Las mejoras se pueden dividir en varios aspectos:
1. Como dijiste, el problema de raíz repetida (orden de convergencia reducido) se puede resolver con funciones derivadas. F (x) = (x-a) k g (x) tiene k múltiples ceros en A, entonces la derivada k-1 de F tiene solo 1 cero múltiplo en A.
2. Por lo general, la iteración de Newton solo puede garantizar la convergencia local y la solución suele ser el método cuesta abajo de Newton. En resumen, el tamaño del paso de cada corrección se reduce y luego se utiliza el método normal localmente.
3. Mejorar el orden de convergencia. El método básico de iteración de Newton utiliza interpolación lineal, como la interpolación parabólica.
4. Reducir la cantidad de cálculo/evitar operaciones derivadas. Por ejemplo, la derivada se reemplaza por la diferencia (método de truncamiento de cuerdas). El llamado método cuasi-Newton (método de Broyden) se puede mejorar al encontrar las raíces de funciones multivariadas.
5. Manejar automáticamente las excepciones. Se ocupa principalmente del problema del fracaso de la convergencia. Cómo reiniciar la búsqueda y cómo determinar (hasta cierto punto) si hay raíces cercanas.
6. Combinando los puntos anteriores....