano Pacuri y establecieron la relación correspondiente, sentando así las bases de la teoría de la probabilidad.
Fermat consideró cuatro apuestas con 2× 2× 2× 2 = 16 resultados posibles, excepto un resultado, que es que el oponente gana las cuatro apuestas y el primer jugador gana todas las demás situaciones. Fermat aún no utilizaba la palabra probabilidad, pero había llegado a la conclusión de que la probabilidad de que ganara el primer jugador era 15/16, la relación entre el número de situaciones favorables y el número de todas las situaciones posibles. Esta condición generalmente se cumple en problemas combinatorios, como juegos de cartas, voltear plata y modelar bolas de frascos.
En realidad, esta investigación sentó las bases del juego para la abstracción del espacio de probabilidad, un modelo matemático de probabilidad, aunque Kolmogorov no hizo este resumen hasta 1933.
En su correspondencia y escritos, Fermat y Blaise Pascal establecieron el principio básico de la teoría de la probabilidad: el concepto de expectativa matemática. Esto comienza con el problema matemático de los puntos: en un juego interrumpido, cómo determinar la división de las apuestas entre jugadores que se supone tienen la misma habilidad, y cómo saber las puntuaciones de dos jugadores en el momento de la interrupción y cuál es el resultado. necesario para ganar la puntuación del juego. Fermat analizó la situación en la que el jugador A necesita 4 puntos para ganar y el jugador B necesita 3 puntos para ganar. Esta fue la solución de Fermat para esta situación particular. Porque obviamente puedes decidir hasta cuatro veces.
El concepto de espacio de probabilidad generalizado es una axiomatización exhaustiva de las ideas intuitivas de las personas sobre los conceptos. Desde una perspectiva puramente matemática, los espacios de probabilidad finitos parecen mundanos. Pero una vez que se introducen variables aleatorias y expectativas matemáticas, se convierte en un mundo mágico. Ésta es la contribución de Fermat.
◆Contribución a la teoría de números
A principios del siglo XVII circuló en Europa el libro "Aritmética" escrito por Diofanto, un antiguo matemático griego del siglo III d.C. . Ma Fei compró este libro en París y estudió las ecuaciones indefinidas del libro en su tiempo libre. Fermat limitó el estudio de ecuaciones indefinidas al rango de números enteros, creando así una rama de las matemáticas en la teoría de números.
Los logros de Fermat en el campo de la teoría de números son enormes, incluyendo:
El último teorema de Fermat: n gt2 es un número entero, entonces la ecuación x ^ n y ^ n = z ^ n no no existe Una solución entera que satisface xyz≠0. Ésta es una ecuación indefinida, que ha sido demostrada por el matemático británico Wiles (1995). ¡El proceso de demostración es bastante difícil!
Último teorema de Fermat: a p-a ≡ 0 (mod p), donde p es un número primo y a es un entero positivo La demostración es relativamente sencilla. De hecho, es un caso especial del teorema de Euler. El teorema de Euler dice: a φ (n) -1 ≡ 0 (mod n), a y n son enteros positivos y φ (n) es la función de Euler, que representa a. entero positivo menor que n y El número de n que es primo relativo (se ha obtenido su expresión de Euler, ver "Fórmula de Euler").
Además:
(1) Todos los números primos se pueden dividir en 4n 1 y 4n 3.
(2) Un número primo de la forma 4n 1 puede y sólo puede expresarse en una dirección como la suma de dos cuadrados.
(3) Ningún número primo de la forma 4n 3 puede expresarse como la suma de dos cuadrados.
(4) Un número primo de la forma 4n 1 puede y solo puede usarse como hipotenusa de un triángulo rectángulo con un ángulo recto entero, el cuadrado de 4n 1 puede y solo puede ser la hipotenusa de; dos de esos triángulos rectángulos; de manera similar, 4n 1 elevado a la potencia m es y sólo puede ser la hipotenusa de m tales triángulos rectángulos.
(5) El área de un triángulo rectángulo con lados racionales no puede ser un número cuadrado.
(6) El número primo de 4n 1 y su cuadrado solo se pueden expresar de una manera como la suma de dos cuadrados; su tercera potencia y su cuarta potencia solo se pueden expresar de dos maneras como la suma de; dos cuadrados. ; tanto la quinta potencia como la sexta potencia sólo se pueden expresar de tres maneras como la suma de dos cuadrados, y así sucesivamente, hasta el infinito.
(7) Encuentra el segundo par de números de afinidad: 17296 y 18416.
En el siglo XVI se creía que entre los números naturales sólo existía un par de números de afinidad: 220 y 284. Algunas personas aburridas incluso añaden superstición o misterio al número de parientes e inventan muchos cuentos de hadas. También se promueve que este número de afinidad juega un papel importante en magia, magia, astrología, adivinación, etc.
Más de 2.500 años después del nacimiento del primer par de números de afinidad, la rueda de la historia giró hacia el siglo XVII. En 1636, Fermat, el rey de los matemáticos aficionados franceses, descubrió el segundo par de números de afinidad, 17296 y 18416. Encendió de nuevo la antorcha para buscar números de afinidad y encontró luz en la oscuridad. Dos años más tarde, René Descartes, el "padre de la geometría analítica", anunció que había descubierto el tercer par de números de afinidad, 9437506 y 9363584, el 31 de marzo de 65438. Fermat y Descartes necesitaron dos años para romper el silencio de más de dos mil años y agitaron una vez más la búsqueda de números de afinidad en la comunidad matemática.
◆Contribución a la óptica
La aportación destacada de Fermat a la óptica es la propuesta del principio de acción mínima, también llamado principio de tiempo mínimo de acción. Este principio tiene una larga historia. Ya en la antigua Grecia, Euclides propuso la ley de propagación lineal de la luz y la ley de reflexión de fases. Más tarde, Helen reveló la esencia teórica de estas dos leyes: la luz toma el camino más corto. Varios años más tarde, esta ley se fue ampliando gradualmente hasta convertirse en una ley natural y luego se convirtió en un concepto filosófico. Esto finalmente llevó a la conclusión más general de que "la naturaleza actúa del modo más corto posible" e influyó en Fermat. La brillantez de Fermat residió en convertir este concepto filosófico en una teoría científica.
Fermat también analizó el caso en el que la trayectoria de la luz toma una curva mínima al propagarse en un medio que cambia punto a punto. Algunos problemas se explican por el principio de mínima acción. Esto ha dado un gran estímulo a muchos matemáticos. Leonhard Euler, en particular, utilizó técnicas variacionales para utilizar este principio para encontrar los valores extremos de funciones. Esto conduce directamente a los resultados de Lagrange y da la forma específica del principio de acción mínima: para una partícula, la integral del producto de su masa, velocidad y la distancia entre dos puntos fijos es un valor máximo y un valor mínimo; , debe ser el valor máximo o mínimo de la trayectoria real seguida por la partícula.