Cuadrado: Un cuadrado consta de 9 cuadrados pequeños cuyo largo y ancho son solo un tercio de su largo.
Curva de Koch (de: Koch-Kurve): Cada parte de la Curva de Koch está compuesta por cuatro pequeñas curvas de la misma forma en una proporción de 1:3, por lo que su dimensión de Hausdorff es un número irracional.
De hecho, el cálculo de Hausdorff no es tan simple como el ejemplo anterior, ni siquiera difícil.
Medida exterior de Hausdorff: Sea (X, d) un espacio métrico, e un subconjunto de X, y defínalo.
Y e puede estar cubierto por la familia de conjuntos (aj) k. Entonces la medida externa de Hausdorf de e se define como:
La dimensión de Hausdorff-Wiehausdorff se define como el valor S correspondiente al punto de salto en el que la medida externa de Hausdorf cambia de cero a distinto de cero. Estrictamente definido como:
En la primera parte del artículo, Mendelberg analiza cómo la longitud entre las costas y otros límites geográficos físicos, medida por Angus Fry Richardson, depende de la escala de medición. Richardson observó que la longitud L(G) medida en las fronteras de diferentes países es función de la escala de medición G. Recopiló datos de varios ejemplos diferentes y luego supuso que L(G) se puede estimar mediante una función de la siguiente forma:
L(G)=MG1-D
Meng Jiang Se interpreta que este resultado muestra que las costas y otros límites geográficos pueden tener autosemejanza estadística, y el exponente D calcula la dimensión de Hausdorff del límite. Para poner esto en perspectiva, el ejemplo estudiado por Richardson tiene una dimensión que va desde 1,02 en la costa sudafricana hasta 1,25 en la costa oeste del Reino Unido.
En la segunda parte del artículo, Mendelberg describió diferentes curvas para los copos de nieve de Koch, que son todas figuras autosimilares estándar. Monteborg dio un método para calcular sus dimensiones de Hausdorff, que están todas entre 1 y 2. También mencionó la curva de peano, que llena el espacio y tiene dimensión 2, pero no dio su estructura.
Este artículo es importante porque no sólo demuestra las primeras ideas de Mendelberg sobre los fractales, sino que es un ejemplo de la conexión entre los objetos matemáticos y las formas naturales, gran parte del tema posterior de Mendelberg.